Семиугольное число — фигурное число , которое получается путем объединения семиугольников возрастающего размера. n -е семиугольное число определяется формулой
ЧАС н "=" 5 н 2 − 3 н 2 {\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}} Первые пять семиугольных чисел. Первые несколько семиугольных чисел:
, 1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286, 342, 403, 469, 540, 616 , 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 8, 1404, 1525, 1651, 1782, … (последовательность A000566 в OEIS )
Паритет Четность семиугольных чисел подчиняется схеме нечет-нечет-чет-чет. Как и квадратные числа , цифровой корень по основанию 10 семиугольного числа может быть только 1, 4, 7 или 9. Пять раз семиугольное число плюс 1 равняется треугольному числу .
Дополнительные свойства У семиугольных чисел есть несколько примечательных формул: ЧАС м + н "=" ЧАС м + ЧАС н + 5 м н {\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn} ЧАС м − н "=" ЧАС м + ЧАС н − 5 м н + 3 н {\displaystyle H_{mn}=H_{m}+H_{n}-5mn+3n} ЧАС м − ЧАС н "=" ( 5 ( м + н ) − 3 ) ( м − н ) 2 {\displaystyle H_{m}-H_{n}={\frac {(5(m+n)-3)(mn)}{2}}} 40 ЧАС н + 9 "=" ( 10 н − 3 ) 2 {\displaystyle 40H_{n}+9=(10n-3)^{2}}
Сумма обратных величин Формула суммы обратных семиугольных чисел имеет вид: [1]
∑ н "=" 1 ∞ 2 н ( 5 н − 3 ) "=" 1 15 π 25 − 10 5 + 2 3 Ин ( 5 ) + 1 + 5 3 Ин ( 1 2 10 − 2 5 ) + 1 − 5 3 Ин ( 1 2 10 + 2 5 ) "=" 1 3 ( π 5 φ 6 4 + 5 2 Ин ( 5 ) − 5 Ин ( φ ) ) "=" 1.3227792531223888567 … {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}&={\frac {1}{15}}{ \pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5} }}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{ \sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={ \frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2} }\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}} с золотым сечением . φ "=" 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
Семиугольные корни По аналогии с квадратным корнем из x можно вычислить семиугольный корень из x , то есть количество членов последовательности до x включительно .
Семиугольный корень из x определяется формулой
н "=" 40 Икс + 9 + 3 10 , {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}},} который получается с помощью квадратичной формулы для нахождения его уникального положительного корня n . Икс "=" 5 н 2 − 3 н 2 {\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}
Рекомендации ^ «Помимо Базельской проблемы: суммы обратных величин фигурных чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2013 г. Проверено 19 мая 2010 г.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}&={\frac {1}{15}}{ \pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5} }}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{ \sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={ \frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2} }\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ea2e77d9e6f84bb7e13f5f79f55915e844b3d3)
