неравенство Хинчина

Теорема о вероятности

В математике неравенство Хинчина , названное в честь Александра Хинчина и записываемое несколькими способами в латинском алфавите, является теоремой из теории вероятности , а также часто используется в анализе . Эвристически оно гласит, что если мы выберем комплексные числа и сложим их вместе, умножив каждое на случайный знак , то ожидаемое значение модуля суммы или модуль, к которому она будет ближе всего в среднем, будет не слишком сильно отличаться от . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}$

Заявление

Пусть будут iid случайными величинами с для , т.е. последовательность с распределением Радемахера . Пусть и пусть . Тогда ${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}}$

для некоторых констант, зависящих только от (см. Ожидаемое значение для обозначения). Точные значения констант были найдены Хаагерупом (Ref. 2; см. Ref. 3 для более простого доказательства). Легко увидеть, что когда , и когда . ${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A_{p},B_{p}}$ ${\displaystyle A_{p}=1}$ ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle B_{p}=1}$ ${\displaystyle 0<p\leq 2}$

Хаагеруп обнаружил, что

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{p}&={\begin{cases}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}}$

где и - гамма-функция . В частности, можно отметить, что в точности соответствует моментам нормального распределения . ${\displaystyle p_{0}\approx 1.847}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B_{p}}$

Использование в анализе

Использование этого неравенства не ограничивается приложениями в теории вероятностей . Одним из примеров его использования в анализе является следующий: если мы допустим линейный оператор между двумя пространствами L p и , , с ограниченной нормой , то можно использовать неравенство Хинчина, чтобы показать, что ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(Y,\nu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \|T\|<\infty }$

${\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}}$

для некоторой константы, зависящей только от и . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle C_{p}>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|T\|}$

Обобщения

Для случая случайных величин Радемахера Павел Хитченко показал ^[1] , что наиболее точная версия выглядит следующим образом:

${\displaystyle A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)}$

где , а и — универсальные константы, не зависящие от . ${\displaystyle b=\lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$

Здесь мы предполагаем, что являются неотрицательными и невозрастающими. ${\displaystyle x_{i}}$

Смотрите также

• Неравенство Марцинкевича – Зигмунда
• Неравенство Беркхолдера-Дэвиса-Ганди

Ссылки

1. Павел Хитченко, «О рядах Радемахера». Вероятность в банаховых пространствах, 9 стр. 31-36. ISBN  978-1-4612-0253-0

1. Томас Х. Вольф , «Лекции по гармоническому анализу». Американское математическое общество, University Lecture Series, том 29, 2003. ISBN 0-8218-3449-5 
2. Уффе Хаагеруп, «Наилучшие константы в неравенстве Хинчина», Studia Math. 70 (1981), № 3, 231–283 (1982).
3. Федор Назаров и Анатолий Подкорытов, «Болл, Хаагеруп и функции распределения», Комплексный анализ, операторы и смежные темы, 247–267, Oper. Theory Adv. Appl., 113, Birkhäuser, Базель, 2000.