В математике струйная группа — это обобщение общей линейной группы , которое применяется к полиномам Тейлора вместо векторов в точке. Группа джетов — это группа джетов , которая описывает, как преобразуется полином Тейлора при изменении систем координат (или, что то же самое, диффеоморфизмов ).
Группа джетов Gn k -го порядка состоит из струй гладких диффеоморфизмов φ: Rn → Rn таких, что φ(0) = 0 . [1]
Ниже приводится более точное определение струйной группы.
Пусть k ≥ 2. Дифференциал функции f: Rk → R можно интерпретировать как сечение кокасательного расслоения к RK , заданного формулой df : Rk → T * Rk . Аналогично, производные порядка до m — это сечения струйного расслоения J m ( R k ) = R k × W , где
Здесь R * — векторное пространство, двойственное к R , а Si обозначает i -ю симметричную степень . Гладкая функция f: Rk → R имеет продолжение jm f : Rk → Jm ( Rk ) , определенное в каждой точке p ∈ Rk путем размещения i - й части f в p в S i ( ( R *) k ) компонент W .
Рассмотрим один момент . Существует единственный многочлен f p от k переменных порядка m такой, что p является образом j m f p . То есть, . Дифференциальные данные x' могут быть перенесены так, чтобы они лежали над другой точкой y ∈ Rn как j m f p ( y) , частичные значения f p над y .
Представим J m ( R n ) групповую структуру, взяв
При такой структуре группы J m ( R n ) является группой Карно класса m + 1.
Из-за свойств струй в условиях функциональной композиции Gn k является группой Ли . Группа джетов является полупрямым произведением общей линейной группы и связной односвязной нильпотентной группы Ли . Фактически это также алгебраическая группа , поскольку в состав входят только полиномиальные операции.
