Теорема о ранге–нуле

В линейной алгебре соотношение между 3 измерениями

Теорема о ранге–нуле

Теорема о ранге–нуле — это теорема линейной алгебры , которая утверждает:

• количество столбцов матрицы M равно сумме ранга M и недействительности M ; и
• размерность области линейного преобразования f равна сумме ранга f ( размерности образа f ) и недействительности f (размерности ядра f ) . ^[1] [ 2 ] ^[ 3 ^{] [4]}

Отсюда следует, что для линейных преобразований векторных пространств одинаковой конечной размерности либо инъективность , либо сюръективность влечет за собой биекцию .

Формулировка теоремы

Линейные преобразования

Пусть будет линейным преобразованием между двумя векторными пространствами, где область определения конечномерна. Тогда где — ранг ( размерность его образа ), а — нуль ( размерность его ядра ). Другими словами, Эту теорему можно уточнить с помощью леммы о расщеплении , чтобы она стала утверждением об изоморфизме пространств, а не только размерностей. Явно, поскольку индуцирует изоморфизм из в существование базиса для , который расширяет любой заданный базис , подразумевает с помощью леммы о расщеплении, что Взяв размерности, следует теорема о ранге–нуле. ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (T)~+~\operatorname {nullity} (T)~=~\dim V,}$$ ${\textstyle \operatorname {rank} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {nullity} (T)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} T)+\dim(\operatorname {Ker} T)=\dim(\operatorname {Domain} (T)).}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V/\operatorname {Ker} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (T),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)\oplus \operatorname {Ker} (T)\cong V.}$

Матрицы

Линейные отображения могут быть представлены матрицами . Точнее, матрица M представляет собой линейное отображение , где — это базовое поле . ^[5] Таким образом, размерность области равна n , число столбцов M , а теорема о ранге–нуле для матрицы M равна ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (M)+\operatorname {nullity} (M)=n.}$$

Доказательства

Здесь мы приводим два доказательства. Первое ^[2] работает в общем случае, используя линейные отображения. Второе доказательство ^[6] рассматривает однородную систему , где есть с рангом и явно показывает, что существует набор линейно независимых решений, которые охватывают нулевое пространство . ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Хотя теорема требует, чтобы область линейного отображения была конечномерной, для области определения такого предположения нет. Это означает, что существуют линейные отображения, не заданные матрицами, для которых теорема применима. Несмотря на это, первое доказательство на самом деле не является более общим, чем второе: поскольку образ линейного отображения конечномерен, мы можем представить отображение из его области определения в его образ с помощью матрицы, доказать теорему для этой матрицы, а затем составить с включением образа в полную область определения.

Первое доказательство

Пусть — векторные пространства над некоторым полем и определены так же, как в формулировке теоремы, при . ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim V=n}$

Так как есть подпространство , то для него существует базис. Предположим и пусть будет таким базисом. ${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$ $${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$$

Теперь, используя лемму обмена Штейница , мы можем расширить ее с помощью линейно независимых векторов, чтобы сформировать полный базис . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n-k}}$ ${\displaystyle V}$

Пусть такое, что является основой для . Из этого мы знаем, что $${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}}$$

${\displaystyle =\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}}).}$

Теперь мы утверждаем, что является базисом для . Вышеприведенное равенство уже утверждает, что является порождающим набором для ; остается показать, что он также линейно независим, чтобы заключить, что он является базисом. ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Предположим, что не является линейно независимым, и пусть для некоторого . ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}}$$ ${\displaystyle \alpha _{j}\in F}$

Таким образом, из-за линейности следует, что Это противоречит тому, что является базисом, если только все не равны нулю. Это показывает, что является линейно независимым, и, более конкретно, что он является базисом для . ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T\left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Подводя итог, у нас есть , основа для , и , основа для . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Наконец, мы можем заявить, что $${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim \operatorname {Im} T+\dim \operatorname {Ker} T}$$

${\displaystyle =|T({\mathcal {S}})|+|{\mathcal {K}}|=(n-k)+k=n=\dim V.}$

На этом наше доказательство завершается.

Второе доказательство

Пусть будет матрицей с линейно независимыми столбцами (т.е. ). Покажем, что: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )=r}$

1. Существует множество линейно независимых решений однородной системы . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$
2. Что каждое другое решение является линейной комбинацией этих решений. ${\displaystyle n-r}$

Для этого мы создадим матрицу , столбцы которой образуют базис нулевого пространства . ${\displaystyle n\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Без потери общности предположим, что первые столбцы линейно независимы. Так что можно записать, где ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{2}\end{pmatrix}},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$представляет собой матрицу с линейно независимыми векторами-столбцами, и ${\displaystyle m\times r}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$— матрица, каждый из столбцов которой представляет собой линейную комбинацию столбцов . ${\displaystyle m\times (n-r)}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$

Это означает, что для некоторой матрицы (см. факторизацию ранга ) и, следовательно, ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} }$ ${\displaystyle r\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.}$$

Пусть где — единичная матрица . Итак, — это матрица такая, что $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{n-r}}$ ${\displaystyle (n-r)\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\times (n-r)}$ $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} =\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.}$$

Следовательно, каждый из столбцов является частным решением . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} ={0}_{{F}^{m}}}$

Кроме того, столбцы линейно независимы , поскольку будет подразумевать для : Таким образом, векторы-столбцы составляют набор линейно независимых решений для . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Xu} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in {F}^{n-r}}$ $${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \mathbf {u} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}\end{pmatrix}}\implies \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}}$

Далее мы докажем, что любое решение должно быть линейной комбинацией столбцов . ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Для этого пусть $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}}$$

будет любым вектором таким, что . Поскольку столбцы линейно независимы, следует . ${\displaystyle \mathbf {Au} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{r}}}$

Поэтому, $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}}$$ $${\displaystyle \implies \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {X} \mathbf {u} _{2}.}$$

Это доказывает, что любой вектор , который является решением , должен быть линейной комбинацией специальных решений, заданных столбцами . И мы уже видели, что столбцы линейно независимы. Следовательно, столбцы составляют базис для нулевого пространства . Следовательно, нуль является . Поскольку равен рангу , следует, что . Это завершает наше доказательство. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )+\operatorname {Nullity} (\mathbf {A} )=n}$

Третье фундаментальное подпространство

Когда — линейное преобразование между двумя конечномерными подпространствами, причем и (так что может быть представлено матрицей ) , теорема о ранге–ничтожности утверждает, что если имеет ранг , то — размерность нулевого пространства , которое представляет ядро ​​. В некоторых текстах третье фундаментальное подпространство, связанное с , рассматривается наряду с его образом и ядром: коядро — это фактор-пространство , а его размерность — . Эта формула размерности (которая также может быть представлена ​​) вместе с теоремой о ранге–ничтожности иногда называется фундаментальной теоремой линейной алгебры . ^{[7] [8]} ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle n=\dim(V)}$ ${\displaystyle m=\dim(W)}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W/\operatorname {Im} (T)}$ ${\displaystyle m-r}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (T)+\dim \operatorname {Coker} (T)=\dim(W)}$

Переформулировки и обобщения

Эта теорема является утверждением первой теоремы об изоморфизме алгебры для случая векторных пространств; она обобщается до леммы о расщеплении .

На более современном языке теорему можно также сформулировать так, что каждая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется. Явно, учитывая, что — короткая точная последовательность векторных пространств, то , следовательно Здесь играет роль и есть , т.е. $${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} R\rightarrow 0}$$ ${\displaystyle U\oplus R\cong V}$ $${\displaystyle \dim(U)+\dim(R)=\dim(V).}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ $${\displaystyle 0\rightarrow \ker T\mathbin {\hookrightarrow } V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} \operatorname {im} T\rightarrow 0}$$

В конечномерном случае эта формулировка допускает обобщение: если — точная последовательность конечномерных векторных пространств, то ^[9] Теорема о ранге–нуле для конечномерных векторных пространств может быть также сформулирована в терминах индекса линейного отображения. Индекс линейного отображения , где и конечномерны, определяется как $${\displaystyle 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \cdots V_{r}\rightarrow 0}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.}$$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \operatorname {Ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} T.}$$

Интуитивно понятно, что — это число независимых решений уравнения , а — это число независимых ограничений, которые необходимо наложить, чтобы сделать его разрешимым. Теорема о ранге–ничтожности для конечномерных векторных пространств эквивалентна утверждению ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Tv=0}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Coker} T}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Tv=w}$ $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim V-\dim W.}$$

Мы видим, что мы можем легко считать индекс линейного отображения из вовлеченных пространств, без какой-либо необходимости в подробном анализе. Этот эффект также возникает в гораздо более глубоком результате: теорема Атьи–Зингера об индексе утверждает, что индекс некоторых дифференциальных операторов может быть считан из геометрии вовлеченных пространств. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Цитаты

1. Акслер (2015) стр. 63, §3.22
2. Friedberg, Insel & Spence (2014) стр. 70, §2.1, Теорема 2.3
3. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 52, §2.5.1
4. Валенца (1993) стр. 71, §4.3
5. Фридберг, Инсел и Спенс (2014) стр. 103-104, §2.4, Теорема 2.20
6. Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистической науке (1-е изд.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
7. * Стрэнг, Гилберт . Линейная алгебра и ее приложения . 3-е изд. Орландо: Saunders, 1988.
8. Стрэнг, Гилберт (1993), «Основная теорема линейной алгебры» (PDF) , American Mathematical Monthly , 100 (9): 848–855, CiteSeerX 10.1.1.384.2309 , doi :10.2307/2324660, JSTOR  2324660 
9. Заман, Рагиб. "Размеры векторных пространств в точной последовательности". Mathematics Stack Exchange . Получено 27 октября 2015 г.

Ссылки

• Axler, Sheldon (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистической науке (1-е изд.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Фридберг, Стивен Х.; Инсел, Арнольд Дж.; Спенс, Лоуренс Э. (2014). Линейная алгебра (4-е изд.). Pearson Education . ISBN 978-0130084514.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Валенца, Роберт Дж. (1993) [1951]. Линейная алгебра: введение в абстрактную математику . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.

Внешние ссылки

• Гилберт Стрэнг , Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о четырех фундаментальных подпространствах, от MIT OpenCourseWare