В геометрии триаконтагон или 30-угольник — это тридцатисторонний многоугольник . Сумма внутренних углов любого триаконтагона составляет 5040 градусов.
Правильный триаконтагон — это конструируемый многоугольник , посредством бисекции ребра правильного пентадекагона , и может быть также построен как усеченный пентадекагон , t {15} . Усеченный триаконтагон, t{30}, является гексаконтагоном , {60}.
Один внутренний угол в правильном триаконтагоне равен 168 градусам, что означает, что один внешний угол будет равен 12°. Триаконтагон — это самый большой правильный многоугольник, внутренний угол которого равен сумме внутренних углов меньших многоугольников : 168° — это сумма внутренних углов равностороннего треугольника (60°) и правильного пятиугольника (108°).
Площадь правильного триаконтагона равна (где t = длина стороны ) [1]
Радиус вписанной окружности правильного триаконтагона равен
Радиус описанной окружности правильного триаконтагона равен
Так как 30 = 2 × 3 × 5, то правильный триаконтагон можно построить с помощью циркуля и линейки . [2]
Правильный триаконтагон имеет Dih 30 диэдральную симметрию , порядок 60, представленную 30 линиями отражения. Dih 30 имеет 7 диэдральных подгрупп: Dih 15 , (Dih 10 , Dih 5 ), (Dih 6 , Dih 3 ) и (Dih 2 , Dih 1 ). Он также имеет еще восемь циклических симметрий в качестве подгрупп: (Z 30 , Z 15 ), (Z 10 , Z 5 ), (Z 6 , Z 3 ) и (Z 2 , Z 1 ), причем Z n представляет собой π/ n радианную вращательную симметрию.
Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. [3] Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через ребра, и g для вращательной симметрии. a1 обозначает отсутствие симметрии.
Эти более низкие симметрии допускают степени свободы при определении нерегулярных триаконтагонов. Только подгруппа g30 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .
Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разбить на m ( m -1)/2 параллелограммов. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного триаконтагона , m = 15, его можно разделить на 105: 7 наборов по 15 ромбов. Это разложение основано на проекции многоугольника Петри 15-куба .
Триаконтаграмма — это 30-сторонний звездчатый многоугольник (хотя это слово встречается крайне редко). Существует 3 правильные формы, заданные символами Шлефли {30/7}, {30/11} и {30/13}, и 11 составных звездных фигур с той же конфигурацией вершин .
Существуют также изогональные триаконтаграммы, построенные как более глубокие усечения правильного пентадекагона {15} и пентадекаграммы {15/7}, а также перевернутые пентадекаграммы {15/11} и {15/13}. Другие усечения образуют двойные покрытия: t{15/14}={30/14}=2{15/7}, t{15/8}={30/8}=2{15/4}, t{15/4}={30/4}=2{15/4} и t{15/2}={30/2}=2{15}. [5]
Правильный триаконтагон — это многоугольник Петри для трех 8-мерных многогранников с симметрией E 8 , показанных в ортогональных проекциях на плоскость Коксетера E 8 . Это также многоугольник Петри для двух 4-мерных многогранников, показанных на плоскости Коксетера H 4 .
Правильная триаконтаграмма {30/7} также является многоугольником Петри для большого большого звездчатого 120-ячейника и большого 600-ячейника .
