stringtranslate.com

Доказательства и опровержения

Доказательства и опровержения: Логика математического открытия — книга философа Имре Лакатоса 1976 года, в которой он излагает свой взгляд на прогресс математики . Книга написана в виде серии сократовских диалогов с участием группы студентов, которые обсуждают доказательство характеристики Эйлера, определенной для многогранника . Центральной темой является то, что определения не высечены на камне, но часто должны быть исправлены в свете более поздних идей, в частности, неудачных доказательств . Это придает математике несколько экспериментальный оттенок. В конце введения Лакатос объясняет, что его цель — бросить вызов формализму в математике и показать, что неформальная математика растет благодаря логике «доказательств и опровержений».

Фон

Книга 1976 года «Доказательства и опровержения» основана на первых трех главах его четырехглавой докторской диссертации 1961 года « Очерки по логике математического открытия» . Но ее первая глава — это собственная переработка Лакатосом его главы 1, которая была впервые опубликована как « Доказательства и опровержения» в четырех частях в 1963–1964 годах в British Journal for the Philosophy of Science .

Синопсис

В книге объясняется множество важных логических идей. Например, обсуждается разница между контрпримером к лемме (так называемым «локальным контрпримером») и контрпримером к конкретной оспариваемой гипотезе (в данном случае «глобальным контрпримером» к эйлеровой характеристике). [1]

Лакатос выступает за другой тип учебника, который использует эвристический стиль. Критикам, которые говорят, что такой учебник будет слишком длинным, он отвечает: «Ответ на этот прозаический аргумент: давайте попробуем».

Книга включает два приложения. В первом Лакатос приводит примеры эвристического процесса в математическом открытии. Во втором он противопоставляет дедуктивистский и эвристический подходы и дает эвристический анализ некоторых концепций «сгенерированных доказательств», включая равномерную сходимость , ограниченную вариацию и определение измеримого множества по Каратеодори.

Ученики в книге названы в честь букв греческого алфавита.

Метод

Хотя книга написана как повествование, она направлена ​​на разработку фактического метода исследования, основанного на «доказательствах и опровержениях». В Приложении I Лакатос суммирует этот метод следующим списком этапов:

  1. Примитивная догадка.
  2. Доказательство (грубый мысленный эксперимент или аргумент, разлагающий примитивную гипотезу на подгипотезы).
  3. Возникают «глобальные» контрпримеры (контрпримеры к примитивной гипотезе).
  4. Доказательство пересмотрено: обнаружена «виновная лемма», по отношению к которой глобальный контрпример является «локальным» контрпримером. Эта виновная лемма могла ранее оставаться «скрытой» или могла быть неправильно идентифицирована. Теперь она сделана явной и встроена в примитивную гипотезу как условие. Теорема — улучшенная гипотеза — заменяет примитивную гипотезу новой концепцией, сгенерированной доказательством, в качестве ее первостепенной новой особенности.

Он продолжает и приводит дополнительные стадии, которые иногда могут иметь место:

  1. Доказательства других теорем исследуются на предмет того, встречаются ли в них вновь найденная лемма или новое понятие, порожденное доказательством: это понятие может оказаться лежащим на перекрестке различных доказательств и, таким образом, оказаться имеющим основополагающее значение.
  2. Проверяются принятые до сих пор следствия первоначальной и теперь опровергнутой гипотезы.
  3. Контрпримеры превращаются в новые примеры — открываются новые области исследования.

История публикации

Книга 1976 года была переведена более чем на 15 языков мира, включая китайский, корейский, сербско-хорватский и турецкий, а в 2007 году вышло ее второе издание на китайском языке.

Влияние на преподавание

Ряд учителей математики применили метод доказательств и опровержений Лакатоса в классе при преподавании других математических тем. [2] Метод был применен для анализа и представления решения задач по механике для учащихся старших классов и студентов колледжей. [3]

Математическая ассоциация Америки включила эту книгу в список книг, которые она считает «необходимыми для библиотек студентов-математиков». [4]

Примечания

  1. ↑ Лакатос 1976, стр. 10–11.
  2. ^ Фатих Каракус и Месут Бютюн; Изучение метода доказательств и опровержений в подготовке будущих учителей, Bolema т. 27 № 45 Рио Кларо апрель 2013 г.
  3. ^ "Lakatosian Monsters" . Получено 18 января 2015 г. .
  4. ^ Satzer, William J. (апрель 2016 г.), «Обзор», MAA Reviews

Ссылки