«Геометрическая алгебра» — книга, написанная Эмилем Артином и опубликованная издательством Interscience Publishers , Нью-Йорк, в 1957 году. Она была переиздана в 1988 году в серии Wiley Classics ( ISBN 0-471-60839-4 ).
В 1962 году «Алгебру геометрию» , перевод на французский Мишеля Лазара , опубликовал Готье-Виллар, а в 1996 году переиздал. ( ISBN 2-87647-089-6 ) В 1968 году перевод на итальянский язык был опубликован в Милане Фельтринелли. [1] В 1969 году перевод на русский язык был опубликован в Москве издательством «Наука» [2]
Долгожданное продолжение « Современной алгебры» (1930), которую Бартель ван дер Варден опубликовал как свою версию заметок, сделанных на курсе Артина, «Геометрическая алгебра» — это исследовательская монография, подходящая для аспирантов, изучающих математику. Из предисловия:
Книга проиллюстрирована шестью геометрическими конфигурациями во второй главе, которая прослеживает путь от геометрических к полевым аксиомам, ранее исследованным Карлом фон Штаудтом и Давидом Гильбертом .
Глава первая называется «Предварительные понятия». Десять разделов излагают понятия теории множеств , векторных пространств , гомоморфизмов , двойственности , линейных уравнений , теории групп , теории полей , упорядоченных полей и оценок . На странице vii Артин говорит: «Глава I должна использоваться в основном как справочная глава для доказательств некоторых изолированных теорем».
Глава вторая называется «Аффинная и проективная геометрия». Артин ставит эту задачу — создать алгебру (поле k ) из геометрических аксиом:
Применяется рефлексивный вариант параллелизма : параллельные прямые имеют либо все общие точки, либо ни одной. Таким образом, прямая параллельна сама себе.
Аксиома 1 требует уникальной прямой для каждой пары различных точек и уникальной точки пересечения непараллельных прямых. Аксиома 2 зависит от прямой и точки; она требует уникальной параллельной прямой и проходящей через точку прямой. Аксиома 3 требует трех неколлинеарных точек. Аксиома 4a требует переноса для перемещения любой точки в любую другую. Аксиома 4b требует растяжения в точке P для перемещения Q в точку R , когда три точки коллинеарны .
Артин записывает прямую, проходящую через P и Q , как P + Q. Чтобы определить дилатацию , он пишет: «Пусть даны две различные точки P и Q и их образы P ′ и Q ′». Чтобы указать на роль инцидентности в геометрии, дилатация задается следующим свойством: «Если l ′ — это прямая, параллельная P + Q, которая проходит через P ′, то Q ′ лежит на l ′». Конечно, если P ′ ≠ Q ′, то это условие подразумевает, что P + Q параллельна P ′ + Q ′, так что дилатация является аффинным преобразованием .
Расширения без неподвижных точек являются переносами , и показано, что группа переносов T является инвариантной подгруппой группы растяжений. Для расширения σ и точки P след равен P + σP . Отображения T → T , которые являются гомоморфизмами, сохраняющими след , являются элементами k . Сначала показано, что k является ассоциативным кольцом с 1 , затем телом .
Наоборот, существует аффинная геометрия , основанная на любом заданном телесном поле k . Аксиомы 4a и 4b эквивалентны теореме Дезарга . Когда теорема Паппуса о шестиугольнике верна в аффинной геометрии, k коммутативно и , следовательно, является полем.
Третья глава называется «Симплектическая и ортогональная геометрия». Она начинается с метрических структур на векторных пространствах, а затем определяет симплектическую и ортогональную геометрию и описывает их общие и специальные черты. Есть разделы по геометрии над конечными полями и над упорядоченными полями.
Глава четвертая посвящена общим линейным группам . Сначала идет теория Жана Дьедонне детерминантов над "некоммутативными полями" ( телами ). Артин описывает структуру группы GL( n, k ). Более подробно о векторных пространствах над конечными полями.
Глава пятая — «Структура симплектических и ортогональных групп». Она включает разделы об эллиптических пространствах , алгебре Клиффорда и спинорной норме.
Элис Т. Шефер написала: «Математики найдут на многих страницах достаточно доказательств способности автора проникать в тему и представлять материал в особенно элегантной манере». Она отмечает совпадение текста Артина с « Линейной алгеброй и проективной геометрией» Бэра или «Геометрией классических групп» Дьедонне . [3]
Жан Дьедонне рецензировал книгу для Mathematical Reviews и поставил ее на один уровень с «Основами геометрии» Гильберта . [4]