Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей Джорджа Буля, опубликованное в 1854 году, является второй из двух монографий Буля по алгебраической логике. Буль был профессором математики в тогдашнем Королевском колледже в Корке (ныне Университетский колледж Корка ) в Ирландии .
Историк логики Джон Коркоран написал доступное введение в «Законы мышления» [1] и пошаговое сравнение « Предшествующей аналитики» и «Законов мышления» . [2] По словам Коркорана, Буль полностью принимал и одобрял логику Аристотеля . Целями Буля были «идти ниже, выше и дальше» логики Аристотеля путем:
Точнее, Буль соглашался с тем, что сказал Аристотель ; «разногласия» Буля, если их можно так назвать, касаются того, чего Аристотель не сказал. Во-первых, в области оснований Буль свел четыре пропозициональные формы логики Аристотеля к формулам в форме уравнений — сама по себе революционная идея. Во-вторых, в области проблем логики добавление Булем решения уравнений к логике — еще одна революционная идея — включало в себя доктрину Буля о том, что правила вывода Аристотеля («совершенные силлогизмы») должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многочленные предложения и аргументы, тогда как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные предложения и аргументы субъект-предикат. Например, система Аристотеля не могла вывести «Никакой четырехугольник, являющийся квадратом, не является прямоугольником, являющимся ромбом» из «Никакой квадрат, являющийся четырехугольником, не является ромбом, являющимся прямоугольником» или из «Никакой ромб, являющийся прямоугольником, не является квадратом, являющимся четырехугольником».
Работа Буля основала дисциплину алгебраической логики. Ее часто, хотя и ошибочно, считают источником того, что мы сегодня знаем как булеву алгебру . Однако на самом деле алгебра Буля отличается от современной булевой алгебры: в алгебре Буля A+B не может быть интерпретировано как объединение множеств из-за допустимости неинтерпретируемых терминов в исчислении Буля. Следовательно, алгебры в представлении Буля не могут быть интерпретированы как множества при операциях объединения, пересечения и дополнения, как это имеет место в современной булевой алгебре. Задача разработки современного представления булевой алгебры выпала на долю преемников Буля в традиции алгебраической логики ( Jevons 1869, Peirce 1880, Jevons 1890, Schröder 1890, Huntington 1904).
В изложении Буля его алгебры термины рассуждаются эквационально, без приписывания им систематической интерпретации. Местами Буль говорит о терминах, интерпретируемых множествами, но он также признает термины, которые не всегда могут быть интерпретированы таким образом, например, термин 2AB, который возникает в эквациональных манипуляциях. Такие термины он классифицирует как неинтерпретируемые термины ; хотя в других местах у него есть некоторые примеры таких терминов, интерпретируемых целыми числами.
Связность всего предприятия обоснована Булем в том, что Стэнли Беррис позже назвал «правилом нулей и единиц», которое оправдывает утверждение, что неинтерпретируемые термины не могут быть конечным результатом эквациональных манипуляций из осмысленных исходных формул (Беррис 2000). Буль не предоставил доказательств этого правила, но связность его системы была доказана Теодором Хайлперином, который предоставил интерпретацию, основанную на довольно простой конструкции колец из целых чисел, чтобы обеспечить интерпретацию теории Буля (Хайлперином 1976).
В каждом дискурсе, будь то дискурс ума, беседующего со своими собственными мыслями, или индивида в его общении с другими, существует предполагаемый или выраженный предел, в пределах которого ограничены субъекты его действия. Самый свободный дискурс - тот, в котором слова, которые мы используем, понимаются в максимально широком применении, и для них пределы дискурса совпадают с пределами самой вселенной. Но чаще мы ограничиваем себя менее обширной областью. Иногда, рассуждая о людях, мы подразумеваем (не выражая ограничения), что мы говорим о людях только при определенных обстоятельствах и условиях, как о цивилизованных людях, или о людях в силе жизни, или о людях в каком-то другом состоянии или отношении. Итак, каковы бы ни были размеры области, в которой находятся все объекты нашего дискурса, эту область можно по праву назвать вселенной дискурса . Более того, эта вселенная дискурса в самом строгом смысле является конечным субъектом дискурса.
— Джордж Буль , [3]