Линейная система, не зависящая от времени

Математическая модель, которая является как линейной, так и не зависящей от времени

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции и инвариантность во времени для детерминированной непрерывной системы с одним входом и одним выходом. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и инвариантна во времени тогда и только тогда, когда y ₃ ( t ) = a ₁ y ₁ ( t – t ₀ ) + a ₂ y ₂ ( t – t ₀ ) для всего времени t , для всех действительных констант a ₁ , a ₂ , t ₀ и для всех входов x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) . ^[1] Щелкните изображение, чтобы развернуть его.

В системном анализе , среди других областей изучения, линейная инвариантная во времени ( LTI ) система — это система , которая выдает выходной сигнал из любого входного сигнала, подчиняющегося ограничениям линейности и инвариантности во времени ; эти термины кратко определены в обзоре ниже. Эти свойства применяются (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае реакция y ( t ) системы на произвольный вход x ( t ) может быть найдена непосредственно с помощью свертки : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) , где h ( t ) называется импульсной реакцией системы , а ∗ представляет собой свертку (не путать с умножением). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определения h ( t ) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно сложнее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов , конденсаторов , индукторов и линейных усилителей . ^[2]

Теория линейных систем, инвариантных по времени, также используется в обработке изображений , где системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы можно называть линейными трансляционно-инвариантными, чтобы придать терминологии наиболее общий охват. В случае общих систем с дискретным временем (т. е. выборочных ) соответствующим термином является линейный сдвигово-инвариантный . Теория систем LTI — это область прикладной математики , которая имеет прямые приложения в анализе и проектировании электрических цепей , обработке сигналов и проектировании фильтров , теории управления , машиностроении , обработке изображений , проектировании измерительных приборов многих видов, ЯМР-спектроскопии ^{[ требуется ссылка ]} и многих других технических областях, где представлены системы обыкновенных дифференциальных уравнений .

Обзор

Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность во времени .

• Линейность означает, что связь между входом и выходом , рассматриваемыми как функции, является линейным отображением: если — константа, то выход системы в равен ; если — еще один вход с выходом системы , то выход системы в равен , это применимо для всех выборов , , . Последнее условие часто называют принципом суперпозиции . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax(t)}$ ${\displaystyle ay(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle x(t)+x'(t)}$ ${\displaystyle y(t)+y'(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$
• Инвариантность во времени означает, что независимо от того, применяем ли мы вход к системе сейчас или через T секунд, выход будет идентичным, за исключением задержки во времени в T секунд. То есть, если выход из-за входа равен , то выход из-за входа равен . Следовательно, система инвариантна во времени, поскольку выход не зависит от конкретного времени применения входа. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t-T)}$ ${\displaystyle y(t-T)}$

Фундаментальный результат в теории систем LTI заключается в том, что любая система LTI может быть полностью охарактеризована одной функцией, называемой импульсной реакцией системы . Выход системы представляет собой просто свертку входа в систему с импульсной реакцией системы . Это называется системой с непрерывным временем . Аналогично, дискретно-временная линейная инвариантная во времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система определяется как работающая в дискретном времени : где y , x и h являются последовательностями , а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

Связь между временной и частотной областью

Системы LTI также могут быть охарактеризованы в частотной области передаточной функцией системы , которая является преобразованием Лапласа импульсной характеристики системы (или Z-преобразованием в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выход системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входа. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.

Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются комплексными экспоненциальными функциями . Это означает, что если вход системы представляет собой комплексную форму волны для некоторой комплексной амплитуды и комплексной частоты , выход будет представлять собой некоторую комплексную константу, умноженную на вход, скажем, для некоторой новой комплексной амплитуды . Отношение представляет собой передаточную функцию на частоте . ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$ ${\displaystyle s}$

Поскольку синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряженными частотами, если вход в систему представляет собой синусоиду, то выход системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитудой и другой фазой , но всегда с той же частотой по достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут создавать частотные компоненты, которых нет на входе.

Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются «легкими» для анализа, по крайней мере по сравнению с изменяющимся во времени и/или нелинейным случаем. Любая система, которая может быть смоделирована как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи , состоящие из резисторов , индукторов и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина–масса–демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны цепям RLC.

Большинство концепций систем LTI схожи между случаями непрерывного и дискретного времени (инвариантность линейного сдвига). При обработке изображений временная переменная заменяется двумя пространственными переменными, а понятие инвариантности времени заменяется инвариантностью двумерного сдвига. При анализе банков фильтров и систем MIMO часто бывает полезно рассматривать векторы сигналов.

Линейную систему, которая не является инвариантной во времени, можно решить с помощью других подходов, таких как метод функции Грина .

Системы непрерывного действия

Импульсный отклик и свертка

Поведение линейной, непрерывной во времени, инвариантной во времени системы с входным сигналом x ( t ) и выходным сигналом y ( t ) описывается интегралом свертки: ^[3]

где — реакция системы на импульс : . следовательно, пропорциональна средневзвешенному значению входной функции . Весовая функция — это , просто смещенная на величину . По мере изменения весовая функция подчеркивает различные части входной функции. Когда равно нулю для всех отрицательных , зависит только от значений до времени , и система называется причинной . ${\textstyle h(t)}$ ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x(\tau )}$ ${\textstyle h(-\tau )}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle h(\tau )}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$

Чтобы понять, почему свертка производит вывод системы LTI, пусть нотация представляет функцию с переменной и константой . И пусть более короткая нотация представляет . Тогда система с непрерывным временем преобразует входную функцию в выходную функцию . И в общем случае каждое значение вывода может зависеть от каждого значения ввода. Эта концепция представлена ​​следующим образом: где — оператор преобразования для времени . В типичной системе в наибольшей степени зависит от значений , которые произошли вблизи времени . Если само преобразование не изменяется с , выходная функция просто постоянна, и система неинтересна. ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ ${\textstyle x(u-\tau )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ ${\textstyle \{x\},}$ ${\textstyle \{y\}}$ $${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$ ${\textstyle O_{t}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$

Для линейной системы должно удовлетворять уравнению 1 : ${\textstyle O}$

А требование инвариантности во времени таково:

В этой нотации мы можем записать импульсную характеристику как ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Сходным образом:

Подставим этот результат в интеграл свертки: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

которая имеет вид правой части уравнения 2 для случая и ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

Уравнение 2 допускает такое продолжение: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

Подводя итог, можно сказать, что входная функция, , может быть представлена ​​континуумом сдвинутых во времени импульсных функций, объединенных "линейно", как показано в уравнении 1. Свойство линейности системы позволяет представить реакцию системы соответствующим континуумом импульсных реакций , объединенных таким же образом. А свойство инвариантности во времени позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки. ${\textstyle \{x\}}$

Математические операции, описанные выше, имеют простую графическую симуляцию. ^[4]

Экспоненты как собственные функции

Собственная функция — это функция, для которой выход оператора представляет собой масштабированную версию той же функции. То есть, где f — собственная функция, а — собственное значение , константа. $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$ ${\displaystyle \lambda }$

Экспоненциальные функции , где , являются собственными функциями линейного , инвариантного во времени оператора . Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что вход . Выход системы с импульсной реакцией тогда , что по коммутативному свойству свертки эквивалентно ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$ ${\displaystyle h(t)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}$$

где скаляр зависит только от параметра s . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

Таким образом, ответ системы представляет собой масштабированную версию ввода. В частности, для любого выход системы является произведением ввода и константы . Следовательно, является собственной функцией системы LTI, а соответствующее собственное значение равно . ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$

Прямое доказательство

Также возможно напрямую выводить комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.

Давайте зададим некоторую сложную экспоненциальную функцию и ее сдвинутую во времени версию. ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$по линейности относительно константы . ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$по инвариантности во времени . ${\displaystyle H}$

Итак . Установив и переименовав, мы получаем: т.е. что комплексная экспонента в качестве входных данных даст комплексную экспоненту той же частоты в качестве выходных данных. ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$ ${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Преобразования Фурье и Лапласа

Свойство собственной функции экспонент очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа — это именно тот способ получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (т. е. экспоненциальные функции вида , где и ). Преобразование Фурье дает собственные значения для чистых комплексных синусоид. Оба из и называются системной функцией , системным откликом или передаточной функцией . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(j\omega )}$

Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, т. е. сигналов, которые равны нулю для всех значений t, меньших некоторого значения. Обычно это «начальное время» устанавливается равным нулю для удобства и без потери общности, при этом интеграл преобразования берется от нуля до бесконечности (преобразование, показанное выше, с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности формально известно как двустороннее преобразование Лапласа ).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, обрабатывающих сигналы бесконечной протяженности, такие как модулированные синусоиды, хотя его нельзя напрямую применить к входным и выходным сигналам, которые не являются квадратично интегрируемыми . Преобразование Лапласа фактически работает напрямую для этих сигналов, если они равны нулю до начала времени, даже если они не являются квадратично интегрируемыми, для устойчивых систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов с помощью теоремы Винера–Хинчина, даже когда преобразований Фурье сигналов не существует.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выход системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования. $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

Можно использовать системный отклик напрямую, чтобы определить, как любой конкретный частотный компонент обрабатывается системой с этим преобразованием Лапласа. Если мы оценим системный отклик (преобразование Лапласа импульсного отклика) на комплексной частоте s = jω , где ω = 2 πf , мы получим | H ( s )|, что является системным усилением для частоты f . Относительный фазовый сдвиг между выходом и входом для этого частотного компонента также задается как arg( H ( s )).

Примеры

• Простым примером оператора LTI является производная .
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$   (т.е. он линейный)
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$   (т.е. он не зависит от времени)

  При преобразовании Лапласа производной она сводится к простому умножению на переменную Лапласа s . $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$$

  Тот факт, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, отчасти объясняет полезность этого преобразования.
• Другой простой оператор LTI — это оператор усреднения . По линейности интегрирования он линеен. Кроме того, поскольку он инвариантен ко времени. Фактически, может быть записан как свертка с функцией boxcar . То есть, где функция boxcar $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Pi (t)}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,}$$ $${\displaystyle \Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$$

Важные свойства системы

Некоторые из наиболее важных свойств системы — это причинность и устойчивость. Причинность необходима для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.

Причинность

Система является причинной, если выход зависит только от настоящего и прошлого, но не от будущих входов. Необходимое и достаточное условие причинности — $${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

где — импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинность из двустороннего преобразования Лапласа . Однако при работе во временной области обычно используют одностороннее преобразование Лапласа, которое требует причинности. ${\displaystyle h(t)}$

Стабильность

Система является устойчивой с ограниченным входом и ограниченным выходом (устойчивой BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый вход, удовлетворяющий $${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

приводит к результату, удовлетворяющему $${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(то есть, конечное максимальное абсолютное значение подразумевает конечное максимальное абсолютное значение ), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что , импульсный отклик, находится в L 1 (имеет конечную норму L ¹ ): ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ $${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось . ${\displaystyle s=j\omega }$

Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, равной функции sinc , не является устойчивым по BIBO, поскольку функция sinc не имеет конечной нормы L ^1. Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот неограничен. В частности, если вход равен нулю для и равен синусоиде на частоте среза для , то выход будет неограниченным для всех времен, кроме нулевых переходов. ^{[ сомнительно – обсудить ]} ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>0}$

Системы с дискретным временем

Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.

Дискретные системы от непрерывных систем

Во многих контекстах система дискретного времени (DT) на самом деле является частью более крупной системы непрерывного времени (CT). Например, цифровая система записи берет аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.

В практических системах полученные сигналы DT обычно являются однородно дискретизированными версиями сигналов CT. Если - сигнал CT, то схема дискретизации, используемая перед аналого-цифровым преобразователем, преобразует его в сигнал DT: где T - период дискретизации . Перед дискретизацией входной сигнал обычно проходит через так называемый фильтр Найквиста , который удаляет частоты выше "частоты свертывания" 1/(2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любой частотный компонент выше частоты свертывания (или частоты Найквиста ) накладывается на другую частоту (таким образом искажая исходный сигнал), поскольку сигнал DT может поддерживать только частотные компоненты ниже частоты свертывания. ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

Импульсный отклик и свертка

Пусть представим последовательность ${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$ ${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

И пусть более короткая запись представляет ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Дискретная система преобразует входную последовательность в выходную последовательность. В общем случае каждый элемент вывода может зависеть от каждого элемента ввода. Представляя оператор преобразования как , мы можем записать: ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}.}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

Обратите внимание, что если само преобразование не изменяется с n , то выходная последовательность будет просто постоянной, и система не будет интересна. (Отсюда и нижний индекс n .) В типичной системе y [ n ] в наибольшей степени зависит от элементов x , индексы которых близки к n .

Для частного случая дельта - функции Кронекера выходная последовательность представляет собой импульсную характеристику : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$ $${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

Для линейной системы необходимо удовлетворять: ${\displaystyle O}$

А требование инвариантности во времени таково:

В такой системе импульсная характеристика, , характеризует систему полностью. То есть, для любой входной последовательности выходная последовательность может быть рассчитана в терминах входной и импульсной характеристики. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим тождество: ${\displaystyle \{h\}}$ $${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

что выражается через сумму взвешенных дельта-функций. ${\displaystyle \{x\}}$

Поэтому: $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

где мы применили уравнение 4 для случая и . ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$ ${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

И благодаря ур.5 мы можем записать: $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

Поэтому:

что является знакомой формулой дискретной свертки. Оператор, таким образом, можно интерпретировать как пропорциональный взвешенному среднему значению функции x [ k ]. Весовая функция — это h [− k ], просто сдвинутая на величину n . При изменении n весовая функция подчеркивает различные части входной функции. Эквивалентно, реакция системы на импульс при n = 0 является «временной» обратной копией несмещенной весовой функции. Когда h [ k ] равно нулю для всех отрицательных k , система называется причинной . ${\displaystyle O_{n}}$

Экспоненты как собственные функции

Собственная функция — это функция, для которой выход оператора — та же функция, масштабированная некоторой константой. В символах $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

где f — собственная функция, а — собственное значение , константа. ${\displaystyle \lambda }$

Экспоненциальные функции , где , являются собственными функциями линейного , инвариантного во времени оператора. — интервал выборки, а . Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию . ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Предположим, что вход равен . Выход системы с импульсной реакцией равен тогда ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$ ${\displaystyle h[n]}$ $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

что эквивалентно следующему по коммутативному свойству свертки, где зависит только от параметра z . $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$ $${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

То же самое относится и к собственной функции системы LTI, поскольку реакция системы равна входному сигналу, умноженному на константу . ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle H(z)}$

Z и дискретные преобразования Фурье

Свойство собственной функции экспонент очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Z-преобразование $${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

именно так можно получить собственные значения из импульсной характеристики. ^{[ требуется пояснение ]} Особый интерес представляют чистые синусоиды; т. е. экспоненты вида , где . Их также можно записать как с ^{[ требуется пояснение ]} . Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) дает собственные значения чистых синусоид ^{[ требуется пояснение ]} . Оба из и называются системной функцией , системным откликом или передаточной функцией . ${\displaystyle e^{j\omega n}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Как и одностороннее преобразование Лапласа, преобразование Z обычно используется в контексте односторонних сигналов, т. е. сигналов, которые равны нулю при t < 0. Дискретное преобразование Фурье Ряд Фурье может использоваться для анализа периодических сигналов.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выход системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования. То есть, $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

Как и в случае с передаточной функцией преобразования Лапласа в анализе непрерывных во времени систем, Z-преобразование упрощает анализ систем и получение информации об их поведении.

Примеры

• Простым примером оператора LTI является оператор задержки . ${\displaystyle D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]}$
  • ${\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}$   (т.е. он линейный)
  • ${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]}$   (т.е. он не зависит от времени)

  Z-преобразование оператора задержки представляет собой простое умножение на z ⁻¹ . То есть,

  $${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).}$$
• Другой простой оператор LTI — это оператор усреднения. Из-за линейности сумм он линейный. Потому что он также инвариантен во времени. $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}}$$

Важные свойства системы

Входные-выходные характеристики дискретной LTI-системы полностью описываются ее импульсной характеристикой . Два самых важных свойства системы — причинность и устойчивость. Непричинные (во времени) системы могут быть определены и проанализированы, как указано выше, но не могут быть реализованы в реальном времени. Нестабильные системы также могут быть проанализированы и построены, но они полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой стабильна . ${\displaystyle h[n]}$

Причинность

Дискретная система LTI является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущего значения и прошлых значений входа. ^[5] Необходимое и достаточное условие причинности — где — импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинность из Z-преобразования, поскольку обратное преобразование не является уникальным ^{[ сомнительно — обсудим ]} . Когда указана область сходимости , то причинность может быть определена. $${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$ ${\displaystyle h[n]}$

Стабильность

Система имеет ограниченный вход, ограниченный выход, стабильную (устойчивую по BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если $${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

подразумевает, что $${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(то есть, если ограниченный вход подразумевает ограниченный выход, в том смысле, что максимальные абсолютные значения и конечны ), то система устойчива. Необходимое и достаточное условие заключается в том, что , импульсный отклик, удовлетворяет ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$ $${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

В частотной области область сходимости должна содержать единичную окружность (т.е. геометрическое место , удовлетворяющее комплексному z ). ${\displaystyle |z|=1}$

Примечания

1. Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems . Springer. стр. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
2. Хеспанья 2009, стр. 78.
3. Кратчфилд, стр. 1. Добро пожаловать!
4. Кратчфилд, стр. 1. Упражнения
5. Филлипс 2007, стр. 508.

Смотрите также

• Циркулярная матрица
• Частотная характеристика
• Импульсный ответ
• Системный анализ
• Зелёная функция
• График потока сигналов

Ссылки

• Филлипс, CL, Парр, JM, и Рискин, EA (2007). Сигналы, системы и преобразования . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Хеспанья, Дж. П. (2009). Линейная теория систем . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12 октября 2010 г.), «Радость свертки», Университет Джонса Хопкинса , получено 21 ноября 2010 г.
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (май 1995 г.). "Роль антикаузальных инверсий в банках многоскоростных фильтров — Часть I: основы теории систем" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (6): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

Дальнейшее чтение

• Порат, Боаз (1997). Курс цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (май 1995 г.). "Роль антикаузальных инверсий в банках многоскоростных фильтров — Часть I: основы теории систем" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (5): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

Внешние ссылки

• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI – Краткий курс по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники сдвига фаз – дает наглядное объяснение источника сдвига фаз в двух распространенных электрических системах LTI.
• Заметки к курсу JHU 520.214 Сигналы и системы. Инкапсулированный курс по теории систем LTI. Подходит для самостоятельного обучения.
• Пример системы LTI: RC фильтр нижних частот. Амплитудная и фазовая характеристика.