stringtranslate.com

Доказательства и опровержения

«Доказательства и опровержения: логика математических открытий» — книга философа Имре Лакатоса, вышедшая в 1976 году , в которой излагается его взгляд на прогресс математики . Книга написана как серия сократических диалогов с участием группы студентов, которые обсуждают доказательство эйлеровой характеристики, определенной для многогранника . Центральная тема заключается в том, что определения не высечены в камне, а часто должны быть исправлены в свете более поздних открытий, в частности, неудачных доказательств . Это придает математике несколько экспериментальный оттенок. В конце введения Лакатос объясняет, что его цель — бросить вызов формализму в математике и показать, что неформальная математика развивается за счет логики «доказательств и опровержений».

Фон

Книга 1976 года «Доказательства и опровержения» основана на первых трех главах его четырехглавной докторской диссертации 1961 года « Очерки логики математических открытий» . Но ее первая глава представляет собой собственную редакцию Лакатоса первой главы, которая была впервые опубликована под названием « Доказательства и опровержения» в четырех частях в 1963–1964 годах в « Британском журнале философии науки» .

Краткое содержание

В книге объяснены многие важные логические идеи. Например, обсуждается разница между контрпримером к лемме (так называемым «локальным контрпримером») и контрпримером к конкретной гипотезе, подвергающейся критике (в данном случае «глобальным контрпримером» к эйлеровой характеристике). [1]

Лакатос выступает за другой тип учебника, использующий эвристический стиль. Критикам, которые говорят, что такой учебник будет слишком длинным, он отвечает: «Ответ на этот банальный аргумент таков: давайте попробуем».

Книга включает два приложения. В первом Лакатос приводит примеры эвристического процесса математических открытий. Во втором он противопоставляет дедуктивистский и эвристический подходы и обеспечивает эвристический анализ некоторых «порожденных доказательствами» концепций, включая равномерную сходимость , ограниченную вариацию и определение измеримого множества, данное Каратеодори .

Ученики в книге названы в честь букв греческого алфавита.

Метод

Хотя книга написана как повествование, ее цель — разработать реальный метод расследования, основанный на «доказательствах и опровержениях». В Приложении I Лакатос резюмирует этот метод следующим списком этапов:

  1. Примитивная гипотеза.
  2. Доказательство (грубый мысленный эксперимент или рассуждение, разлагающее примитивную гипотезу на подпредположения).
  3. Появляются «глобальные» контрпримеры (контрпримеры к примитивной гипотезе).
  4. Повторное рассмотрение доказательства: обнаружена «лемма вины», для которой глобальный контрпример является «локальным» контрпримером. Эта лемма о вине могла ранее оставаться «скрытой» или могла быть неверно идентифицирована. Теперь оно стало явным и встроено в примитивную гипотезу как условие. Теорема – улучшенная гипотеза – заменяет примитивную гипотезу новой концепцией, созданной доказательством, в качестве ее важнейшей новой особенности.

Он продолжает и описывает дальнейшие стадии, которые иногда могут иметь место:

  1. Доказательства других теорем исследуются на предмет того, встречается ли в них вновь найденная лемма или новая концепция, порожденная доказательством: эта концепция может оказаться лежащей на перекрестке различных доказательств и, таким образом, оказаться имеющей фундаментальное значение.
  2. Проверяются до сих пор принятые следствия исходной и ныне опровергнутой гипотезы.
  3. Контрпримеры превращаются в новые примеры – открываются новые области исследования.

История публикаций

Книга 1976 года была переведена более чем на 15 языков мира, включая китайский, корейский, сербохорватский и турецкий, а второе издание на китайском языке вышло в 2007 году.

Влияние на обучение

Ряд учителей математики применяли метод доказательств и опровержений Лакатоса в классе при преподавании других математических тем. [2] Этот метод применялся для анализа и презентации решения задач по механике старшими классами студентов колледжей. [3]

Математическая ассоциация Америки включила эту книгу в список книг, которые они считают «необходимыми для библиотек по математике для студентов». [4]

Примечания

  1. ^ Лакатос 1976, стр. 10–11.
  2. ^ Фатих Каракус и Месут Бютюн; Исследование метода доказательств и опровержений в подготовке учителей, Bolema vol. 27 № 45 Рио-Кларо, апрель 2013 г.
  3. ^ "Лакатосские монстры" . Проверено 18 января 2015 г.
  4. ^ Сатцер, Уильям Дж. (апрель 2016 г.), «Обзор», MAA Reviews

Рекомендации