Теория гомотопии A¹

Применение гомотопии к алгебраическим многообразиям

В алгебраической геометрии и алгебраической топологии , разделах математики , теория гомотопии A ¹ или теория мотивной гомотопии является способом применения методов алгебраической топологии, в частности гомотопии , к алгебраическим многообразиям и, в более общем плане, к схемам . Теория принадлежит Фабьену Морелю и Владимиру Воеводскому . Основная идея заключается в том, что должно быть возможно разработать чисто алгебраический подход к теории гомотопии, заменив единичный интервал [0, 1] , который не является алгебраическим многообразием, на аффинную линию A ¹ , которая является. Теория увидела впечатляющие приложения, такие как построение Воеводским производной категории смешанных мотивов и доказательство гипотез Милнора и Блоха-Като .

Строительство

Теория гомотопии A ¹ основана на категории, называемойгомотопической категорией A ¹ . Проще говоря, гомотопическая категория A ¹ , или, скорее, канонический функтор, является универсальным функтором из категориигладких-схем в бесконечную категорию , которая удовлетворяет спуску Нисневича , так что аффинная прямая A ¹ становится стягиваемой. Вотнекоторая заранее выбранная базовая схема (например, спектр комплексных чисел). ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )}$

Это определение в терминах универсального свойства невозможно без категорий бесконечности. Они не были доступны в 90-х годах, и исходное определение проходит через теорию модельных категорий Квиллена . Другой способ увидеть ситуацию заключается в том, что исходное определение Мореля-Воеводского создает конкретную модель для (гомотопической категории) категории бесконечности . ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$

Ниже представлена ​​более конкретная конструкция.

Шаг 0

Выберите базовую схему . Классически предлагается быть нётеровской, но многие современные авторы, такие как Марк Хойоис, работают с квазикомпактными квазиразделенными базовыми схемами. В любом случае, многие важные результаты известны только над совершенным базовым полем, таким как комплексные числа, поэтому мы рассмотрим только этот случай. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Шаг 1

Шаг 1a: Пучки Нисневича . Классически построение начинается с категории пучков Нисневича на категории гладких схем над . Эвристически это следует рассматривать как (и в точном техническом смысле является ) универсальное расширение полученного присоединением всех копределов и принуждением к выполнению спуска Нисневича. ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

Шаг 1b: симплициальные пучки . Для того чтобы было легче выполнять стандартные процедуры теории гомотопии, такие как гомотопические копределы и гомотопические пределы, заменены следующей категорией симплициальных пучков. ${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$

Пусть Δ — симплексная категория , то есть категория, объектами которой являются множества

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

и чьи морфизмы являются функциями, сохраняющими порядок. Обозначим категорию функторов . То есть, — это категория симплициальных объектов на . Такой объект также называется симплициальным пучком на . ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

Шаг 1c: функторы слоя . Для любой гладкой -схемы , любой точки и любого пучка запишем для стебля ограничения на малый сайт Нисневича . Явно, где копредел находится по факторизациям канонического включения через этальный морфизм . Набор представляет собой консервативное семейство функторов слоя для . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x^{*}F}$ ${\displaystyle F|_{X_{Nis}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)}$ ${\displaystyle x\to V\to X}$ ${\displaystyle x\to X}$ ${\displaystyle V\to X}$ ${\displaystyle \{x^{*}\}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

Шаг 1d: закрытая модельная структура . Мы определим закрытую модельную структуру на в терминах функторов слоев. Пусть будет морфизмом симплициальных пучков. Мы говорим, что: ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

• f является слабой эквивалентностью , если для любого функтора слоя x из T морфизм симплициальных множеств является слабой эквивалентностью. ${\displaystyle x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$
• f является корасслоением, если оно является мономорфизмом.
• f является расслоением , если оно обладает свойством правильного подъема относительно любого корасслоения, которое является слабой эквивалентностью.

Гомотопическая категория этой модельной структуры обозначается . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}(T)}$

Шаг 2

Эта модельная структура имеет спуск Нисневича, но она не стягивает аффинную линию. Симплициальный пучок называется -локальным, если для любого симплициального пучка отображение ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

индуцированный является биекцией. Здесь мы рассматриваем как пучок посредством вложения Йонеды и постоянный симплициальный объектный функтор . ${\displaystyle i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

Морфизм является -слабой эквивалентностью, если для любого -локального , индуцированное отображение ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})}$

является биекцией. Структура -локальной модели является локализацией вышеуказанной модели относительно -слабых эквивалентностей. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Формальное определение

Наконец, мы можем определить гомотопическую категорию A ¹ .

Определение. Пусть S — конечномерная нётерова схема (например, спектр комплексных чисел), и пусть Sm _{/ S} обозначает категорию гладких схем над S . Оснастим Sm _{/ S} топологией Нисневича , чтобы получить сайт ( Sm _{/ S} ) _Nis . Гомотопическая категория (или категория бесконечности), связанная с -локальной модельной структурой на , называется A ¹ -гомотопической категорией . Она обозначается . Аналогично, для точечных симплициальных пучков существует связанная точечная гомотопическая категория . ${\displaystyle S=Spec(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s,*}}$

Обратите внимание, что по построению для любого X из Sm _{/ S} существует изоморфизм

X × _S А¹
_С≅ X ,

в гомотопической категории.

Свойства теории

Клиновые и разбивающие продукты симплициальных (пред)пучков

Поскольку мы начали с категории симплициальных моделей для построения категории -гомотопии, существует ряд структур, унаследованных от абстрактной теории категорий симплициальных моделей. В частности, для точечных симплициальных пучков в мы можем сформировать произведение клиньев как копредел ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

и продукт разбивания определяется как

${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

восстановление некоторых классических конструкций в теории гомотопий. Кроме того, есть конус симплициального (пред)пучка и конус морфизма, но для их определения требуется определение симплициальных сфер.

Симплициальные сферы

Из того факта, что мы начинаем с симплициальной модельной категории, следует, что существует косимплициальный функтор

${\displaystyle \Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

определение симплексов в . Напомним, что алгебраический n-симплекс задается -схемой ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}-1)}}\right)}$

Вложение этих схем в качестве постоянных предпучков и сшивание дает объекты в , которые мы обозначаем через . Это объекты в образе , т.е. . Затем, используя абстрактную теорию симплициальной гомотопии, мы получаем симплициальные сферы ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}}$

Затем мы можем сформировать конус симплициального (пред)пучка следующим образом:

${\displaystyle C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}}$

и образуют конус морфизма как копредел диаграммы ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}}$

Кроме того, кослой — это просто подвеска . В указанной гомотопической категории есть еще функтор подвески ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\to C(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$предоставлено ${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

и его правый сопряженный

${\displaystyle \Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

называемый функтором пространства циклов .

Замечания

Данная установка, особенно топология Нисневича , выбрана таким образом, чтобы сделать алгебраическую K-теорию представимой спектром, а в некоторых аспектах и ​​сделать возможным доказательство гипотезы Блоха-Като.

После построения Мореля-Воеводского было несколько различных подходов к теории гомотопии A ¹ с использованием других структур модельных категорий или с использованием других пучков, нежели пучки Нисневича (например, пучки Зариского или просто все предпучки). Каждое из этих построений дает одну и ту же гомотопическую категорию.

В теории есть два вида сфер: те, которые происходят из мультипликативной группы, играющей роль 1 -сферы в топологии, и те, которые происходят из симплициальной сферы (рассматриваемой как постоянный симплициальный пучок). Это приводит к теории мотивных сфер S ^{p , q} с двумя индексами. Вычисление гомотопических групп мотивных сфер также дало бы классические стабильные гомотопические группы сфер, так что в этом отношении теория гомотопии A ¹ по крайней мере так же сложна, как и классическая теория гомотопии.

Мотивные аналогии

Пространства Эйленберга-Маклайна

Для абелевой группы -мотивные когомологии гладкой схемы задаются группами гиперкогомологий пучков ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))}$

для . Представляя эту когомологию, мы имеем симплициальный абелев пучок , обозначаемый соответствующий , который рассматривается как объект в указанной мотивной гомотопической категории . Тогда для гладкой схемы мы имеем эквивалентность ${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$ ${\displaystyle K(p,q,A)}$ ${\displaystyle A(q)[+p]}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(k)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

показывая, что эти пучки представляют мотивные пространства Эйленберга-Маклейна ^{[1] стр. 3} .

Стабильная гомотопическая категория

Дальнейшая конструкция в теории гомотопии A ¹ - это категория SH( S ), которая получается из указанной выше нестабильной категории путем принуждения smash-произведения с G _m стать обратимым. Этот процесс может быть выполнен либо с использованием модельно-категориальных конструкций с использованием так называемых G _m -спектров, либо альтернативно с использованием категорий бесконечности.

Для S = Spec ( R ), спектра поля действительных чисел, существует функтор

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )\to SH}$

в стабильную гомотопическую категорию из алгебраической топологии. Функтор характеризуется тем, что отправляет гладкую схему X / R в вещественное многообразие, ассоциированное с X. Этот функтор обладает тем свойством, что отправляет отображение

${\displaystyle \rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

к эквивалентности, так как гомотопически эквивалентно двухточечному множеству. Бахманн (2018) показал, что полученный функтор ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH}$

является эквивалентностью.

Ссылки

1. Воеводский, Владимир (15 июля 2001 г.). «Операции с уменьшенной степенью в мотивных когомологиях». arXiv : math/0107109 .

Обзорные статьи и лекции

• Морель (2002) Введение в теорию A1-гомотопии
• Антио, Бенджамин; Элманто, Элден (2016), «Учебник по нестабильной мотивной гомотопической теории», arXiv : 1605.00929 [math.AG]

Мотивная гомотопия

Фонды

• Исаксен, Дэниел С.; Пол Арне Оствар (2018), «Мотивические стабильные гомотопические группы», arXiv : 1811.05729 [math.AT]
• Морель, Фабьен; Воеводский, Владимир (1999), «А1-гомотопическая теория схем» (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi : 10.1007/BF02698831, MR  1813224, S2CID  14420180 , получено 9 мая. 2008 год
• Воеводский, Владимир (1998), "A1-гомотопическая теория" (PDF) , Documenta Mathematica , Труды Международного конгресса математиков, т. I (Берлин, 1998): 579–604, ISSN  1431-0635, MR  1648048
• Воеводский, Владимир (2008), "Нестабильные мотивные гомотопические категории в топологиях Нисневича и CDH", arXiv : 0805.4576 [math.AG]

Мотивная алгебра Стинрода

• Воеводский, Владимир (2001), «Операции с уменьшенной степенью в мотивных когомологиях», arXiv : math/0107109
• Воеводский, Владимир (2008), "Мотивные пространства Эйленберга-Маклена", arXiv : 0805.4432 [math.AG]

Мотивическая спектральная последовательность Адамса

• Спектральная последовательность мотивов Адамса
• Мотивная хроматическая гомотопическая теория

Спектры

• Жардин. (1999) Мотивированные симметричные спектры

Блох-Като

• Гипотеза Герстена для К-теории Милнора
• Повороты Тейта и когомологии P1

Приложения

• Хойос, Марк; Келли, Шейн; Пол Арне Оствэр (2013), «Мотивная алгебра Стинрода в положительной характеристике», arXiv : 1305.5690 [math.AG]
• Исаксен, Дэниел С.; Пол Арне Оствар (2018), «Мотивические стабильные гомотопические группы», arXiv : 1811.05729 [math.AT]
• Morel, Fabien (2004). «О мотивном π ₀ сферического спектра». Аксиоматическая, обогащенная и мотивная гомотопическая теория . стр. 219–260. doi :10.1007/978-94-007-0948-5_7. ISBN 978-1-4020-1834-3.
• Рёндигс, Оливер; Шпицвек, Маркус; Пауль Арне Оствэр (2016), «Первые стабильные гомотопические группы мотивных сфер», arXiv : 1604.00365 [math.AT]
• Воеводский, Владимир (2003), «О нулевом срезе спектра сферы», arXiv : math/0301013
• Ормсби, Кайл; Рёндигс, Оливер; Пол Арне Оствэр (2017), «Исчезновение в стабильных мотивных гомотопических пучках», arXiv : 1704.04744 [math.AT]

Ссылки

• Бахманн, Том (2018), «Мотивная и вещественная этальная стабильная гомотопическая теория», Compositio Mathematica , 154 (5): 883–917, arXiv : 1608.08855 , doi : 10.1112/S0010437X17007710, S2CID  119305101