Теорема об изоморфизме нормированного вычета

Теорема, связывающая К-теорию Милнора и когомологии Галуа

В математике теорема об изоморфизме вычета нормы является долгожданным результатом, связывающим K -теорию Милнора и когомологии Галуа . Результат имеет относительно элементарную формулировку и в то же время представляет собой ключевой момент в доказательствах многих, казалось бы, не связанных между собой теорем из абстрактной алгебры, теории квадратичных форм , алгебраической K-теории и теории мотивов . Теорема утверждает, что определенное утверждение справедливо для любого простого и любого натурального числа . Джон Милнор ^[1] предположил, что эта теорема может быть верна для и всех , и этот вопрос стал известен как гипотеза Милнора . Общий случай был выдвинут Спенсером Блохом и Казуей Като ^[2] и стал известен как гипотеза Блоха–Като или мотивная гипотеза Блоха–Като, чтобы отличать его от гипотезы Блоха–Като о значениях L -функций . ^[3] Теорема об изоморфизме норменного вычета была доказана Владимиром Воеводским с использованием ряда весьма инновационных результатов Маркуса Роста . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle n}$

Заявление

Для любого целого числа ℓ , обратимого в поле, существует отображение , где обозначает модуль Галуа корней степени ℓ из единицы в некотором сепарабельном замыкании k . Это индуцирует изоморфизм . Первый намек на то, что это связано с K -теорией, заключается в том, что есть группа K ₁ ( k ). Взятие тензорных произведений и применение мультипликативности этальных когомологий дает расширение отображения до отображений: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial :k^{\times }\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })}$ ${\displaystyle \mu _{\ell }}$ ${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}$

Эти отображения обладают свойством, что для каждого элемента a в , обращается в нуль. Это определяющее соотношение теории Милнора K. В частности, теория Милнора K определяется как градуированные части кольца: ${\displaystyle k\setminus \{0,1\}}$ ${\displaystyle \partial ^{n}(\ldots ,a,\ldots ,1-a,\ldots )}$

${\displaystyle K_{*}^{M}(k)=T(k^{\times })/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\}),}$

где — тензорная алгебра мультипликативной группы , а фактор — по двустороннему идеалу, порожденному всеми элементами формы . Поэтому отображение пропускается через отображение: ${\displaystyle T(k^{\times })}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle a\otimes (1-a)}$ ${\displaystyle \partial ^{n}}$

${\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}$

Это отображение называется символом Галуа или отображением норменного вычета . ^{[4] [5] [6]} Поскольку этальные когомологии с коэффициентами по модулю ℓ являются группой кручения ℓ, это отображение дополнительно факторизуется через . ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell }$

Теорема об изоморфизме норменного вычета (или гипотеза Блоха–Като) утверждает, что для поля k и целого числа ℓ, обратимого по k , отображение норменного вычета

${\displaystyle \partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}$

из теории Милнора K mod-ℓ в этальные когомологии является изоморфизмом. Случай ℓ = 2 — это гипотеза Милнора , а случай n = 2 — это теорема Меркурьева–Суслина. ^{[6] [7]}

История

Этальные когомологии поля идентичны когомологиям Галуа , поэтому гипотеза приравнивает ℓ-е кокручение (частное по подгруппе ℓ-делимых элементов) K -группы Милнора поля k к когомологиям Галуа k с коэффициентами в модуле Галуа корней ℓ-й степени из единицы. Суть гипотезы в том, что существуют свойства, которые легко увидеть для K -групп Милнора, но не для когомологий Галуа, и наоборот; теорема об изоморфизме вычета нормы позволяет применять методы, применимые к объекту по одну сторону изоморфизма, к объекту по другую сторону изоморфизма.

Случай, когда n равно 0, тривиален, а случай, когда n = 1, легко следует из теоремы Гильберта 90. Случай n = 2 и ℓ = 2 был доказан (Merkurjev 1981) . Важным достижением стал случай n = 2 и ℓ произвольное. Этот случай был доказан (Merkurjev & Suslin 1982) и известен как теорема Меркурьева–Суслина . Позднее Меркурьев и Суслин, и независимо, Рост, доказали случай n = 3 и ℓ = 2 (Merkurjev & Suslin 1991) (Rost 1986) .ошибка harv: нет цели: CITEREFMerkurjev1981 ( помощь )Ошибка harv: нет цели: CITEREFMercurjevSuslin1982 ( справка )Ошибка harv: нет цели: CITEREFMercurjevSuslin1991 ( справка )ошибка harv: нет цели: CITEREFRost1986 ( помощь )

Название «норменный вычет» изначально относилось к символу Гильберта , который принимает значения в группе Брауэра k (когда поле содержит все корни ℓ-й степени из единицы). Его использование здесь аналогично стандартной локальной теории полей классов и, как ожидается, является частью (пока не разработанной) «более высокой» теории полей классов. ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$

Теорема об изоморфизме вычетов нормы подразумевает гипотезу Квиллена–Лихтенбаума . Она эквивалентна теореме, утверждение которой когда-то называлось гипотезой Бейлинсона–Лихтенбаума.

История доказательства

Гипотеза Милнора была доказана Владимиром Воеводским . ^{[8] [9] [10] [11]} Позднее Воеводский доказал общую гипотезу Блоха–Като. ^{[12] [13]}

Отправной точкой доказательства является ряд гипотез, выдвинутых Лихтенбаумом (1983) и Бейлинсоном (1987) . Они предположили существование мотивных комплексов , комплексов пучков, чьи когомологии связаны с мотивными когомологиями . Среди предположительных свойств этих комплексов было три свойства: одно связывало их когомологии Зарисского с K-теорией Милнора, одно связывало их этальные когомологии с когомологиями с коэффициентами в пучках корней единицы и одно связывало их когомологии Зарисского с их этальными когомологиями. Эти три свойства подразумевали, как очень частный случай, что отображение норменного вычета должно быть изоморфизмом. Существенной характеристикой доказательства является то, что оно использует индукцию по «весу» (равному размерности группы когомологий в гипотезе), где индуктивный шаг требует знания не только утверждения гипотезы Блоха-Като, но и гораздо более общего утверждения, содержащего большую часть гипотез Бейлинсона-Лихтенбаума. В доказательствах по индукции часто случается так, что доказываемое утверждение должно быть усилено для доказательства индуктивного шага. В этом случае необходимое усиление потребовало разработки очень большого количества новой математики. harvtxt error: no target: CITEREFLichtenbaum1983 (help) harvtxt error: no target: CITEREFBeilinson1987 (help)

Самое раннее доказательство гипотезы Милнора содержится в препринте Воеводского 1995 года ^[8] и вдохновлено идеей о том, что должны быть алгебраические аналоги теории Моравы K (эти алгебраические теории Моравы K были позже построены Симоне Боргези ^[14] ). В препринте 1996 года Воеводский смог удалить теорию Моравы K из картины, введя вместо этого алгебраические кобордизмы и используя некоторые из их свойств, которые не были доказаны в то время (эти свойства были доказаны позже). Сейчас известно, что конструкции препринтов 1995 и 1996 годов верны, но первое завершенное доказательство гипотезы Милнора использовало несколько иную схему.

Это также схема, которой следует доказательство полной гипотезы Блоха–Като. Она была разработана Воеводским через несколько месяцев после появления препринта 1996 года. Реализация этой схемы потребовала существенных достижений в области теории мотивной гомотопии, а также поиска способа построения алгебраических многообразий с заданным списком свойств. Из теории мотивной гомотопии доказательство требовало следующее:

1. Построение мотивного аналога основного ингредиента двойственности Спениера–Уайтхеда в виде мотивного фундаментального класса как морфизма из мотивной сферы в пространство Тома мотивного нормального расслоения над гладким проективным алгебраическим многообразием.
2. Построение мотивного аналога алгебры Стинрода .
3. Доказательство предложения о том, что над полем нулевой характеристики мотивная алгебра Стинрода характеризует все бистабильные когомологические операции в мотивных когомологиях.

Первые две конструкции были разработаны Воеводским к 2003 году. В сочетании с результатами, известными с конца 1980-х годов, их было достаточно, чтобы опровергнуть гипотезу Милнора .

Также в 2003 году Воеводский опубликовал в сети препринт, который почти содержал доказательство общей теоремы. Он следовал оригинальной схеме, но в нем отсутствовали доказательства трех утверждений. Два из этих утверждений были связаны со свойствами мотивных операций Стинрода и требовали третьего факта выше, в то время как третье требовало неизвестных тогда фактов о «нормовых многообразиях». Свойства, которыми должны были обладать эти многообразия, были сформулированы Воеводским в 1997 году, а сами многообразия были построены Маркусом Ростом в 1998–2003 годах. Доказательство того, что они обладают требуемыми свойствами, было завершено Андреем Суслиным и Севой Жуховицким в 2006 году.

Третий факт выше потребовал разработки новых методов в теории мотивной гомотопии. Цель состояла в том, чтобы доказать, что функтор, который не предполагался коммутирующим с пределами или копределами, сохранял слабые эквивалентности между объектами определенной формы. Одной из главных трудностей было то, что стандартный подход к изучению слабых эквивалентностей основан на системах факторизации Боусфилда–Квиллена и модельных структурах категорий, а они были неадекватны. Необходимо было разработать другие методы, и эта работа была завершена Воеводским только в 2008 году. ^{[ необходима цитата ]}

В ходе разработки этих методов стало ясно, что первое утверждение, использованное без доказательства в препринте Воеводского 2003 года, ложно. Доказательство пришлось немного изменить, чтобы приспособить исправленную форму этого утверждения. Пока Воеводский продолжал разрабатывать окончательные детали доказательств основных теорем о мотивных пространствах Эйленберга–Маклейна , Чарльз Вайбель придумал подход к исправлению места в доказательстве, которое пришлось изменить. Вайбель также опубликовал в 2009 году статью, содержащую резюме построений Воеводского в сочетании с исправлением, которое он обнаружил. ^[15]

Гипотеза Бейлинсона–Лихтенбаума

Пусть X — гладкое многообразие над полем, содержащим . Бейлинсон и Лихтенбаум предположили, что группа мотивных когомологий изоморфна группе этальных когомологий при p ≤ q . Эта гипотеза теперь доказана и эквивалентна теореме об изоморфизме норменного вычета. ${\displaystyle 1/\ell }$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )}$ ${\displaystyle H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{p}(X,\mu _{\ell }^{\otimes q})}$

Ссылки

1. Милнор (1970)
2. Блох, Спенсер и Като, Казуя, «p-адические этальные когомологии», Inst. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 63 (1986), с. 118
3. Блох, Спенсер и Като, Казуя, «L-функции и числа Тамагавы мотивов», The Grothendieck Festschrift, т. I, 333–400, Progr. Math., 86, Birkhäuser Boston, Бостон, Массачусетс, 1990.
4. Шринивас (1996) стр.146
5. Гилле и Самуэли (2006) стр.108
6. Efrat (2006) стр.221
7. Шринивас (1996) стр.145-193
8. "Воеводский, Владимир. "Гипотеза Блоха-Като для Z/2-коэффициентов и алгебраических K-теорий Моравы" (1995)". UIUC.edu . Получено 3 августа 2017 г. .
9. "Воеводский, Владимир, "Гипотеза Милнора" (1996)". UIUC.edu . Получено 3 августа 2017 г. .
10. "Воеводский, Владимир, "О 2-кручении в мотивных когомологиях" (2001)". UIUC.edu . Получено 3 августа 2017 г. .
11. Воеводский, Владимир, "Мотивические когомологии с Z/2-коэффициентами", Опубл. Математика. Инст. Hautes Études Sci. № 98 (2003), 59–104.
12. "Воеводский, Владимир, "О мотивных когомологиях с Z/l-коэффициентами" (2008)". UIUC.edu . Получено 3 августа 2017 г. .
13. Воеводский (2010)
14. Боргези (2000)
15. Weibel, C. (2009). «Теорема об изоморфизме норменного вычета». Журнал топологии . 2 (2). Wiley: 346–372. doi :10.1112/jtopol/jtp013. ISSN  1753-8416.

Библиография

• Блох, Спенсер; Като, Казуя (1986). «p-адические этальные когомологии». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 63 : 107–152. дои : 10.1007/bf02831624.
• Боргези, Симоне (2000), Алгебраические теории Моравы K и формула высшей степени, Препринт
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и теория Милнора K. Математические обзоры и монографии. Том 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-X. Збл  1103.12002.
• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Збл  1137.12001.
• Милнор, Джон (1970). «Алгебраическая K-теория и квадратичные формы». Inventiones Mathematicae . 9 (4): 318–344. Bibcode : 1970InMat...9..318M. doi : 10.1007/bf01425486.
• Рост, Маркус (1998). «Цепная лемма для разбиения полей символов».
• Шринивас, В. (2008). Алгебраическая K -теория . Modern Birkhäuser Classics (переиздание в мягкой обложке 2-го издания 1996 года). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4736-0. Збл  1125.19300.
• Воеводский, Владимир (1995), Гипотеза Блоха-Като для Z/2-коэффициентов и алгебраических K-теорий Моравы , Препринт, CiteSeerX  10.1.1.154.922
• Воеводский, Владимир (1996), Гипотеза Милнора, Препринт
• Воеводский, Владимир (2001), О 2-кручении в мотивных когомологиях , Препринт, arXiv : math/0107110 , Bibcode : 2001math......7110V
• Воеводский, Владимир (2003a), «Операции пониженной мощности в мотивных когомологиях», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 98 (1): 1–57, arXiv : math/0107109 , doi : 10.1007/s10240-003-0009-z, ISSN  0073-8301, MR  2031198
• Воеводский, Владимир (2003b), «Мотивические когомологии с Z / 2-коэффициентами», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 98 (1): 59–104, doi : 10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, MR  2031199
• Воеводский, Владимир (2008). «О мотивных когомологиях с коэффициентами Z/L». arXiv : 0805.4430 [math.AG].
• Вайбель, Чарльз (2009). «Теорема об изоморфизме норменного вычета». Журнал топологии . 2 (2): 346–372. doi :10.1112/jtopol/jtp013. MR  2529300.
• Воеводский, Владимир (2011). «О мотивных когомологиях с Z/L-коэффициентами». Annals of Mathematics . 174 (1): 401–438. arXiv : 0805.4430 . doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11.