Аспект теории вероятностей
В теории вероятностей вычисление суммы нормально распределенных случайных величин является примером арифметики случайных величин .
Это не следует путать с суммой нормальных распределений , которая образует смешанное распределение .
Независимые случайные величины
Пусть X и Y — независимые случайные величины , которые нормально распределены (а значит, и совместно), тогда их сумма также нормально распределена. то есть, если
![{\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z=X+Y,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем
![{\displaystyle Z\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это означает, что сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин является нормальной, причем ее среднее значение представляет собой сумму двух средних значений, а ее дисперсия представляет собой сумму двух дисперсий (т. е. квадрат стандартного отклонения представляет собой сумму квадраты стандартных отклонений). [1]
Чтобы этот результат был верным, нельзя отказаться от предположения о том, что X и Y независимы, хотя его можно ослабить до предположения, что X и Y нормально распределены вместе , а не по отдельности. [2] ( Пример см. здесь .)
Результат о среднем значении справедлив во всех случаях, тогда как результат дисперсии требует некоррелированности, но не независимости.
Доказательства
Доказательство с использованием характеристических функций.
Характеристическая функция
![{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it(X+Y)}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
суммы двух независимых случайных величин X и Y является просто произведением двух отдельных характеристических функций:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right),\qquad \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left( е^{itY}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
X и Y. _ _
Характеристическая функция нормального распределения с ожидаемым значением ц и дисперсией σ 2 равна
![{\displaystyle \varphi (t)=\exp \left (it\mu - {\sigma ^{2}t^{2} \over 2}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Так
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)&=\exp \left(it\mu _ {X}-{\sigma _{X}^{2}t^{2} \over 2}\right)\exp \left(it\mu _{Y}-{\sigma _{Y}^{2 }t^{2} \over 2}\right)\\[6pt]&=\exp \left(it(\mu _{X}+\mu _{Y})-{(\sigma _{X} ^{2}+\sigma _{Y}^{2})t^{2} \over 2}\right).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это характеристическая функция нормального распределения с ожидаемым значением и дисперсией.![{\displaystyle \mu _{X}+\mu _{Y}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Наконец, вспомните, что никакие два различных распределения не могут иметь одну и ту же характеристическую функцию, поэтому распределение X + Y должно быть именно этим нормальным распределением.
Доказательство с использованием сверток
Для независимых случайных величин X и Y распределение f Z от Z = X + Y равно свертке f X и f Y :
![{\displaystyle f_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(zx)f_{X}(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Учитывая, что f X и f Y — нормальные плотности,
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)={\mathcal {N}}(x;\mu _{X},\sigma _{X}^{2})={\frac { 1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}}}e^{-(x-\mu _{X})^{2}/(2\sigma _{X}^{2 })}\\[5pt]f_{Y}(y)={\mathcal {N}}(y;\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})={\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Y}}}e^{-(y-\mu _{Y})^{2}/(2\sigma _{Y}^{2} )}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подставляя в свертку:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _ {Y}}}\exp \left[-{(zx-\mu _{Y})^{2} \over 2\sigma _{Y}^{2}}\right]{\frac {1}{ {\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}}}\exp \left[-{(x-\mu _{X})^{2} \over 2\sigma _{X}^{2 }}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {2\ pi }}\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\exp \left[-{\frac {\sigma _{X}^{2}(zx-\mu _{Y})^{2 }+\sigma _{Y}^{2}(x-\mu _{X})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}} }\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\exp \left[-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z^{2}+x^{2}+\ mu _{Y}^{2}-2xz-2z\mu _{Y}+2x\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}(x^{2}+\mu _{ X}^{2}-2x\mu _{X})}{2\sigma _{Y}^{2}\sigma _{X}^{2}}}\right]\,dx\\[6pt ]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}\sigma _ {Y}}}\exp \left[-{\frac {x^{2}(\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})-2x(\sigma _{ X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X})+\sigma _{X}^{2}(z^{2 }+\mu _{Y}^{2}-2z\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}}{2\sigma _{Y }^{2}\sigma _{X}^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение и завершение квадрата :![{\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _ {Z}}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\ exp \left[-{\frac {x^{2}-2x{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2 }\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}+{\frac {\sigma _{X}^{2}(z^{2}+\mu _{Y}^ {2}-2z\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}}{\sigma _{Z}^{2}}}}{2 \left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]& =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}{\frac {1}{{\sqrt {2 \pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2} }}\right)^{2}-\left({\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}\right)^{2}+{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y}) ^{2}+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}}{\sigma _{Z}^{2}}}}{2\left({\frac {\ сигма _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}\exp \left[-{\frac {\sigma _{Z}^{2} \left(\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})^{2}+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}\right )-\left(\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}\right)^{2}} {2\sigma _{Z}^{2}\left(\sigma _{X}\sigma _{Y}\right)^{2}}}\right]{\frac {1}{{\sqrt { 2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\ frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2 }}}\right)^{2}}{2\left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}} }\right]\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}\exp \left[-{(z-(\ mu _{X}+\mu _{Y}))^{2} \over 2\sigma _{Z}^{2}}\right]\int _{-\infty }^{\infty }{\ frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\ frac {\left(x- {\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{ \sigma _{Z}^{2}}}\right)^{2}}{2\left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}} }\right)^{2}}}\right]\,dx\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Выражение в интеграле представляет собой нормальное распределение плотности по x , поэтому интеграл равен 1. Желаемый результат следующий:
![{\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}\exp \left[-{(z-(\mu _{ X}+\mu _{Y}))^{2} \over 2\sigma _{Z}^{2}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Можно показать, что преобразование Фурье гауссовой функции есть [3]![{\displaystyle f_{X}(x)={\mathcal {N}}(x;\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f_{X}\}=F_{X}(\omega)=\exp \left[-j\omega \mu _{X}\right]\exp \left [-{\tfrac {\sigma _{X}^{2}\omega ^{2}}{2}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По теореме о свертке :
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=(f_{X}*f_{Y})(z)\\[5pt]&={\mathcal {F}}^{-1 }{\big \{}{\mathcal {F}}\{f_{X}\}\cdot {\mathcal {F}}\{f_{Y}\}{\big \}}\\[5pt] &={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}\exp \left[-j\omega \mu _{X}\right]\exp \left[-{\tfrac {\sigma _{X}^{2}\omega ^{2}}{2}}\right]\exp \left[-j\omega \mu _{Y}\right]\exp \left[-{\tfrac { \sigma _{Y}^{2}\omega ^{2}}{2}}\right]{\big \}}\\[5pt]&={\mathcal {F}}^{-1}{ \big \{}\exp \left[-j\omega (\mu _{X}+\mu _{Y})\right]\exp \left[-{\tfrac {(\sigma _{X}^ {2}\ +\sigma _{Y}^{2})\omega ^{2}}{2}}\right]{\big \}}\\[5pt]&={\mathcal {N}} (z;\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Геометрическое доказательство
Сначала рассмотрим нормализованный случай, когда X , Y ~ N (0, 1), так что их PDF-файлы равны
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-y^{2}/2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пусть Z = X + Y. _ Тогда CDF для Z будет
![{\displaystyle z\mapsto \int _ {x+y\leq z}f(x)g(y)\,dx\,dy.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Этот интеграл находится по полуплоскости, лежащей под прямой x + y = z .
Ключевое наблюдение состоит в том, что функция
![{\displaystyle f(x)g(y)={\frac {1}{2\pi }}e^{- (x^{2}+y^{2})/2}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является радиально симметричным. Итак, мы вращаем координатную плоскость вокруг начала координат, выбирая новые координаты такие, чтобы линия x + y = z описывалась уравнением где определяется геометрически. Из-за радиальной симметрии имеем , а CDF для Z равен![{\displaystyle x',y'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x'=c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c=c(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (x) g (y) = f (x ') g (y ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _ {x'\leq c,y'\in \mathbb {R}}f(x')g(y')\,dx'\,dy'.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это легко интегрировать; мы находим, что CDF для Z равен
![{\ displaystyle \ int _ {- \ infty } ^ {c (z)} f (x ') \, dx' = \ Phi (c (z)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Чтобы определить значение , обратите внимание, что мы повернули плоскость так, что линия x + y = z теперь проходит вертикально с точкой пересечения x , равной c . Таким образом , c — это просто расстояние от начала координат до линии x + y = z вдоль серединного перпендикуляра, который пересекает линию в ближайшей к началу координат точке, в данном случае . Таким образом, расстояние равно , а CDF для Z равно , т.е.![{\ displaystyle c (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (z/2,z/2)\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c={\sqrt {(z/2)^{2}+(z/2)^{2}}}=z/{\sqrt {2}}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi (z/{\sqrt {2}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z=X+Y\sim N (0,2).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь, если a , b — любые действительные константы (не обе равны нулю), то вероятность находится с помощью того же интеграла, что и выше, но с ограничивающей линией . Работает тот же метод вращения, и в этом более общем случае мы обнаруживаем, что ближайшая точка линии к началу координат находится на расстоянии (со знаком)![{\displaystyle aX+bY\leq z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle топор+by=z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {z}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
прочь, так что
![{\displaystyle aX+bY\sim N(0,a^{2}+b^{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тот же аргумент в более высоких измерениях показывает, что если
![{\displaystyle X_{i}\sim N(0,\sigma _{i}^{2}),\qquad i=1,\dots,n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем
![{\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}\sim N(0,\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь мы, по сути, закончили, потому что
![{\displaystyle X\sim N(\mu,\sigma ^{2})\Leftrightarrow {\frac {1}{\sigma }}(X-\mu)\sim N(0,1).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В общем, если
![{\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\qquad i=1,\dots,n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\sim N\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu _{i },\sum _{i=1}^{n}(a_{i}\sigma _{i})^{2}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коррелированные случайные величины
В случае, если переменные X и Y совместно являются нормально распределенными случайными величинами, то X + Y по-прежнему имеет нормальное распределение (см. Многомерное нормальное распределение ), а среднее значение представляет собой сумму средних значений. Однако дисперсии не являются аддитивными из-за корреляции. Действительно,
![{\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _ {Y}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где ρ – корреляция . В частности, всякий раз , когда ρ <0, дисперсия меньше суммы дисперсий X и Y.
Распространение этого результата может быть сделано для более чем двух случайных величин, используя ковариационную матрицу .
Доказательство
В этом случае (когда X и Y имеют нулевые средние значения) необходимо рассмотреть
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\iint _{x\,y} \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {x^{2}}{\sigma _{x}^{2} }}+{\frac {y^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}-{\frac {2\rho xy}{\sigma _{x}\sigma _{y}} }\right)\right]\delta (z-(x+y))\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Как и выше, делается замена![{\displaystyle y\rightarrow zx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Этот интеграл сложнее упростить аналитически, но его можно легко выполнить с помощью программы символьной математики. Распределение вероятностей f Z ( z ) в этом случае определяется выражением
![{\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{+}}}\exp \left(-{\frac {z^{2} }{2\sigma _{+}^{2}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
![{\displaystyle \sigma _{+}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho \sigma _{x}\sigma _{y }}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если вместо этого рассмотреть Z = X − Y , то получим
![{\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi (\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y})}}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{ y}^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y})}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который также можно переписать с помощью
![{\displaystyle \sigma _{XY}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y }}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Стандартные отклонения каждого распределения очевидны при сравнении со стандартным нормальным распределением.
Рекомендации
- ^ Лемонс, Дон С. (2002), Введение в случайные процессы в физике , Издательство Университета Джона Хопкинса, стр. 34, ISBN 0-8018-6866-1
- ^ Лимоны (2002), стр. 35–36.
- ↑ Дерпанис, Константинос Г. (20 октября 2005 г.). «Преобразование Фурье гауссианы» (PDF) .
Смотрите также