Идеальное число

В теории чисел совершенным частным числом называется целое число , равное сумме его повторяющихся частей . То есть, функция totient применяется к числу n , затем применяется снова к полученному totient и так далее, пока не будет достигнуто число 1, и складывается полученная последовательность чисел; если сумма равна n , то n — совершенное число.

Примеры

Например, существует шесть натуральных чисел, меньших 9 и взаимно простых с ним, поэтому общая сумма 9 равна 6; есть два числа, меньшие 6 и относительно простые с ним, поэтому общая сумма 6 равна 2; и есть одно число меньше 2 и относительно простое с ним, так что общая часть 2 равна 1; и 9 = 6 + 2 + 1 , так что 9 — совершенное число.

Первые несколько совершенных чисел

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471, 729 , 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... (последовательность A082897 в OEIS ).

Обозначения

Символами пишут

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)={\begin{cases}\varphi (n),&{\text{ if }}i=1\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n)),&{\text{ if }}i\geq 2\end{cases}}}$

для итерированной функции totient. Тогда, если c — целое число такое, что

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,}$

получается, что n — совершенное число, если

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n).}$

Кратные и степени трех

Можно заметить, что многие совершенные суммы кратны 3; Фактически, 4375 — это наименьшее совершенное целое число, которое не делится на 3. Все степени 3 являются совершенными общими числами, как можно увидеть с помощью индукции, используя тот факт, что

${\displaystyle \displaystyle \varphi (3^{k})=\varphi (2\times 3^{k})=2\times 3^{k-1}.}$

Венкатараман (1975) нашел другое семейство совершенных тотентных чисел: если p = 4 × 3 ^k  + 1 — простое число , то 3 p — совершенное тотентное число. Значения k , приводящие таким образом к совершенным тотентным числам, равны

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (последовательность A005537 в OEIS ).

В более общем смысле, если p — простое число, большее 3, а 3 p — совершенное число, то p ≡ 1 ( mod 4) (Мохан и Сурьянараяна, 1982). Не все p этой формы приводят к совершенным тотентным числам; например, 51 не является идеальным числом. Яннуччи и др. (2003) показали, что если 9 p — совершенное общее число, то p — простое число одной из трех конкретных форм, перечисленных в их статье. Неизвестно, существуют ли совершенные тотентные числа вида 3k ^p , где p — простое число и k > 3.

Рекомендации

• Перес-Качо Вильяверде, Лауреано (1939). «Собре ла сумма индикаторов успешных орденов». Revista Matematica Hispano-Americana . 5 (3): 45–50.

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. §B41. ISBN 0-387-20860-7.

• Яннуччи, Дуглас Э.; Дэн, Муджи; Коэн, Грэм Л. (2003). «О совершенных числах» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 6 (4): 03.4.5. Бибкод : 2003JIntS...6...45I. MR  2051959. Архивировано из оригинала (PDF) 12 августа 2017 г. Проверено 7 февраля 2007 г.

• Лука, Флориан (2006). «О распределении совершенных вещей» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 9 (4): 06.4.4. Бибкод : 2006JIntS...9...44L. МР  2247943 . Проверено 7 февраля 2007 г.

• Мохан, Алабама; Сурьянараяна, Д. (1982). «Совершенные целевые числа». Теория чисел (Майсур, 1981) . Конспекты лекций по математике, вып. 938, Шпрингер-Верлаг. стр. 101–105. МР  0665442.

• Венкатараман, Т. (1975). «Идеальное число». Студент-математик . 43 : 178. МР  0447089.

• Хюваринен, Туукка (2015). «Täydelliset totienttiluvut». Тампере: Тампереен yliopisto.

Эта статья включает в себя материал из Perfect Totient Number на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .