Супермодуль

В математике супермодуль — это Z ₂ - градуированный модуль над суперкольцом или супералгеброй . Супермодули возникают в суперлинейной алгебре , которая является математической основой для изучения понятия суперсимметрии в теоретической физике .

Супермодули над коммутативной супералгеброй можно рассматривать как обобщения супервекторных пространств над (чисто четным) полем K . Супермодули часто играют более заметную роль в суперлинейной алгебре, чем супервекторные пространства. Причина в том, что часто бывает необходимо или полезно расширить поле скаляров, включив в него нечетные переменные. При этом мы переходим от полей к коммутативным супералгебрам и от векторных пространств к модулям.

В этой статье все супералгебры предполагаются ассоциативными и унитальными , если не указано иное.

Формальное определение

Пусть A — фиксированная супералгебра . Правый супермодуль над A — это правый модуль E над A с разложением в прямую сумму (как абелева группа )

${\displaystyle E=E_{0}\oplus E_{1}}$

такой, что умножение на элементы A удовлетворяет

${\displaystyle E_{i}A_{j}\subseteq E_{i+j}}$

для всех i и j в Z ₂ . Тогда подгруппы E _i являются правыми A ₀ -модулями.

Элементы E _i называются однородными . Четность однородного элемента x , обозначаемого | x |, равно 0 или _{1 в зависимости от того ,} находится ли он в E0 или E1 . Элементы четности 0 называются четными , а элементы четности 1 - нечетными . Если a — однородный скаляр, а x — однородный элемент E , то | х · а | является однородным и | х · а | = | х | + | а |.

Аналогично, левые супермодули и супербимодули определяются как левые модули или бимодули над A , скалярные умножения которых очевидным образом учитывают градуировки. Если A суперкоммутативен , то каждый левый или правый супермодуль над A можно рассматривать как супербимодуль , полагая

${\displaystyle a\cdot x=(-1)^{|a||x|}x\cdot a}$

для однородных элементов a ∈ A и x ∈ E и продолжается по линейности. Если A чисто четное, это сводится к обычному определению.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм супермодулей — это гомоморфизм модулей , сохраняющий градуировку. Пусть E и F — правые супермодули над A. Карта

${\displaystyle \phi :E\to F\,}$

является гомоморфизмом супермодуля, если

• ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)\,}$
• ${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\,}$
• ${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}\,}$

для всех a ∈ A и всех x , y ∈ E. Множество всех гомоморфизмов модулей из E в F обозначается Hom( E , F ).

Во многих случаях необходимо или удобно рассматривать более широкий класс морфизмов между супермодулями. Пусть A — суперкоммутативная алгебра. Тогда все супермодули над A естественным образом можно рассматривать как супербимодули. Для супермодулей E и F пусть Hom ( E , F ) обозначает пространство всех право -линейных A-отображений (т.е. всех гомоморфизмов модулей из E в F , рассматриваемых как неградуированные правые A -модули). Существует естественная градуировка на Hom ( E , F ), где четными гомоморфизмами являются те, которые сохраняют градуировку

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}}$

а нечетными гомоморфизмами являются те, которые обращают градуировку

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{1-i}.}$

Если φ ∈ Hom ( E , F ) и a ∈ A однородны, то

${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\qquad \phi (a\cdot x)=(-1)^{|a||\phi |}a\cdot \phi (x).}$

То есть четные гомоморфизмы линейны как справа, так и слева, тогда как нечетный гомоморфизм линейен справа, но антилинейен слева (относительно градуирующего автоморфизма).

Множеству Hom ( E , F ) можно придать структуру бимодуля над A , установив

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot \phi )(x)&=a\cdot \phi (x)\\(\phi \cdot a)(x)&=\phi (a\cdot x).\end{aligned}}}$

При указанной выше градуировке Hom ( E , F ) становится супермодулем над A , четная часть которого является множеством всех обычных гомоморфизмов супермодулей.

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{0}(E,F)=\mathrm {Hom} (E,F).}$

На языке теории категорий класс всех супермодулей над A образует категорию с гомоморфизмами супермодулей в качестве морфизмов. Эта категория представляет собой симметричную моноидальную замкнутую категорию относительно супертензорного произведения, внутренний функтор Hom которой задается Hom .

Рекомендации

• Делинь, Пьер ; Джон В. Морган (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.
• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и сложная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-61378-1.
• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике 11 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3574-2.