Связь между утверждениями, которые верны, когда одно логически вытекает из другого.
Логическое следствие (также следование ) — это фундаментальная концепция логики , которая описывает отношения между утверждениями , которые остаются истинными, когда одно утверждение логически следует из одного или нескольких утверждений. Действительным логическим аргументом является тот, в котором вывод вытекает из посылок , поскольку вывод является следствием посылок. Философский анализ логических последствий включает в себя вопросы: в каком смысле вывод следует из своих посылок? и что означает, что вывод является следствием посылок? [1] Вся философская логика предназначена для объяснения природы логических следствий и природы логической истины . [2]
Логическое следствие необходимо и формально , посредством примеров, объясняющих формальные доказательства и модели интерпретации . [1] Говорят, что предложение является логическим следствием набора предложений для данного языка тогда и только тогда , когда , используя только логику (т. е. без учета каких-либо личных интерпретаций предложений), предложение должно быть истинным, если каждое предложение в наборе истинно. [3]
Логики делают точные описания логических последствий относительно данного языка , либо создавая дедуктивную систему для языка , либо формальную предполагаемую семантику языка . Польский логик Альфред Тарский выделил три особенности адекватной характеристики следствия: (1) Отношение логического следствия опирается на логическую форму предложений: (2) Отношение является априорным , т. е. оно может быть определено с учетом или без него. к эмпирическим данным (чувственному опыту); и (3) отношение логического следствия имеет модальный компонент. [3]![{\mathcal {L}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\mathcal {L}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\mathcal {L}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Официальные счета
Наиболее широко преобладающим взглядом на то, как лучше всего объяснить логические последствия, является обращение к формальности. Это означает, что то, следуют ли утверждения друг из друга логически, зависит от структуры или логической формы утверждений, независимо от содержания этой формы.
Синтаксические объяснения логических последствий основаны на схемах , использующих правила вывода . Например, мы можем выразить логическую форму допустимого аргумента как:
- Все X есть Y
- Все Y есть Z
- Следовательно, все X есть Z.
Этот аргумент формально действителен, поскольку действителен каждый экземпляр аргументов, построенных с использованием этой схемы.
Это контрастирует с аргументом типа «Фред — сын брата Майка. Следовательно, Фред — племянник Майка». Поскольку этот аргумент зависит от значений слов «брат», «сын» и «племянник», утверждение «Фред — племянник Майка» является так называемым материальным следствием утверждения «Фред — сын брата Майка», а не формальным последствие. Формальное следствие должно быть истинным во всех случаях , однако это неполное определение формального следствия, поскольку даже аргумент « P — сын брата Q , следовательно, P — племянник Q » действителен во всех случаях, но не является формальный аргумент . [1]
Априорное свойство логического следствия
Если известно, что логически следует из , то никакая информация о возможных интерпретациях не повлияет на это знание. На наше знание, которое является логическим следствием, не может повлиять эмпирическое знание . [1] Дедуктивно достоверные аргументы могут быть признаны таковыми без обращения к опыту, поэтому они должны быть познаваемы априори. [1] Однако сама по себе формальность не гарантирует, что эмпирические знания не влияют на логическое следствие. Таким образом, априорное свойство логической последовательности считается независимым от формальности. [1]![вопрос](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![п](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![п](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![вопрос](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![вопрос](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![п](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательства и модели
Два преобладающих метода объяснения логических последствий включают выражение концепции в терминах доказательств и с помощью моделей . Изучение синтаксического следствия (логики) называется (ее) теорией доказательства , тогда как изучение (ее) семантического следствия называется (ее) теорией моделей . [4]
Синтаксическое следствие
Формула — это синтаксическое следствие [5] [ 6] [7] [8] [9] внутри некоторой формальной системы набора формул, если существует формальное доказательство из множества . Это обозначается . Символ турникета был первоначально введен Фреге в 1879 году, но в настоящее время его использование восходит только к Россеру и Клини (1934–1935). [9]
![{\mathcal {FS}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\mathcal {FS}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\vdash](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Синтаксическое следствие не зависит от какой-либо интерпретации формальной системы. [10]
Семантическое следствие
Формула является семантическим следствием внутри некоторой формальной системы набора утверждений тогда и только тогда, когда не существует модели, в которой все члены истинны и ложны. [11] Обозначается . Другими словами, набор интерпретаций, которые делают все члены истинными, является подмножеством множества интерпретаций, которые делают истинными.![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\mathcal {FS}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ mathcal {I}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma \models _ {\mathcal {FS}}A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Модальные аккаунты
Модальные объяснения логических последствий представляют собой вариации следующей основной идеи:
истинно тогда и только тогда, когда необходимо , чтобы все элементы истинно, тогда оно истинно.![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Альтернативно (и, большинство сказали бы, эквивалентно):
истинно тогда и только тогда, когда все элементы не могут быть истинными и ложными.![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Такие объяснения называются «модальными», поскольку они апеллируют к модальным понятиям логической необходимости и логической возможности . «Необходимо, чтобы» часто выражается как универсальный квантор возможных миров , так что приведенные выше утверждения переводятся как:
истинно тогда и только тогда, когда не существует возможного мира, в котором все элементы истинны и ложны (неверны).![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Рассмотрим модальный счет с точки зрения аргумента, приведенного в качестве примера выше:
- Все лягушки зеленые.
- Кермит — лягушка.
- Следовательно, Кермит зеленый.
Заключение является логическим следствием предпосылок, поскольку мы не можем представить возможный мир, в котором (а) все лягушки зеленые; (б) Кермит — лягушка; и (c) Кермит не зеленый.
Модально-формальные счета
Модально-формальные описания логических последствий объединяют модальные и формальные объяснения, приведенные выше, давая вариации следующей основной идеи:
тогда и только тогда, когда аргумент, имеющий ту же логическую форму, что и /, не может иметь истинные посылки и ложный вывод.![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Счета на основе варранта
Все рассмотренные выше теории «сохраняют истину», поскольку все они предполагают, что характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от истинных посылок к ложному заключению. В качестве альтернативы некоторые предложили теорию « гарантийного сохранения», согласно которой характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от обоснованно утверждаемых посылок к заключению, которое не является обоснованно утверждаемым. Это (приблизительно) точка зрения, которой отдают предпочтение такие интуиционисты , как Майкл Даммет .
Немонотонное логическое следствие
Все рассмотренные выше объяснения дают монотонные отношения следствий, т.е. такие, что если является следствием , то является следствием любого надмножества . Также возможно указать немонотонные отношения следствий, чтобы уловить идею о том, что, например, «Твити может летать» является логическим следствием![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![А](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\Гамма](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- {Птицы обычно умеют летать, Твити — птица}
но не из
- {Птицы обычно умеют летать, Твити — птица, Твити — пингвин}.
Смотрите также
Примечания
- ^ abcdef Билл, Дж. К. и Рестолл, Грег, Логические последствия, Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2009 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
- ^ Куайн, Уиллард Ван Орман , Философия логики .
- ^ аб МакКеон, Мэтью , Интернет-энциклопедия философии «Логические последствия» .
- ^ Коста Досен (1996). «Логическое следствие: поворот в стиле». В Марии Луизе Далла Кьяра ; Кес Доэтс; Даниэле Мундичи; Йохан ван Бентем (ред.). Логика и научные методы: первый том Десятого Международного конгресса по логике, методологии и философии науки, Флоренция, август 1995 г. Спрингер. п. 292. ИСБН 978-0-7923-4383-7.
- ^ Даммет, Майкл (1993) философия языка издательства Гарвардского университета, стр.82ff.
- ^ Лир, Джонатан (1986) и логическая теория издательства Кембриджского университета, 136 стр.
- ^ Крит, Ричард, и Фридман, Майкл (2007) Кембриджский партнер издательства Carnap Cambridge University Press, 371 стр.
- ^ FOLDOC: «синтаксическое последствие». Архивировано 3 апреля 2013 г. в Wayback Machine.
- ^ ab SC Kleene, Введение в метаматематику (1952), Van Nostrand Publishing. стр.88.
- ^ Хантер, Джеффри , Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка, University of California Press, 1971, стр. 75.
- ^ Этчеменди, Джон , Логическое следствие , Кембриджский философский словарь.
Ресурсы
- Андерсон, Арканзас; Белнап, Н.Д. младший (1975), Entailment , vol. 1, Принстон, Нью-Джерси: Принстон.
- Аугусто, Луис М. (2017), Логические последствия. Теория и приложения: Введение.Лондон: Публикации колледжа. Серия: Математическая логика и основания.
- Барвайз, Джон ; Этчеменди, Джон (2008), Язык, доказательство и логика , Стэнфорд: публикации CSLI..
- Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булево рассуждение: логика булевых уравнений1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл, Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, 2003 г.
- Дэвис, Мартин, изд. (1965), Неразрешимое, Основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях, Нью-Йорк: Raven Press, ISBN 9780486432281. В число статей входят работы Гёделя , Чёрча , Россера , Клини и Поста .
- Даммет, Майкл (1991), Логическая основа метафизики, издательство Гарвардского университета, ISBN 9780674537866.
- Эджингтон, Дороти (2001), Условные обозначения , Блэквеллв Лу Гобле (редактор), «Руководство Блэквелла по философской логике ».
- Эджингтон, Дороти (2006), «Индикативные условные обозначения», Условные обозначения , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университетв Эдварде Н. Залте (ред.), Стэнфордской энциклопедии философии .
- Этчеменди, Джон (1990), Концепция логического следствия , издательство Гарвардского университета.
- Гобл, Лу, изд. (2001), Путеводитель Блэквелла по философской логике , Блэквелл.
- Хэнсон, Уильям Х (1997), «Концепция логического следствия», The Philosophical Review , 106 (3): 365–409, doi : 10.2307/2998398, JSTOR 2998398365–409.
- Хендрикс, Винсент Ф. (2005), Разговор «Мысль 2: ускоренный курс размышлений и выражения» , Нью-Йорк: Автоматическая пресса / VIP, ISBN 978-87-991013-7-5
- Планшетт, Пенсильвания (2001), Логическое следствиев изд. Гобла Лу, « Руководство Блэквелла по философской логике ». Блэквелл.
- Куайн, Западная Вирджиния (1982), Методы логики , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.(1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), (4-е издание, 1982 г.).
- Шапиро, Стюарт (2002), Необходимость, значение и рациональность: понятие логического следствияв изд. Д. Жакетта, «Спутник философской логики» . Блэквелл.
- Тарский, Альфред (1936), О концепции логического следствияПерепечатано Тарским А., 1983. Логика, семантика, метаматематика , 2-е изд. Издательство Оксфордского университета . Первоначально опубликовано на польском и немецком языках .
- Рышард Войчицкий (1988). Теория логических исчислений: основная теория последовательных операций . Спрингер. ISBN 978-90-277-2785-5.
- Статья о «выводах» с сайта math.niu.edu, импликация. Архивировано 21 октября 2014 г. в Wayback Machine.
- Определение «неявных» AllWords
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с логическими последствиями .