stringtranslate.com

Атлас (топология)

В математике , в частности топологии , атлас — это понятие, используемое для описания многообразия . Атлас состоит из отдельных диаграмм , которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. В целом, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных с ним структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения волокон .

Диаграммы

Определение атласа зависит от понятия карты . Карта для топологического пространства M — это гомеоморфизм открытого подмножества U пространства M на открытое подмножество евклидова пространства . Карта традиционно записывается как упорядоченная пара . [1]

Когда система координат выбирается в евклидовом пространстве, это определяет координаты на : координаты точки определяются как координаты Пара, образованная диаграммой, и такая система координат называется локальной системой координат , координатной диаграммой , координатной клеткой , координатной картой или локальной системой координат .

Формальное определение атласа

Атлас для топологического пространства это индексированное семейство карт, на которых покрывается (то есть ). Если для некоторого фиксированного n изображение каждой карты является открытым подмножеством n -мерного евклидова пространства , то говорят, что это n -мерное многообразие .

Множественное число слова atlas — atlases , хотя некоторые авторы используют atlantes . [2] [3]

Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом, если выполняются следующие условия: [ необходимо разъяснение ]

Каждое многообразие , удовлетворяющее второй арифметической системе , допускает адекватный атлас. [4] Более того, если — открытое покрытие многообразия, удовлетворяющего второй арифметической системе , то существует адекватный атлас на , такой что — уточнение . [4]

Карты перехода

Карта перехода предоставляет способ сравнения двух карт атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной карты с инверсией другой . Этот состав не будет четко определен, если мы не ограничим обе карты пересечением их областей определения . (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты по их перекрытию, а именно по европейской части России.)

Чтобы быть более точным, предположим, что и являются двумя картами для многообразия M, такого, что непусто . Карта перехода — это карта, определяемая формулой

Обратите внимание, что поскольку и являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом.

Больше структуры

Часто требуется больше структуры на многообразии, чем просто топологическая структура. Например, если требуется однозначное понятие дифференциации функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . При наличии дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов , а затем и производных по направлению .

Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы отображения перехода имели только k непрерывных производных, в этом случае атлас называется .

В самом общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом . Если отображения перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру расслоения.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Яних, Клаус (2005). Векторанализ (на немецком языке) (5-е изд.). Спрингер. п. 1. ISBN 3-540-23741-0.
  2. ^ Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Получено 16 апреля 2018 г. – через Google Books.
  3. ^ Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Получено 16 апреля 2018 г. – через Google Books.
  4. ^ ab Kosinski, Antoni (2007). Дифференциальные многообразия . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933.

Внешние ссылки