stringtranslate.com

Математика

Математика — это область изучения, которая открывает и организует методы, теории и теоремы , которые разрабатываются и доказываются для нужд эмпирических наук и самой математики. Существует много областей математики, которые включают теорию чисел (изучение чисел), алгебру (изучение формул и связанных с ними структур), геометрию (изучение фигур и пространств, которые их содержат), анализ (изучение непрерывных изменений) и теорию множеств (в настоящее время используемую в качестве основы для всей математики).

Математика включает в себя описание и манипулирование абстрактными объектами , которые состоят либо из абстракций от природы, либо — в современной математике — из чисто абстрактных сущностей, которые, как предполагается, обладают определенными свойствами, называемыми аксиомами . Математика использует чистый разум для доказательства свойств объектов, доказательство, состоящее из последовательности применений дедуктивных правил к уже установленным результатам. Эти результаты включают ранее доказанные теоремы , аксиомы и — в случае абстракции от природы — некоторые основные свойства, которые считаются истинными отправными точками рассматриваемой теории. [1]

Математика имеет важное значение в естественных науках , инженерии , медицине , финансах , информатике и социальных науках . Хотя математика широко используется для моделирования явлений, фундаментальные истины математики не зависят от каких-либо научных экспериментов. Некоторые области математики, такие как статистика и теория игр , развиваются в тесной связи с их приложениями и часто группируются в прикладной математике . Другие области развиваются независимо от каких-либо приложений (и поэтому называются чистой математикой ), но часто позже находят практическое применение. [2] [3]

Исторически концепция доказательства и связанная с ней математическая строгость впервые появились в греческой математике , в частности в «Началах » Евклида . [4] С самого начала математика в первую очередь делилась на геометрию и арифметику (манипулирование натуральными числами и дробями ), до XVI и XVII веков, когда алгебра [a] и исчисление бесконечно малых были введены как новые области. С тех пор взаимодействие между математическими инновациями и научными открытиями привело к соответствующему росту развития обоих. [5] В конце XIX века фундаментальный кризис математики привел к систематизации аксиоматического метода , [6] что возвестило о резком увеличении числа математических областей и областей их применения. Современная классификация предметов математики перечисляет более шестидесяти областей математики первого уровня.

Этимология

Слово математика происходит от древнегреческого máthēma ( μάθημα ), что означает «то, что изучается», [7] «то, что человек узнает», отсюда также «изучение» и «наука». Слово стало иметь более узкое и техническое значение «математическое изучение» еще в классические времена . [b] Его прилагательное mathēmatikós ( μαθηματικός ), что означает «связанный с обучением» или «прилежный», что также в дальнейшем стало означать «математический». [11] В частности, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; лат . ars mathematica ) означало «математическое искусство». [7]

Аналогично, одна из двух основных школ мысли в пифагореизме была известна как mathēmatikoi (μαθηματικοί) — что в то время означало «ученики», а не «математики» в современном смысле. Пифагорейцы, вероятно, были первыми, кто ограничил использование этого слова только изучением арифметики и геометрии. Ко времени Аристотеля (384–322 до н. э.) это значение было полностью установлено. [12]

В латинском и английском языках, примерно до 1700 года, термин «математика» чаще всего означал « астрологию » (или иногда « астрономию »), а не «математику»; значение постепенно изменилось до его нынешнего значения примерно с 1500 по 1800 год. Это изменение привело к нескольким неправильным переводам: например, предупреждение Святого Августина о том, что христиане должны остерегаться mathematici , что означает «астрологов», иногда неправильно переводят как осуждение математиков. [13]

Очевидная форма множественного числа в английском языке восходит к латинскому среднему роду множественного числа mathematica ( Цицерон ), основанному на греческом множественном числе ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) и означает примерно «все математические вещи», хотя вполне вероятно, что английский язык заимствовал только прилагательное mathematic(al) и сформировал существительное mathematics заново, по образцу physics и metaphysics , унаследованному от греческого языка. [14] В английском языке существительное mathematics принимает глагол в единственном числе. Его часто сокращают до maths [15] или, в Северной Америке, math . [16]

Разделы математики

До эпохи Возрождения математика делилась на две основные области: арифметику , занимающуюся манипулированием числами, и геометрию , занимающуюся изучением фигур. [17] Некоторые виды псевдонауки , такие как нумерология и астрология , тогда не были четко отделены от математики. [18]

В эпоху Возрождения появились еще две области. Математическая нотация привела к алгебре , которая, грубо говоря, состоит из изучения и манипулирования формулами . Исчисление , состоящее из двух подполей дифференциального исчисления и интегрального исчисления , является изучением непрерывных функций , которые моделируют типично нелинейные отношения между переменными величинами, представленными переменными . Это разделение на четыре основные области — арифметику, геометрию, алгебру, исчисление [19] — сохранялось до конца 19-го века. Такие области, как небесная механика и механика твердого тела , затем изучались математиками, но теперь считаются принадлежащими физике. [20] Предмет комбинаторики изучался на протяжении большей части зафиксированной истории, но не стал отдельной отраслью математики до семнадцатого века. [21]

В конце 19-го века фундаментальный кризис в математике и последовавшая за ним систематизация аксиоматического метода привели к взрыву новых областей математики. [22] [6] Классификация предметов математики 2020 года содержит не менее шестидесяти трех областей первого уровня. [23] Некоторые из этих областей соответствуют старому разделению, как это верно в отношении теории чисел (современное название высшей арифметики ) и геометрии. Несколько других областей первого уровня имеют «геометрию» в своих названиях или иным образом обычно считаются частью геометрии. Алгебра и исчисление не появляются как области первого уровня, но соответственно разделены на несколько областей первого уровня. Другие области первого уровня появились в 20-м веке или ранее не считались математикой, такие как математическая логика и основы . [24]

Теория чисел

Это спираль Улама , которая иллюстрирует распределение простых чисел . Темные диагональные линии в спирали намекают на предполагаемую приблизительную независимость между простым числом и значением квадратичного многочлена, гипотезу, теперь известную как гипотеза Харди и Литтлвуда F.

Теория чисел началась с манипуляции числами , то есть натуральными числами , а затем была расширена до целых и рациональных чисел. Теория чисел когда-то называлась арифметикой, но в настоящее время этот термин в основном используется для числовых вычислений . [25] Теория чисел восходит к древнему Вавилону и, вероятно, Китаю . Двумя выдающимися ранними теоретиками чисел были Евклид из Древней Греции и Диофант из Александрии. [26] Современное изучение теории чисел в ее абстрактной форме в значительной степени приписывается Пьеру де Ферма и Леонарду Эйлеру . Полное развитие этой области произошло благодаря вкладу Адриана-Мари Лежандра и Карла Фридриха Гаусса . [27]

Многие легко формулируемые числовые проблемы имеют решения, требующие сложных методов, часто из разных областей математики. Ярким примером является Великая теорема Ферма . Эта гипотеза была высказана в 1637 году Пьером де Ферма, но была доказана только в 1994 году Эндрю Уайлсом , который использовал инструменты, включая теорию схем из алгебраической геометрии , теорию категорий и гомологическую алгебру . [28] Другим примером является гипотеза Гольдбаха , которая утверждает, что каждое четное целое число, большее 2, является суммой двух простых чисел . Выдвинутая в 1742 году Кристианом Гольдбахом , она остается недоказанной, несмотря на значительные усилия. [29]

Теория чисел включает в себя несколько подобластей, включая аналитическую теорию чисел , алгебраическую теорию чисел , геометрию чисел (ориентированную на методы), диофантовы уравнения и теорию трансцендентности (ориентированную на проблемы). [24]

Геометрия

На поверхности сферы евклидова геометрия применима только как локальное приближение. Для больших масштабов сумма углов треугольника не равна 180°.

Геометрия — одна из старейших ветвей математики. Она началась с эмпирических рецептов, касающихся форм, таких как линии , углы и окружности , которые были разработаны в основном для нужд геодезии и архитектуры , но с тех пор расцвела во многих других областях. [30]

Фундаментальным нововведением было введение древними греками концепции доказательств , которые требуют, чтобы каждое утверждение было доказано . Например, недостаточно проверить измерением , что, скажем, две длины равны; их равенство должно быть доказано посредством рассуждений на основе ранее принятых результатов ( теорем ) и нескольких основных утверждений. Основные утверждения не подлежат доказательству, поскольку они самоочевидны ( постулаты ) или являются частью определения предмета изучения ( аксиомы ). Этот принцип, основополагающий для всей математики, был впервые разработан для геометрии и систематизирован Евклидом около 300 г. до н. э. в его книге «Начала» . [31] [32]

Полученная евклидова геометрия является изучением фигур и их расположений, построенных из линий, плоскостей и окружностей на евклидовой плоскости ( планиметрия ) и трехмерном евклидовом пространстве . [c] [30]

Евклидова геометрия развивалась без изменения методов или области применения до 17-го века, когда Рене Декарт ввел то, что сейчас называется декартовыми координатами . Это представляло собой существенное изменение парадигмы : вместо определения действительных чисел как длин отрезков прямых (см. числовая прямая ), она позволяла представлять точки с помощью их координат , которые являются числами. Таким образом, алгебра (а позже и исчисление) могут использоваться для решения геометрических задач. Геометрия была разделена на два новых подраздела: синтетическую геометрию , которая использует чисто геометрические методы, и аналитическую геометрию , которая использует координаты системно. [33]

Аналитическая геометрия позволяет изучать кривые, не связанные с окружностями и прямыми. Такие кривые можно определить как график функций , изучение которых привело к дифференциальной геометрии . Их также можно определить как неявные уравнения , часто полиномиальные уравнения (которые породили алгебраическую геометрию ). Аналитическая геометрия также позволяет рассматривать евклидовы пространства более трех измерений. [30]

В 19 веке математики открыли неевклидовы геометрии , которые не следуют постулату о параллельности . Поставив под сомнение истинность этого постулата, это открытие рассматривалось как присоединение к парадоксу Рассела в раскрытии основополагающего кризиса математики . Этот аспект кризиса был решен путем систематизации аксиоматического метода и принятия того, что истинность выбранных аксиом не является математической проблемой. [34] [6] В свою очередь, аксиоматический метод позволяет изучать различные геометрии, полученные либо путем изменения аксиом, либо путем рассмотрения свойств, которые не меняются при определенных преобразованиях пространства . [ 35]

Сегодняшние разделы геометрии включают в себя: [24]

Алгебра

см. заголовок
Квадратичная формула , которая кратко выражает решения всех квадратных уравнений
Перемешанный кубик Рубика 3х3
Группа кубика Рубика представляет собой конкретное применение теории групп . [36]

Алгебра — это искусство манипулирования уравнениями и формулами. Диофант (3 век) и аль-Хорезми (9 век) были двумя главными предшественниками алгебры. [37] [38] Диофант решил некоторые уравнения, включающие неизвестные натуральные числа, выводя новые соотношения, пока не получил решение. [39] Аль-Хорезми ввел систематические методы преобразования уравнений, такие как перемещение члена из одной части уравнения в другую. [40] Термин алгебра происходит от арабского слова al-jabr, означающего «воссоединение сломанных частей», которое он использовал для обозначения одного из этих методов в названии своего главного трактата . [41] [42]

Алгебра стала самостоятельной областью науки только благодаря Франсуа Виету (1540–1603), который ввел использование переменных для представления неизвестных или неопределенных чисел. [43] Переменные позволяют математикам описывать операции, которые необходимо выполнять над числами, представленными с помощью математических формул . [44]

До 19 века алгебра в основном состояла из изучения линейных уравнений (в настоящее время линейная алгебра ) и полиномиальных уравнений с одним неизвестным , которые назывались алгебраическими уравнениями (термин все еще используется, хотя он может быть неоднозначным). В 19 веке математики начали использовать переменные для представления вещей, отличных от чисел (таких как матрицы , модульные целые числа и геометрические преобразования ), на которых обобщения арифметических операций часто являются допустимыми. [45] Концепция алгебраической структуры решает эту проблему, состоящую из множества , элементы которого не указаны, операций, действующих на элементы множества, и правил, которым эти операции должны следовать. Таким образом, сфера алгебры расширилась, включив в себя изучение алгебраических структур. Этот объект алгебры был назван современной алгеброй или абстрактной алгеброй , как установлено влиянием и работами Эмми Нётер . [46]

Некоторые типы алгебраических структур имеют полезные и часто фундаментальные свойства во многих областях математики. Их изучение стало автономными частями алгебры и включает в себя: [24]

Изучение типов алгебраических структур как математических объектов является целью универсальной алгебры и теории категорий . [47] Последняя применима к каждой математической структуре (не только алгебраическим). В своем зарождении она была введена вместе с гомологической алгеброй для обеспечения алгебраического изучения неалгебраических объектов, таких как топологические пространства ; эта конкретная область применения называется алгебраической топологией . [48]

Исчисление и анализ

Последовательность Коши состоит из элементов, таких, что все последующие члены члена становятся произвольно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности (слева направо).

Исчисление, ранее называвшееся исчислением бесконечно малых, было введено независимо и одновременно математиками 17-го века Ньютоном и Лейбницем . [49] По сути, это изучение взаимосвязи переменных, которые зависят друг от друга. Исчисление было расширено в 18-м веке Эйлером с введением понятия функции и многими другими результатами. [50] В настоящее время «исчисление» относится в основном к элементарной части этой теории, а «анализ» обычно используется для продвинутых частей. [51]

Анализ далее подразделяется на реальный анализ , где переменные представляют действительные числа , и комплексный анализ , где переменные представляют комплексные числа . Анализ включает в себя множество подобластей, общих с другими областями математики, которые включают: [24]

Дискретная математика

Диаграмма, представляющая двухуровневую цепь Маркова . Уровни обозначены буквами «A» и «E». Числа — это вероятность смены состояния.

Дискретная математика, в широком смысле, — это изучение отдельных, счетных математических объектов. Примером может служить множество всех целых чисел. [52] Поскольку объекты изучения здесь дискретны, методы исчисления и математического анализа напрямую не применяются. [d] Алгоритмы — особенно их реализация и вычислительная сложность — играют важную роль в дискретной математике. [53]

Теорема о четырех цветах и ​​оптимальная упаковка сфер были двумя основными проблемами дискретной математики, решенными во второй половине 20-го века. [54] Проблема P против NP , которая остается открытой и по сей день, также важна для дискретной математики, поскольку ее решение потенциально повлияет на большое количество вычислительно сложных задач. [55]

Дискретная математика включает в себя: [24]

Математическая логика и теория множеств

Синий и розовый круги и их пересечение с надписью
Диаграмма Венна — это широко используемый метод иллюстрации отношений между множествами.

Два предмета — математическая логика и теория множеств — относятся к математике с конца XIX века. [56] [57] До этого периода множества не считались математическими объектами, а логика , хотя и использовалась для математических доказательств, относилась к философии и специально не изучалась математиками. [58]

До изучения Кантором бесконечных множеств математики неохотно рассматривали фактически бесконечные совокупности и считали бесконечность результатом бесконечного перечисления . Работа Кантора оскорбила многих математиков не только тем, что рассматривала фактически бесконечные множества [59], но и тем, что показывала, что это подразумевает различные размеры бесконечности, согласно диагональному аргументу Кантора . Это привело к спорам о теории множеств Кантора . [60] В тот же период различные области математики пришли к выводу, что прежние интуитивные определения основных математических объектов были недостаточными для обеспечения математической строгости . [61]

Это стало основополагающим кризисом математики. [62] В конечном итоге он был решен в общепринятой математике путем систематизации аксиоматического метода внутри формализованной теории множеств . Грубо говоря, каждый математический объект определяется множеством всех подобных объектов и свойствами, которыми должны обладать эти объекты. [22] Например, в арифметике Пеано натуральные числа определяются следующим образом: «ноль — это число», «каждое число имеет уникального последующего», «каждое число, кроме нуля, имеет уникального предшествующего» и некоторыми правилами рассуждения. [63] Эта математическая абстракция от реальности воплощена в современной философии формализма , основанной Дэвидом Гильбертом около 1910 года. [64]

«Природа» объектов, определенных таким образом, является философской проблемой, которую математики оставляют философам, даже если многие математики имеют мнения об этой природе и используют свое мнение — иногда называемое «интуицией» — для руководства своим изучением и доказательствами. Подход позволяет рассматривать «логики» (то есть наборы разрешенных правил вывода), теоремы, доказательства и т. д. как математические объекты и доказывать теоремы о них. Например, теоремы Гёделя о неполноте утверждают, грубо говоря, что в каждой последовательной формальной системе , содержащей натуральные числа, существуют теоремы, которые являются истинными (которые доказуемы в более сильной системе), но не доказуемы внутри системы. [65] Этот подход к основам математики был оспорен в первой половине 20-го века математиками во главе с Брауэром , который продвигал интуиционистскую логику , в которой явно отсутствует закон исключенного третьего . [66] [67]

Эти проблемы и дебаты привели к широкому расширению математической логики с такими подобластями, как теория моделей (моделирование некоторых логических теорий внутри других теорий), теория доказательств , теория типов , теория вычислимости и теория вычислительной сложности . [24] Хотя эти аспекты математической логики были введены до появления компьютеров , их использование в разработке компиляторов , формальной верификации , анализе программ , помощниках по доказательству и других аспектах компьютерной науки , в свою очередь, способствовало расширению этих логических теорий. [68]

Статистика и другие науки о принятии решений

Какова бы ни была форма случайного распределения популяции (μ), выборочное среднее значение (x̄) стремится к гауссовскому распределению, а его дисперсия (σ) определяется центральной предельной теоремой теории вероятностей. [69]

Область статистики — это математическое приложение, которое используется для сбора и обработки выборок данных, используя процедуры, основанные на математических методах, особенно теории вероятностей . Статистики генерируют данные с помощью случайной выборки или рандомизированных экспериментов . [70]

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений, такие как минимизация риска ( ожидаемых потерь ) статистического действия, например, использование процедуры , например, для оценки параметров , проверки гипотез и выбора лучшего . В этих традиционных областях математической статистики проблема принятия статистических решений формулируется путем минимизации целевой функции , например, ожидаемых потерь или затрат , при определенных ограничениях. Например, разработка опроса часто включает минимизацию затрат на оценку среднего значения совокупности с заданным уровнем достоверности. [71] Благодаря использованию оптимизации математическая теория статистики пересекается с другими науками принятия решений , такими как исследование операций , теория управления и математическая экономика . [72]

Вычислительная математика

Вычислительная математика — это изучение математических задач , которые обычно слишком велики для человеческих числовых возможностей. [73] [74] Численный анализ изучает методы решения задач анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; численный анализ в целом включает изучение приближения и дискретизации с особым акцентом на ошибках округления . [75] Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические разделы математической науки, особенно алгоритмическую теорию матриц и графов . Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

История

Древний

Вавилонская математическая табличка Плимптон 322 , датированная 1800 годом до н.э.

В дополнение к пониманию того, как считать физические объекты, доисторические люди, возможно, также знали, как считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года или годы. [76] [77] Доказательства более сложной математики не появляются до примерно 3000  г. до н. э. , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику, алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и строительства, а также для астрономии. [78] Самые старые математические тексты из Месопотамии и Египта датируются 2000–1800 гг. до н. э. [79] Во многих ранних текстах упоминаются пифагорейские тройки , и поэтому, по заключению, теорема Пифагора, по-видимому, является самой древней и распространенной математической концепцией после базовой арифметики и геометрии. Именно в вавилонской математике элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление ) впервые появляется в археологических записях. Вавилоняне также имели позиционную систему счисления и использовали шестидесятеричную систему счисления, которая до сих пор используется для измерения углов и времени. [80]

В VI веке до нашей эры греческая математика начала выделяться в отдельную дисциплину, и некоторые древние греки, такие как пифагорейцы, по-видимому, считали ее самостоятельным предметом. [81] Около 300 г. до н. э. Евклид организовал математические знания с помощью постулатов и первых принципов, которые превратились в аксиоматический метод, который используется в математике сегодня, состоящий из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. [82] Его книга «Начала » широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [83] Величайшим математиком древности часто считают Архимеда ( ок.  287  – ок.  212 до н. э. ) из Сиракуз . [84] Он разработал формулы для вычисления площади поверхности и объема тел вращения и использовал метод исчерпания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. [85] Другими заметными достижениями греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Пергский , 3 век до н. э.), [86] тригонометрия ( Гиппарх Никейский , 2 век до н. э.) [87] и начало алгебры (Диофант, 3 век н. э.). [88]

Цифры, используемые в рукописи Бахшали , датируемой II в. до н.э. и II в. н.э.

Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику . [89] Другие заметные разработки индийской математики включают современное определение и приближение синуса и косинуса , а также раннюю форму бесконечного ряда . [90] [91]

Средневековье и позднее

Страница из «Аль -Джабра » аль -Хорезми

В Золотой век ислама , особенно в IX и X веках, математика увидела много важных инноваций, основанных на греческой математике. Самым заметным достижением исламской математики было развитие алгебры . Другие достижения исламского периода включают достижения в сферической тригонометрии и добавление десятичной точки к арабской системе счисления. [92] Многие известные математики этого периода были персами, такими как Аль-Хорезми , Омар Хайям и Шараф ад-Дин ат-Туси . [93] Греческие и арабские математические тексты, в свою очередь, были переведены на латынь в Средние века и стали доступны в Европе. [94]

В ранний современный период математика начала развиваться в Западной Европе ускоренными темпами , с нововведениями, которые произвели революцию в математике, такими как введение переменных и символических обозначений Франсуа Виэтом (1540–1603), введение логарифмов Джоном Непером в 1614 году, что значительно упростило численные вычисления, особенно для астрономии и морской навигации , введение координат Рене Декартом (1596–1650) для сведения геометрии к алгебре и развитие исчисления Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Лейбницем (1646–1716). Леонард Эйлер (1707–1783), самый известный математик 18-го века, объединил эти нововведения в единый корпус со стандартизированной терминологией и завершил их открытием и доказательством многочисленных теорем. [95]

Карл Фридрих Гаусс

Возможно, самым выдающимся математиком 19-го века был немецкий математик Карл Гаусс , который внес огромный вклад в такие области, как алгебра, анализ, дифференциальная геометрия , теория матриц , теория чисел и статистика . [96] В начале 20-го века Курт Гёдель преобразил математику, опубликовав свои теоремы о неполноте , которые частично показывают, что любая последовательная аксиоматическая система — если она достаточно мощна, чтобы описывать арифметику — будет содержать истинные предложения, которые не могут быть доказаны. [65]

Математика с тех пор значительно расширилась, и между математикой и наукой произошло плодотворное взаимодействие , приносящее пользу обеим. Математические открытия продолжают совершаться и по сей день. По словам Михаила Б. Севрюка в выпуске Бюллетеня Американского математического общества за январь 2006 года , «Число статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews (MR) с 1940 года (первый год работы MR), в настоящее время составляет более 1,9 миллиона, и более 75 тысяч записей добавляются в базу данных каждый год. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства». [97]

Символические обозначения и терминология

Объяснение обозначения суммирования сигма (Σ)

Математическая нотация широко используется в науке и технике для представления сложных концепций и свойств кратким, недвусмысленным и точным способом. Эта нотация состоит из символов, используемых для представления операций , неопределенных чисел, отношений и любых других математических объектов, а затем их сборки в выражения и формулы. [98] Точнее, числа и другие математические объекты представлены символами, называемыми переменными, которые обычно являются латинскими или греческими буквами и часто включают нижние индексы . Операции и отношения обычно представлены определенными символами или глифами , [99] такими как + ( плюс ), × ( умножение ), ( интеграл ), = ( равно ) и < ( меньше ). [100] Все эти символы обычно группируются в соответствии с определенными правилами для формирования выражений и формул. [101] Обычно выражения и формулы не появляются по отдельности, а включаются в предложения текущего языка, где выражения играют роль именных фраз , а формулы играют роль предложений .

Математика разработала богатую терминологию, охватывающую широкий спектр областей, которые изучают свойства различных абстрактных, идеализированных объектов и то, как они взаимодействуют. Она основана на строгих определениях , которые обеспечивают стандартную основу для коммуникации. Аксиома или постулат — это математическое утверждение, которое принимается как истинное без необходимости доказательства. Если математическое утверждение еще не доказано (или опровергнуто), оно называется гипотезой . Благодаря серии строгих аргументов, использующих дедуктивное рассуждение , утверждение, истинность которого доказана , становится теоремой. Специализированная теорема, которая в основном используется для доказательства другой теоремы, называется леммой . Доказанный пример, который является частью более общего вывода, называется следствием . [102]

Многочисленные технические термины, используемые в математике, являются неологизмами , такими как многочлен и гомеоморфизм . [103] Другие технические термины — это слова общеупотребительного языка, которые используются в точном значении, которое может немного отличаться от их общеупотребительного значения. Например, в математике « или » означает «один, другой или оба», в то время как в общеупотребительном языке это либо неоднозначно, либо означает «один или другой, но не оба» (в математике последнее называется « исключающее или »). Наконец, многие математические термины — это общеупотребительные слова, которые используются с совершенно другим значением. [104] Это может привести к предложениям, которые являются правильными и истинными математическими утверждениями, но кажутся бессмысленными людям, не имеющим необходимой подготовки. Например, «каждый свободный модуль плоский » и « поле всегда является кольцом ».

Связь с наукой

Математика используется в большинстве наук для моделирования явлений, что затем позволяет делать прогнозы на основе экспериментальных законов. [105] Независимость математической истины от любого эксперимента подразумевает, что точность таких прогнозов зависит только от адекватности модели. [106] Неточные прогнозы, вместо того чтобы быть вызванными недействительными математическими концепциями, подразумевают необходимость изменения используемой математической модели. [107] Например, прецессия перигелия Меркурия могла быть объяснена только после появления общей теории относительности Эйнштейна , которая заменила закон тяготения Ньютона в качестве лучшей математической модели. [108]

До сих пор ведутся философские дебаты о том, является ли математика наукой. Однако на практике математики обычно объединяются с учеными, а математика имеет много общего с физическими науками. Как и они, она фальсифицируема , что означает в математике, что если результат или теория неверны, это можно доказать, предоставив контрпример . Аналогично, как и в науке, теории и результаты (теоремы) часто получаются из экспериментов . [109] В математике эксперимент может состоять из вычислений на выбранных примерах или из изучения фигур или других представлений математических объектов (часто представлений ума без физической поддержки). Например, когда его спросили, как он пришел к своим теоремам, Гаусс однажды ответил «durch planmässiges Tattonieren» (через систематическое экспериментирование). [110] Однако некоторые авторы подчеркивают, что математика отличается от современного понятия науки тем, что не опирается на эмпирические доказательства. [111] [112] [113] [114]

Чистая и прикладная математика

Исаак Ньютон (слева) и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали исчисление бесконечно малых.

До 19 века развитие математики на Западе было в основном мотивировано потребностями технологий и науки, и не было четкого различия между чистой и прикладной математикой. [115] Например, натуральные числа и арифметика были введены для нужд счета, а геометрия была мотивирована геодезией, архитектурой и астрономией. Позже Исаак Ньютон ввел исчисление бесконечно малых для объяснения движения планет с помощью своего закона тяготения. Более того, большинство математиков были также учеными, а многие ученые были также математиками. [116] Однако, заметное исключение произошло с традицией чистой математики в Древней Греции . [117] Например, проблема целочисленной факторизации , которая восходит к Евклиду в 300 году до нашей эры, не имела практического применения до ее использования в криптосистеме RSA , которая в настоящее время широко используется для обеспечения безопасности компьютерных сетей . [118]

В 19 веке такие математики, как Карл Вейерштрасс и Рихард Дедекинд, все больше сосредотачивали свои исследования на внутренних проблемах, то есть на чистой математике . [115] [119] Это привело к разделению математики на чистую математику и прикладную математику , причем последняя часто рассматривалась как имеющая меньшую ценность среди математических пуристов. Однако границы между ними часто размыты. [120]

Последствия Второй мировой войны привели к всплеску развития прикладной математики в США и других странах. [121] [122] Многие теории, разработанные для приложений, были найдены интересными с точки зрения чистой математики, и было показано, что многие результаты чистой математики имеют приложения за пределами математики; в свою очередь, изучение этих приложений может дать новое понимание «чистой теории». [123] [124]

Примером первого случая является теория распределений , введенная Лораном Шварцем для проверки вычислений, выполненных в квантовой механике , которая сразу же стала важным инструментом (чистого) математического анализа. [125] Примером второго случая является разрешимость теории первого порядка действительных чисел , проблема чистой математики, справедливость которой была доказана Альфредом Тарским , с помощью алгоритма, который невозможно реализовать из-за слишком высокой вычислительной сложности. [126] Для получения алгоритма, который может быть реализован и может решать системы полиномиальных уравнений и неравенств, Джордж Коллинз ввел цилиндрическое алгебраическое разложение , которое стало фундаментальным инструментом в действительной алгебраической геометрии . [127]

В настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее вопросом личных исследовательских целей математиков, чем разделением математики на широкие области. [128] [129] В Классификации предметов математики есть раздел для «общей прикладной математики», но не упоминается «чистая математика». [24] Однако эти термины все еще используются в названиях некоторых университетских кафедр, например, на факультете математики Кембриджского университета .

Необоснованная эффективность

Необоснованная эффективность математики — это явление, которое было названо и впервые явно сформулировано физиком Юджином Вигнером . [3] Фактом является то, что многие математические теории (даже «самые чистые») имеют приложения за пределами своего первоначального объекта. Эти приложения могут полностью выходить за рамки своей первоначальной области математики и могут касаться физических явлений, которые были совершенно неизвестны, когда была введена математическая теория. [130] Примеры неожиданных приложений математических теорий можно найти во многих областях математики.

Ярким примером является разложение на простые множители натуральных чисел, которое было открыто более чем за 2000 лет до его повсеместного использования для безопасной интернет -связи через криптосистему RSA . [131] Вторым историческим примером является теория эллипсов . Они изучались древнегреческими математиками как конические сечения (то есть пересечения конусов с плоскостями). Почти 2000 лет спустя Иоганн Кеплер открыл, что траектории планет являются эллипсами. [132]

В 19 веке внутреннее развитие геометрии (чистой математики) привело к определению и изучению неевклидовых геометрий, пространств размерности выше трех и многообразий . В то время эти концепции казались полностью оторванными от физической реальности, но в начале 20 века Альберт Эйнштейн разработал теорию относительности , которая фундаментально использует эти концепции. В частности, пространство-время специальной теории относительности является неевклидовым пространством размерности четыре, а пространство-время общей теории относительности является (искривленным) многообразием размерности четыре. [133] [134]

Поразительным аспектом взаимодействия математики и физики является то, что математика движет исследованиями в физике. Это иллюстрируется открытиями позитрона и бариона . В обоих случаях уравнения теорий имели необъясненные решения, что привело к предположению о существовании неизвестной частицы и поиску этих частиц. В обоих случаях эти частицы были обнаружены несколько лет спустя в ходе специальных экспериментов. [135] [136] [137]

Конкретные науки

Физика

Схема маятника

Математика и физика оказали друг на друга влияние на протяжении всей их современной истории. Современная физика широко использует математику, [138] а также считается движущей силой основных математических разработок. [139]

Вычисления

Вычислительная техника тесно связана с математикой несколькими способами. [140] Теоретическая информатика считается математической по своей природе. [141] Коммуникационные технологии применяют разделы математики, которые могут быть очень старыми (например, арифметика), особенно в отношении безопасности передачи данных, в криптографии и теории кодирования . Дискретная математика полезна во многих областях информатики, таких как теория сложности , теория информации и теория графов . [142] В 1998 году гипотеза Кеплера об упаковке сфер , по-видимому, также была частично доказана компьютером. [143]

Биология и химия

Кожа этой гигантской рыбы-собаки демонстрирует узор Тьюринга , который можно смоделировать с помощью систем реакции-диффузии .

Биология широко использует вероятность в таких областях, как экология или нейробиология . [144] Большинство обсуждений вероятности сосредоточено на концепции эволюционной приспособленности . [144] Экология активно использует моделирование для имитации динамики популяции , [144] [145] изучения экосистем, таких как модель «хищник-жертва», измерения диффузии загрязнений, [146] или оценки изменения климата. [147] Динамика популяции может быть смоделирована с помощью связанных дифференциальных уравнений, таких как уравнения Лотки-Вольтерры . [148]

Статистическая проверка гипотез проводится на основе данных клинических испытаний , чтобы определить, работает ли новое лечение. [149] С начала 20-го века химия использовала вычисления для моделирования молекул в трех измерениях. [150]

Науки о Земле

Структурная геология и климатология используют вероятностные модели для прогнозирования риска природных катастроф. [151] Аналогичным образом, метеорология , океанография и планетология также используют математику из-за их интенсивного использования моделей. [152] [153] [154]

Социальные науки

Области математики, используемые в социальных науках, включают вероятность/статистику и дифференциальные уравнения. Они используются в лингвистике, экономике , социологии , [155] и психологии . [156]

Кривые спроса и предложения , подобные этой, являются основой математической экономики.

Часто фундаментальным постулатом математической экономики является постулат о рациональном индивидуальном действующем лице – Homo economicus ( досл. « экономический человек » ). [157] В этой модели индивид стремится максимизировать свой личный интерес , [157] и всегда делает оптимальный выбор, используя совершенную информацию . [158] Этот атомистический взгляд на экономику позволяет ей относительно легко математизировать свое мышление, поскольку индивидуальные расчеты транспонируются в математические расчеты. Такое математическое моделирование позволяет исследовать экономические механизмы. Некоторые отвергают или критикуют концепцию Homo economicus . Экономисты отмечают, что реальные люди имеют ограниченную информацию, делают плохой выбор и заботятся о справедливости, альтруизме, а не только о личной выгоде. [159] 

Без математического моделирования трудно выйти за рамки статистических наблюдений или непроверяемых спекуляций. Математическое моделирование позволяет экономистам создавать структурированные структуры для проверки гипотез и анализа сложных взаимодействий. Модели обеспечивают ясность и точность, позволяя переводить теоретические концепции в количественные прогнозы, которые можно проверить на основе реальных данных. [160]

В начале 20-го века появилась возможность выразить исторические движения в формулах. В 1922 году Николай Кондратьев выделил ~50-летний цикл Кондратьева , который объясняет фазы экономического роста или кризиса. [161] К концу 19-го века математики распространили свой анализ на геополитику . [162] Петр Турчин развивал клиодинамику с 1990-х годов. [163]

Математизация социальных наук не лишена риска. В противоречивой книге «Модная чушь» (1997) Сокал и Брикмонт осудили необоснованное или злоупотребляющее использование научной терминологии, особенно из математики или физики, в социальных науках. [164] Изучение сложных систем (эволюция безработицы, деловой капитал, демографическая эволюция населения и т. д.) использует математические знания. Однако выбор критериев подсчета, особенно для безработицы, или моделей может быть предметом споров. [165] [166]

Философия

Реальность

Связь между математикой и материальной реальностью привела к философским дебатам, по крайней мере, со времен Пифагора . Древний философ Платон утверждал, что абстракции, отражающие материальную реальность, сами по себе имеют реальность, которая существует вне пространства и времени. В результате философская точка зрения, согласно которой математические объекты каким-то образом существуют сами по себе в абстракции, часто называется платонизмом . Независимо от их возможных философских мнений, современных математиков можно в целом считать платониками, поскольку они думают и говорят о своих объектах изучения как о реальных объектах. [167]

Арман Борель резюмировал этот взгляд на реальность математики следующим образом и привел цитаты Г. Х. Харди , Шарля Эрмита , Анри Пуанкаре и Альберта Эйнштейна, которые подтверждают его взгляды. [135]

Что-то становится объективным (в отличие от «субъективного»), как только мы убеждаемся, что оно существует в умах других в той же форме, что и в наших, и что мы можем думать об этом и обсуждать это вместе. [168] Поскольку язык математики настолько точен, он идеально подходит для определения концепций, для которых существует такой консенсус. По моему мнению, этого достаточно, чтобы дать нам чувство объективного существования, реальности математики...

Тем не менее, платонизм и сопутствующие ему взгляды на абстракцию не объясняют необоснованную эффективность математики. [169]

Предлагаемые определения

Не существует общего согласия относительно определения математики или ее эпистемологического статуса — то есть ее места среди других видов человеческой деятельности. [170] [171] Очень многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают ее неопределимой. [170] Не существует даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой. [171] Некоторые просто говорят: «математика — это то, чем занимаются математики». [170] Это имеет смысл, поскольку среди них существует прочное согласие относительно того, что является математикой, а что нет. Большинство предлагаемых определений пытаются определить математику по ее объекту изучения. [172]

Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение только на количестве не может отличать математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отделимого в мысли» от реальных случаев, отличают математику. [173] В 19 веке, когда математики начали обращаться к темам, таким как бесконечные множества, которые не имеют четкого отношения к физической реальности, было дано множество новых определений. [174] С большим количеством новых областей математики, которые появились с начала 20 века и продолжают появляться, определение математики по этому объекту изучения становится невыполнимой задачей. Например, вместо определения, Сондерс Маклейн в работе «Математика, форма и функция» суммирует основы нескольких областей математики, подчеркивая их взаимосвязь, и замечает: [175]

Развитие математики обеспечивает тесно связанную сеть формальных правил, концепций и систем. Узлы этой сети тесно связаны с процедурами, полезными в человеческой деятельности, и с вопросами, возникающими в науке. Переход от деятельности к формальным математическим системам направляется множеством общих идей и идей.

Другой подход к определению математики — использовать ее методы. Таким образом, область изучения может быть квалифицирована как математика, как только можно доказать теоремы — утверждения, справедливость которых основана на доказательстве, то есть чисто логическом выводе. [176] Другие придерживаются точки зрения, что математика — это исследование аксиоматической теории множеств, поскольку это исследование теперь является основополагающей дисциплиной для большей части современной математики. [177]

Строгость

Математическое рассуждение требует строгости . Это означает, что определения должны быть абсолютно однозначными, а доказательства должны сводиться к последовательности применений правил вывода , [e] без какого-либо использования эмпирических доказательств и интуиции . [f] [178] Строгое рассуждение не является специфичным для математики, но в математике стандарт строгости намного выше, чем где-либо еще. Несмотря на краткость математики , строгие доказательства могут потребовать сотни страниц для выражения, например, 255-страничная теорема Фейта-Томпсона . [g] Появление компьютерных доказательств позволило еще больше увеличить длину доказательств. [h] [179] Результатом этой тенденции является философия квазиэмпирического доказательства , которое нельзя считать непогрешимым, но к нему прикреплена вероятность. [6]

Концепция строгости в математике восходит к Древней Греции, где общество поощряло логические, дедуктивные рассуждения. Однако этот строгий подход, как правило, препятствовал исследованию новых подходов, таких как иррациональные числа и концепции бесконечности. Метод демонстрации строгого доказательства был улучшен в шестнадцатом веке за счет использования символической записи. В восемнадцатом веке социальный переход привел к тому, что математики зарабатывали себе на жизнь преподаванием, что привело к более тщательному размышлению об основных концепциях математики. Это привело к более строгим подходам, при переходе от геометрических методов к алгебраическим, а затем и арифметическим доказательствам. [6]

В конце 19 века оказалось, что определения основных понятий математики недостаточно точны для избежания парадоксов (неевклидовы геометрии и функция Вейерштрасса ) и противоречий (парадокс Рассела). Это было решено включением аксиом с аподиктическими правилами вывода математических теорий; повторным введением аксиоматического метода, впервые предложенного древними греками. [6] Это приводит к тому, что «строгость» больше не является релевантным понятием в математике, поскольку доказательство может быть либо правильным, либо ошибочным, а «строгое доказательство» — это просто плеоназм . Где вступает в игру особое понятие строгости, так это в социализированных аспектах доказательства, где оно может быть наглядно опровергнуто другими математиками. После того, как доказательство принималось в течение многих лет или даже десятилетий, его можно считать надежным. [180]

Тем не менее, концепция «строгости» может оставаться полезной для обучения начинающих тому, что такое математическое доказательство. [181]

Обучение и практика

Образование

Математика обладает замечательной способностью пересекать культурные границы и временные периоды. Как человеческая деятельность , практика математики имеет социальную сторону, которая включает образование , карьеру , признание , популяризацию и т. д. В образовании математика является основной частью учебной программы и образует важный элемент академических дисциплин STEM . Известные карьеры для профессиональных математиков включают учителя математики или профессора, статистика , актуария , финансового аналитика , экономиста , бухгалтера , товарного трейдера или компьютерного консультанта . [182]

Археологические данные показывают, что обучение математике началось еще во втором тысячелетии до н. э. в древней Вавилонии. [183] ​​Сопоставимые данные были обнаружены для обучения математике писцов на древнем Ближнем Востоке , а затем для греко-римского мира, начиная с 300 г. до н. э. [184] Самый старый известный учебник по математике - папирус Ринда , датируемый примерно 1650  г. до н. э. в Египте. [185] Из-за нехватки книг математические учения в древней Индии передавались с помощью заученной устной традиции со времен Вед ( ок.  1500  - ок.  500 г. до н. э. ). [186] В императорском Китае во времена династии Тан (618-907 гг. н. э.) была принята учебная программа по математике для экзамена на государственную службу для поступления на государственную бюрократию. [187]

После Темных веков математическое образование в Европе предоставлялось религиозными школами как часть Квадривиума . Формальное обучение педагогике началось в школах иезуитов в XVI и XVII веках. Большинство математических учебных программ оставались на базовом и практическом уровне до девятнадцатого века, когда они начали процветать во Франции и Германии. Старейшим журналом, посвященным обучению математике, был L'Enseignement Mathématique , который начал публиковаться в 1899 году. [188] Западные достижения в области науки и техники привели к созданию централизованных систем образования во многих национальных государствах, где математика была основным компонентом — первоначально для ее военного применения. [189] Хотя содержание курсов различается, в настоящее время почти во всех странах математика преподается студентам в течение значительного количества времени. [190]

В школе математические способности и позитивные ожидания тесно связаны с интересом к карьере в этой области. Внешние факторы, такие как мотивация обратной связи со стороны учителей, родителей и сверстников, могут влиять на уровень интереса к математике. [191] У некоторых студентов, изучающих математику, может развиться опасение или страх относительно своей успеваемости по предмету. Это известно как математическая тревожность или математическая фобия и считается наиболее заметным из расстройств, влияющих на успеваемость. Математическая тревожность может развиваться из-за различных факторов, таких как отношение родителей и учителей, социальные стереотипы и личные черты. Помощь в противодействии тревожности может прийти из-за изменений в подходах к обучению, взаимодействия с родителями и учителями, а также индивидуального лечения для каждого человека. [192]

Психология (эстетика, творчество и интуиция)

Обоснованность математической теоремы зависит только от строгости ее доказательства, которое теоретически может быть сделано автоматически компьютерной программой . Это не означает, что в математической работе нет места для творчества. Напротив, многие важные математические результаты (теоремы) являются решениями проблем, которые не смогли решить другие математики, и изобретение способа их решения может быть фундаментальным способом процесса решения. [193] [194] Крайним примером является теорема Эпери : Роджер Эпери предоставил только идеи для доказательства, а формальное доказательство было дано лишь несколько месяцев спустя тремя другими математиками. [195]

Творчество и строгость — не единственные психологические аспекты деятельности математиков. Некоторые математики могут рассматривать свою деятельность как игру, а точнее, как решение головоломок . [196] Этот аспект математической деятельности подчеркивается в развлекательной математике .

Математики могут найти эстетическую ценность в математике. Как и красоту , ее трудно определить, ее обычно связывают с элегантностью , которая включает такие качества, как простота , симметрия , полнота и общность. GH Hardy в A Mathematician's Apology выразил убеждение, что эстетические соображения сами по себе достаточны для оправдания изучения чистой математики. Он также определил другие критерии, такие как значимость, неожиданность и неизбежность, которые способствуют математической эстетике. [197] Пол Эрдёш выразил это мнение более иронично, говоря о «Книге», предполагаемом божественном собрании самых красивых доказательств. Книга 1998 года Proofs from THE BOOK , вдохновленная Эрдёшем, представляет собой сборник особенно кратких и разоблачительных математических аргументов. Некоторые примеры особенно элегантных результатов включают доказательство Евклида того, что существует бесконечно много простых чисел, и быстрое преобразование Фурье для гармонического анализа . [198]

Некоторые считают, что считать математику наукой — значит принижать ее художественность и историю в семи традиционных свободных искусствах . [199] Одним из способов проявления этой разницы во взглядах является философский спор о том, создаются ли математические результаты (как в искусстве) или открываются (как в науке). [135] Популярность развлекательной математики — еще один признак того, что многие находят удовольствие в решении математических задач.

Культурное влияние

Художественное выражение

Ноты, которые хорошо звучат вместе для западного уха, — это звуки, основные частоты колебаний которых находятся в простых соотношениях. Например, октава удваивает частоту, а чистая квинта умножает ее на . [200] [201]

Фрактал с масштабной симметрией и центральной симметрией

Люди, как и некоторые другие животные, считают симметричные узоры более красивыми. [202] Математически симметрии объекта образуют группу, известную как группа симметрии . [203] Например, группа, лежащая в основе зеркальной симметрии, является циклической группой из двух элементов, . Тест Роршаха представляет собой фигуру, инвариантную этой симметрией, [204] как и тела бабочек и животных в более общем смысле (по крайней мере, на поверхности). [205] Волны на поверхности моря обладают трансляционной симметрией: перемещение точки наблюдения на расстояние между гребнями волн не меняет вид моря. [206] Фракталы обладают самоподобием . [207] [208]

Популяризация

Популярная математика — это акт представления математики без технических терминов. [209] Представление математики может быть сложным, поскольку широкая публика страдает от математической тревожности , а математические объекты являются весьма абстрактными. [210] Однако написание популярных математических текстов может преодолеть это, используя приложения или культурные связи. [211] Несмотря на это, математика редко становится темой популяризации в печатных или телевизионных СМИ.

Награды и проблемы с призами

Лицевая сторона медали Филдса с изображением греческого ученого-энциклопедиста Архимеда.

Самая престижная награда в области математики — медаль Филдса , [212] [213] учрежденная в 1936 году и присуждаемая каждые четыре года (за исключением периода Второй мировой войны ) максимум четырем лицам. [214] [215] Она считается математическим эквивалентом Нобелевской премии . [215]

Другие престижные награды по математике включают: [216]

Знаменитый список из 23 открытых проблем , называемый « проблемами Гильберта », был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. [224] Этот список приобрел большую известность среди математиков, [225] и по крайней мере тринадцать проблем (в зависимости от того, как некоторые из них интерпретируются) были решены. [224]

Новый список из семи важных проблем, названный « Проблемы премии тысячелетия », был опубликован в 2000 году. Только одна из них, гипотеза Римана , дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем влечет за собой вознаграждение в размере 1 миллиона долларов. [226] На сегодняшний день только одна из этих проблем, гипотеза Пуанкаре , была решена российским математиком Григорием Перельманом . [227]

Смотрите также

Ссылки

Примечания

  1. ^ Здесь алгебра понимается в ее современном смысле, что, грубо говоря, является искусством манипулирования формулами .
  2. ^ Это значение можно найти в «Государстве» Платона , книга 6, раздел 510c. [8] Однако Платон не использовал математический термин; Аристотель использовал его, комментируя. [9] [ нужен лучший источник ] [10] [ нужен лучший источник ]
  3. ^ Сюда входят конические сечения , которые являются пересечениями круговых цилиндров и плоскостей.
  4. ^ Однако иногда используются некоторые продвинутые методы анализа, например, методы комплексного анализа, применяемые для генерации рядов .
  5. ^ Это не означает, что нужно сделать явными все используемые правила вывода. Напротив, это, как правило, невозможно без компьютеров и помощников доказательства . Даже с этой современной технологией могут потребоваться годы человеческой работы для записи полностью подробного доказательства.
  6. ^ Это не означает, что для выбора теорем, которые необходимо доказать, и для их доказательства не нужны эмпирические данные и интуиция.
  7. ^ Это длина оригинальной статьи, которая не содержит доказательств некоторых ранее опубликованных вспомогательных результатов. Книга, посвященная полному доказательству, насчитывает более 1000 страниц.
  8. ^ Для того, чтобы считать надежным большое вычисление, происходящее в доказательстве, обычно требуется два вычисления с использованием независимого программного обеспечения.

Цитаты

  1. ↑ Иполито, Инес Вьегас (9–15 августа 2015 г.). «Абстрактное познание и природа математического доказательства». По-канциански — христианин; Миттерер, Йозеф ; Негес, Катарина (ред.). Реализм – Релятивизм – Конструктивизм: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums [ Реализм – Релятивизм – Конструктивизм: Материалы 38-го Международного симпозиума Витгенштейна ] (PDF) (на немецком и английском языках). Том. 23. Кирхберг-ам-Векзель, Австрия: Австрийское общество Людвига Витгенштейна. стр. 132–134. ISSN  1022-3398. OCLC  236026294. Архивировано (PDF) из оригинала 7 ноября 2022 г. Получено 17 января 2024 г.(на ResearchGate)Значок открытого доступаАрхивировано 5 ноября 2022 г. на Wayback Machine )
  2. ^ Петерсон 1988, стр. 12.
  3. ^ ab Wigner, Eugene (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках». Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1–14. Bibcode :1960CPAM...13....1W. doi :10.1002/cpa.3160130102. S2CID  6112252. Архивировано из оригинала 28 февраля 2011 г.
  4. ^ Wise, David. «Влияние Евдокса на «Элементы» Евклида с пристальным вниманием к «Метод исчерпывания»». Университет Джорджии . Архивировано из оригинала 1 июня 2019 г. Получено 18 января 2024 г.
  5. ^ Александр, Амир (сентябрь 2011 г.). «Скелет в шкафу: должны ли историки науки заботиться об истории математики?». Isis . 102 (3): 475–480. doi :10.1086/661620. ISSN  0021-1753. MR  2884913. PMID  22073771. S2CID  21629993.
  6. ^ abcdef Кляйнер, Израиль (декабрь 1991 г.). «Строгость и доказательство в математике: историческая перспектива». Mathematics Magazine . 64 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 291–314. doi :10.1080/0025570X.1991.11977625. eISSN  1930-0980. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690647. LCCN  47003192. MR  1141557. OCLC  1756877. S2CID  7787171.
  7. ^ ab Harper, Douglas (28 марта 2019 г.). "Mathematic (n.)". Онлайн-словарь этимологии . Архивировано из оригинала 7 марта 2013 г. Получено 25 января 2024 г.
  8. ↑ Платон. Республика, Книга 6, Раздел 510c. Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 г. Получено 2 февраля 2024 г.
  9. ^ Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт (1940). "μαθηματική". Греко-английский лексикон . Clarendon Press . Получено 2 февраля 2024 г.
  10. ^ Харпер, Дуглас (20 апреля 2022 г.). "Математика (сущ.)". Онлайн-словарь этимологии . Получено 2 февраля 2024 г.
  11. ↑ Harper, Douglas (22 декабря 2018 г.). «Математический (прил.)». Онлайн-словарь этимологии . Архивировано из оригинала 26 ноября 2022 г. Получено 25 января 2024 г.
  12. ^ Перишо, Маргарет В. (весна 1965 г.). «Этимология математических терминов». Pi Mu Epsilon Journal . 4 (2): 62–66. ISSN  0031-952X. JSTOR  24338341. LCCN  58015848. OCLC  1762376.
  13. ^ Боас, Ральф П. (1995). «Что Августин не сказал о математиках». В Alexanderson, Gerald L.; Mugler, Dale H. (ред.). Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories . Mathematical Association of America . стр. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN  94078313. OCLC  633018890.
  14. ↑ Оксфордский словарь английской этимологии , Оксфордский словарь английского языка , подраздел «математика», «математический», «математика».
  15. ^ "Maths (Noun)". Oxford English Dictionary . Oxford University Press . Получено 25 января 2024 г. .
  16. ^ "Math (Noun³)". Oxford English Dictionary . Oxford University Press . Архивировано из оригинала 4 апреля 2020 г. . Получено 25 января 2024 г. .
  17. ^ Белл, ET (1945) [1940]. "General Prospectus". Развитие математики (2-е изд.). Dover Publications. стр. 3. ISBN 978-0-486-27239-9. LCCN  45010599. OCLC  523284. ... математика дошла до наших дней двумя основными потоками числа и формы. Первый нёс за собой арифметику и алгебру, второй - геометрию.
  18. ^ Тивари, Сарджу (1992). «Зеркало цивилизации». Математика в истории, культуре, философии и науке (1-е изд.). Нью-Дели, Индия: Mittal Publications. стр. 27. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN  92909575. OCLC  28115124. К сожалению, два проклятия математики — нумерология и астрология — также родились вместе с ней и оказались более приемлемыми для масс, чем сама математика.
  19. ^ Restivo, Sal (1992). "Математика с нуля". В Bunge, Mario (ред.). Математика в обществе и истории . Episteme. Том 20. Kluwer Academic Publishers . стр. 14. ISBN 0-7923-1765-3. LCCN  25709270. OCLC  92013695.
  20. ^ Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics . История физики. Springer International Publishing . doi :10.1007/978-3-031-12322-1. eISSN  2730-7557. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN  2730-7549. OCLC  1332780664. S2CID  253240718.
  21. ^ Биггс, Н. Л. (май 1979 г.). «Корни комбинаторики». Historia Mathematica . 6 (2): 109–136. doi : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 . eISSN  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703.
  22. ^ ab Warner, Evan. "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF) . Columbia University . Архивировано из оригинала (PDF) 22 марта 2023 г. . Получено 3 февраля 2024 г. .
  23. ^ Dunne, Edward; Hulek, Klaus (March 2020). "Mathematics Subject Classification 2020" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 67 (3): 410–411. doi:10.1090/noti2052. eISSN 1088-9477. ISSN 0002-9920. LCCN sf77000404. OCLC 1480366. Archived (PDF) from the original on August 3, 2021. Retrieved February 3, 2024. The new MSC contains 63 two-digit classifications, 529 three-digit classifications, and 6,006 five-digit classifications.
  24. ^ a b c d e f g h "MSC2020-Mathematics Subject Classification System" (PDF). zbMath. Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH. Archived (PDF) from the original on January 2, 2024. Retrieved February 3, 2024.
  25. ^ LeVeque, William J. (1977). "Introduction". Fundamentals of Number Theory. Addison-Wesley Publishing Company. pp. 1–30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN 76055645. OCLC 3519779. S2CID 118560854.
  26. ^ Goldman, Jay R. (1998). "The Founding Fathers". The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory. Wellesley, MA: A K Peters. pp. 2–3. doi:10.1201/9781439864623. ISBN 1-56881-006-7. LCCN 94020017. OCLC 30437959. S2CID 118934517.
  27. ^ Weil, André (1983). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre. Birkhäuser Boston. pp. 2–3. doi:10.1007/978-0-8176-4571-7. ISBN 0-8176-3141-0. LCCN 83011857. OCLC 9576587. S2CID 117789303.
  28. ^ Kleiner, Israel (March 2000). "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem". Elemente der Mathematik. 55 (1): 19–37. doi:10.1007/PL00000079. eISSN 1420-8962. ISSN 0013-6018. LCCN 66083524. OCLC 1567783. S2CID 53319514.
  29. ^ Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture. Series in Pure Mathematics. Vol. 4 (2nd ed.). World Scientific. pp. 1–18. doi:10.1142/5096. ISBN 981-238-159-7. LCCN 2003268597. OCLC 51533750. S2CID 14555830.
  30. ^ a b c Straume, Eldar (September 4, 2014). "A Survey of the Development of Geometry up to 1870". arXiv:1409.1140 [math.HO].
  31. ^ Hilbert, David (1902). The Foundations of Geometry. Open Court Publishing Company. p. 1. doi:10.1126/science.16.399.307. LCCN 02019303. OCLC 996838. S2CID 238499430. Retrieved February 6, 2024. Значок свободного доступа
  32. ^ Hartshorne, Robin (2000). "Euclid's Geometry". Geometry: Euclid and Beyond. Springer New York. pp. 9–13. ISBN 0-387-98650-2. LCCN 99044789. OCLC 42290188. Retrieved February 7, 2024.
  33. ^ Boyer, Carl B. (2004) [1956]. "Fermat and Descartes". History of Analytic Geometry. Dover Publications. pp. 74–102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN 2004056235. OCLC 56317813.
  34. ^ Stump, David J. (1997). "Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900" (PDF). Perspectives on Science. 5 (3): 383–417. doi:10.1162/posc_a_00532. eISSN 1530-9274. ISSN 1063-6145. LCCN 94657506. OCLC 26085129. S2CID 117709681. Retrieved February 8, 2024.
  35. ^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (February 1996). "Non-Euclidean geometry". MacTuror. Scotland, UK: University of St. Andrews. Archived from the original on November 6, 2022. Retrieved February 8, 2024.
  36. ^ Joyner, David (2008). "The (legal) Rubik's Cube group". Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys (2nd ed.). Johns Hopkins University Press. pp. 219–232. ISBN 978-0-8018-9012-3. LCCN 2008011322. OCLC 213765703.
  37. ^ Christianidis, Jean; Oaks, Jeffrey (May 2013). "Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria". Historia Mathematica. 40 (2): 127–163. doi:10.1016/j.hm.2012.09.001. eISSN 1090-249X. ISSN 0315-0860. LCCN 75642280. OCLC 2240703. S2CID 121346342.
  38. ^ Kleiner 2007, "History of Classical Algebra" pp. 3–5.
  39. ^ Shane, David (2022). "Figurate Numbers: A Historical Survey of an Ancient Mathematics" (PDF). Methodist University. p. 20. Retrieved June 13, 2024. In his work, Diophantus focused on deducing the arithmetic properties of figurate numbers, such as deducing the number of sides, the different ways a number can be expressed as a figurate number, and the formulation of the arithmetic progressions.
  40. ^ Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. "Al-Khwarizmi". University of Kentucky. Retrieved June 13, 2024.
  41. ^ Lim, Lisa (December 21, 2018). "Where the x we use in algebra came from, and the X in Xmas". South China Morning Post. Archived from the original on December 22, 2018. Retrieved February 8, 2024.
  42. ^ Berntjes, Sonja. "Algebra". Encyclopaedia of Islam Online (3rd ed.). ISSN 1573-3912. LCCN 2007238847. OCLC 56713464. Retrieved June 13, 2024.
  43. ^ Oaks, Jeffery A. (2018). "François Viète's revolution in algebra" (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 72 (3): 245–302. doi:10.1007/s00407-018-0208-0. eISSN 1432-0657. ISSN 0003-9519. LCCN 63024699. OCLC 1482042. S2CID 125704699. Archived (PDF) from the original on November 8, 2022. Retrieved February 8, 2024.
  44. ^ "Variable in Maths". GeeksforGeeks. April 24, 2024. Retrieved June 13, 2024.
  45. ^ Kleiner 2007, "History of Linear Algebra" pp. 79–101.
  46. ^ Corry, Leo (2004). "Emmy Noether: Ideals and Structures". Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures (2nd revised ed.). Germany: Birkhäuser Basel. pp. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN 2004556211. OCLC 51234417. Retrieved February 8, 2024.
  47. ^ Riche, Jacques (2007). "From Universal Algebra to Universal Logic". In Beziau, J. Y.; Costa-Leite, Alexandre (eds.). Perspectives on Universal Logic. Milano, Italy: Polimetrica International Scientific Publisher. pp. 3–39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC 647049731. Retrieved February 8, 2024.
  48. ^ Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory. Science Networks – Historical Studies. Vol. 32. Germany: Springer Science & Business Media. pp. xxi–xxv, 1–91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN 2007920230. OCLC 85242858. Retrieved February 8, 2024.
  49. ^ Guicciardini, Niccolo (2017). "The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730" (PDF). In Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (eds.). The Oxford Handbook of Newton. Oxford Handbooks. Oxford University Press. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC 975829354. Archived (PDF) from the original on November 9, 2022. Retrieved February 9, 2024.
  50. ^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 1998). "Leonhard Euler". MacTutor. Scotland, UK: University of St Andrews. Archived from the original on November 9, 2022. Retrieved February 9, 2024.
  51. ^ "Calculus (Differential and Integral Calculus with Examples)". Byju's. Retrieved June 13, 2024.
  52. ^ Franklin, James (July 2017). "Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics". Journal of Humanistic Mathematics. 7 (2): 355–378. doi:10.5642/jhummath.201702.18. ISSN 2159-8118. LCCN 2011202231. OCLC 700943261. S2CID 6945363. Retrieved February 9, 2024.
  53. ^ Maurer, Stephen B. (1997). "What is Discrete Mathematics? The Many Answers". In Rosenstein, Joseph G.; Franzblau, Deborah S.; Roberts, Fred S. (eds.). Discrete Mathematics in the Schools. DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. Vol. 36. American Mathematical Society. pp. 121–124. doi:10.1090/dimacs/036/13. ISBN 0-8218-0448-0. ISSN 1052-1798. LCCN 97023277. OCLC 37141146. S2CID 67358543. Retrieved February 9, 2024.
  54. ^ Hales, Thomas C. (2014). "Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic". In Downey, Rod (ed.). Turing's Legacy. Lecture Notes in Logic. Vol. 42. Cambridge University Press. pp. 260–261. doi:10.1017/CBO9781107338579.001. ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN 2014000240. OCLC 867717052. S2CID 19315498. Retrieved February 9, 2024.
  55. ^ Sipser, Michael (July 1992). The History and Status of the P versus NP Question. STOC '92: Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Theory of Computing. pp. 603–618. doi:10.1145/129712.129771. S2CID 11678884.
  56. ^ Ewald, William (November 17, 2018). "The Emergence of First-Order Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. ISSN 1095-5054. LCCN sn97004494. OCLC 37550526. Retrieved June 14, 2024.
  57. ^ Ferreirós, José (June 18, 2020) [First published April 10, 2007]. "The Early Development of Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy. ISSN 1095-5054. LCCN sn97004494. OCLC 37550526. Retrieved June 14, 2024.
  58. ^ Ferreirós, José (December 2001). "The Road to Modern Logic—An Interpretation" (PDF). The Bulletin of Symbolic Logic. 7 (4): 441–484. doi:10.2307/2687794. eISSN 1943-5894. hdl:11441/38373. ISSN 1079-8986. JSTOR 2687794. LCCN 95652899. OCLC 31616719. S2CID 43258676. Retrieved June 14, 2024.
  59. ^ Wolchover, Natalie, ed. (November 26, 2013). "Dispute over Infinity Divides Mathematicians". Quanta Magazine. Retrieved June 14, 2024.
  60. ^ Zhuang, Chaohui. "Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument" (DOC). PhilArchive. Retrieved June 14, 2024.
  61. ^ Tanswell, Fenner Stanley (2024). Mathematical Rigour and Informal Proof. Cambridge Elements in the Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781009325110. eISSN 2399-2883. ISBN 978-1-00-949438-0. ISSN 2514-3808. OCLC 1418750041.
  62. ^ Avigad, Jeremy; Reck, Erich H. (December 11, 2001). ""Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory" (PDF). Carnegie Mellon University. Retrieved June 14, 2024.
  63. ^ Hamilton, Alan G. (1982). Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics. Cambridge University Press. pp. 3–4. ISBN 978-0-521-28761-6. Retrieved November 12, 2022.
  64. ^ Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine. 52 (4): 207–216. doi:10.2307/2689412. ISSN 0025-570X. JSTOR 2689412.
  65. ^ a b Raatikainen, Panu (October 2005). "On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems". Revue Internationale de Philosophie. 59 (4): 513–534. doi:10.3917/rip.234.0513. JSTOR 23955909. S2CID 52083793. Archived from the original on November 12, 2022. Retrieved November 12, 2022.
  66. ^ Moschovakis, Joan (September 4, 2018). "Intuitionistic Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Archived from the original on December 16, 2022. Retrieved November 12, 2022.
  67. ^ McCarty, Charles (2006). "At the Heart of Analysis: Intuitionism and Philosophy". Philosophia Scientiæ, Cahier spécial 6: 81–94. doi:10.4000/philosophiascientiae.411.
  68. ^ Halpern, Joseph; Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (2001). "On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science" (PDF). Archived (PDF) from the original on March 3, 2021. Retrieved January 15, 2021.
  69. ^ Rouaud, Mathieu (April 2017) [First published July 2013]. Probability, Statistics and Estimation (PDF). p. 10. Archived (PDF) from the original on October 9, 2022. Retrieved February 13, 2024.
  70. ^ Rao, C. Radhakrishna (1997) [1989]. Statistics and Truth: Putting Chance to Work (2nd ed.). World Scientific. pp. 3–17, 63–70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN 97010349. MR 1474730. OCLC 36597731.
  71. ^ Rao, C. Radhakrishna (1981). "Foreword". In Arthanari, T.S.; Dodge, Yadolah (eds.). Mathematical programming in statistics. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. pp. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN 80021637. MR 0607328. OCLC 6707805.
  72. ^ Whittle 1994, pp. 10–11, 14–18.
  73. ^ Marchuk, Gurii Ivanovich (April 2020). "G I Marchuk's plenary: ICM 1970". MacTutor. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on November 13, 2022. Retrieved November 13, 2022.
  74. ^ Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (September 1991). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock (eds.). Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science. Singapore Supercomputing Conference'90: Supercomputing For Strategic Advantage. World Scientific. p. 28. LCCN 91018998. Retrieved November 13, 2022.
  75. ^ Trefethen, Lloyd N. (2008). "Numerical Analysis". In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics (PDF). Princeton University Press. pp. 604–615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN 2008020450. MR 2467561. OCLC 227205932. Archived (PDF) from the original on March 7, 2023. Retrieved February 15, 2024.
  76. ^ See, for example, Wilder, Raymond L. Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study. passim.
  77. ^ Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342.
  78. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  79. ^ Mesopotamia pg 10. Retrieved June 1, 2024
  80. ^ Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
  81. ^ Heath, Thomas Little (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. New York: Dover Publications. p. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.
  82. ^ Mueller, I. (1969). "Euclid's Elements and the Axiomatic Method". The British Journal for the Philosophy of Science. 20 (4): 289–309. doi:10.1093/bjps/20.4.289. ISSN 0007-0882. JSTOR 686258.
  83. ^ Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  84. ^ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.
  85. ^ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.
  86. ^ Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.
  87. ^ Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
  88. ^ Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
  89. ^ Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History. Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5. Retrieved November 14, 2022.
  90. ^ Singh, A. N. (January 1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. 1: 606–628. doi:10.1086/368443. JSTOR 301627. S2CID 144760421.
  91. ^ Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). "Use of series in India". Studies in Indian Mathematics and Astronomy. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Singapore: Springer. pp. 438–461. doi:10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1. S2CID 190176726.
  92. ^ Saliba, George (1994). A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam. New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC 28723059.
  93. ^ Faruqi, Yasmeen M. (2006). "Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise". International Education Journal. 7 (4). Shannon Research Press: 391–399. Archived from the original on November 14, 2022. Retrieved November 14, 2022.
  94. ^ Lorch, Richard (June 2001). "Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages" (PDF). Science in Context. 14 (1–2). Cambridge University Press: 313–331. doi:10.1017/S0269889701000114. S2CID 146539132. Archived (PDF) from the original on December 17, 2022. Retrieved December 5, 2022.
  95. ^ Kent, Benjamin (2022). History of Science (PDF). Vol. 2. Bibliotex Digital Library. ISBN 978-1-984668-67-7.
  96. ^ Archibald, Raymond Clare (January 1949). "History of Mathematics After the Sixteenth Century". The American Mathematical Monthly. Part 2: Outline of the History of Mathematics. 56 (1): 35–56. doi:10.2307/2304570. JSTOR 2304570.
  97. ^ Sevryuk 2006, pp. 101–109.
  98. ^ Wolfram, Stephan (October 2000). Mathematical Notation: Past and Future. MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA. Archived from the original on November 16, 2022. Retrieved February 3, 2024.
  99. ^ Douglas, Heather; Headley, Marcia Gail; Hadden, Stephanie; LeFevre, Jo-Anne (December 3, 2020). "Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers". Journal of Numerical Cognition. 6 (3): 322–354. doi:10.5964/jnc.v6i3.293. eISSN 2363-8761. S2CID 228085700.
  100. ^ Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (October 2017). "AMS Style Guide" (PDF). American Mathematical Society. p. 75. Archived (PDF) from the original on December 8, 2022. Retrieved February 3, 2024.
  101. ^ Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). "Constituent Structure in Mathematical Expressions" (PDF). Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society. 22. University of California Merced. eISSN 1069-7977. OCLC 68713073. Archived (PDF) from the original on November 16, 2022. Retrieved February 3, 2024.
  102. ^ Rossi, Richard J. (2006). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. John Wiley & Sons. pp. 1–14, 47–48. ISBN 978-0-470-04295-3. LCCN 2006041609. OCLC 64085024.
  103. ^ "Earliest Uses of Some Words of Mathematics". MacTutor. Scotland, UK: University of St. Andrews. Archived from the original on September 29, 2022. Retrieved February 3, 2024.
  104. ^ Silver, Daniel S. (November–December 2017). "The New Language of Mathematics". The American Scientist. 105 (6). Sigma Xi: 364–371. doi:10.1511/2017.105.6.364. ISSN 0003-0996. LCCN 43020253. OCLC 1480717. S2CID 125455764.
  105. ^ Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (December 22, 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation. Mathematical Modeling. Vol. 1. CRC Press. p. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1. Retrieved November 16, 2022.
  106. ^ Hennig, Christian (2010). "Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective". Foundations of Science. 15: 29–48. doi:10.1007/s10699-009-9167-x. S2CID 6229200. Retrieved November 17, 2022.
  107. ^ Фригг, Роман ; Хартманн, Стефан (4 февраля 2020 г.). «Модели в науке». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 г. Получено 17 ноября 2022 г.
  108. ^ Стюарт, Ян (2018). «Математика, карты и модели». В Wuppuluri, Shyam; Doria, Francisco Antonio (ред.). Карта и территория: исследование основ науки, мысли и реальности . Коллекция Frontiers. Springer. стр. 345–356. doi :10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN 978-3-319-72478-2. Получено 17 ноября 2022 г. .
  109. ^ "Применимый контрольный список по науке: Математика". Понимание науки . Калифорнийский университет в Беркли. Архивировано из оригинала 27 октября 2019 г. Получено 27 октября 2019 г.
  110. ^ Mackay, AL (1991). Словарь научных цитат. Лондон: Taylor & Francis. стр. 100. ISBN 978-0-7503-0106-0. Получено 19 марта 2023 г. .
  111. ^ Бишоп, Алан (1991). «Экологическая деятельность и математическая культура». Математическая инкультурация: культурная перспектива математического образования . Норвелл, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3. Получено 5 апреля 2020 г. .
  112. ^ Шаша, Деннис Эллиот ; Лазер, Кэти А. (1998). Вне их рассудка: жизни и открытия 15 великих ученых-компьютерщиков . Springer. стр. 228. ISBN 978-0-387-98269-4.
  113. ^ Никлс, Томас (2013). «Проблема демаркации». Философия псевдонауки: переосмысление проблемы демаркации . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 104. ISBN 978-0-226-05182-6.
  114. ^ Пильуччи, Массимо (2014). «Существуют ли «другие» способы познания?». Philosophy Now . Архивировано из оригинала 13 мая 2020 г. Получено 6 апреля 2020 г.
  115. ^ Аб Феррейрос, Дж. (2007). «Ό Ό Θεὸς Άριθμητίζει: Развитие чистой математики как арифметики с Гауссом». В Гольдштейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Springer Science & Business Media. стр. 235–268. ISBN 978-3-540-34720-0.
  116. ^ Кун, Томас С. (1976). «Математические и экспериментальные традиции в развитии физической науки». Журнал междисциплинарной истории . 7 (1). MIT Press: 1–31. doi :10.2307/202372. JSTOR  202372.
  117. ^ Аспер, Маркус (2009). «Две культуры математики в Древней Греции». В Робсон, Элеанор; Стедалл, Жаклин (ред.). Оксфордский справочник по истории математики . Оксфордские справочники по математике. OUP Oxford. стр. 107–132. ISBN 978-0-19-921312-2. Получено 18 ноября 2022 г. .
  118. ^ Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). «Проблема факторизации целых чисел». В Ahmad, Khaleel; Doja, MN; Udzir, Nur Izura; Singh, Manu Pratap (ред.). Новые алгоритмы и методы безопасности . CRC Press. стр. 59–60. ISBN 978-0-8153-6145-9. LCCN  2019010556. OCLC  1082226900.
  119. ^ Maddy, P. (2008). «Как прикладная математика стала чистой» (PDF) . The Review of Symbolic Logic . 1 (1): 16–41. doi :10.1017/S1755020308080027. S2CID  18122406. Архивировано (PDF) из оригинала 12 августа 2017 г. . Получено 19 ноября 2022 г. .
  120. ^ Сильвер, Дэниел С. (2017). «В защиту чистой математики». В Pitici, Mircea (ред.). Лучшее сочинение по математике, 2016. Princeton University Press. стр. 17–26. ISBN 978-0-691-17529-4. Получено 19 ноября 2022 г. .
  121. ^ Паршалл, Карен Хангер (2022). «Американское математическое общество и прикладная математика с 1920-х по 1950-е годы: ревизионистский отчет». Бюллетень Американского математического общества . 59 (3): 405–427. doi : 10.1090/bull/1754 . S2CID  249561106. Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 г. Получено 20 ноября 2022 г.
  122. ^ Штольц, Майкл (2002). «История прикладной математики и история общества». Synthese . 133 : 43–57. doi :10.1023/A:1020823608217. S2CID  34271623. Получено 20 ноября 2022 г.
  123. ^ Лин, К. К. (март 1976 г.). «О роли прикладной математики». Advances in Mathematics . 19 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(76)90024-4 .
  124. ^ Перессини, Энтони (сентябрь 1999 г.). Применение чистой математики (PDF) . Философия науки. Труды двухгодичных встреч Ассоциации философии науки 1998 г. Часть I: Предоставленные доклады. Том 66. стр. S1–S13. JSTOR  188757. Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2024 г. Получено 30 ноября 2022 г.
  125. ^ Lützen, J. (2011). «Примеры и размышления о взаимодействии математики и физики в 19-м и 20-м веках». В Schlote, KH; Schneider, M. (ред.). Математика встречает физику: вклад в их взаимодействие в 19-м и первой половине 20-го века . Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch. Архивировано из оригинала 23 марта 2023 г. . Получено 19 ноября 2022 г.
  126. ^ Маркер, Дэйв (июль 1996 г.). «Теория моделей и возведение в степень». Notices of the American Mathematical Society . 43 (7): 753–759. Архивировано из оригинала 13 марта 2014 г. Получено 19 ноября 2022 г.
  127. ^ Чен, Чанбо; Маза, Марк Морено (август 2014 г.). Цилиндрическое алгебраическое разложение в библиотеке RegularChains. Международный конгресс по математическому программному обеспечению 2014 г. Конспект лекций по информатике. Том 8592. Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-662-44199-2_65 . Получено 19 ноября 2022 г. .
  128. ^ Перес-Эскобар, Хосе Антонио; Сарикая, Дениз (2021). «Очищение прикладной математики и применение чистой математики: как поздняя витгенштейновская перспектива проливает свет на дихотомию». Европейский журнал философии науки . 12 (1): 1–22. doi : 10.1007/s13194-021-00435-9 . S2CID  245465895.
  129. ^ Takase, M. (2014). «Чистая математика и прикладная математика неразрывно связаны: наблюдение раннего анализа бесконечности». Математический подход к исследованию проблем науки и техники . Математика для промышленности. Том 5. Токио: Springer. С. 393–399. doi :10.1007/978-4-431-55060-0_29. ISBN 978-4-431-55059-4. Получено 20 ноября 2022 г. .
  130. ^ Sarukkai, Sundar (February 10, 2005). "Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics". Current Science. 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208.
  131. ^ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "History of Integer Factoring" (PDF). In Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (eds.). Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL. London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. Cambridge University Press. pp. 41–77. Archived (PDF) from the original on November 20, 2022. Retrieved November 20, 2022.
  132. ^ "Curves: Ellipse". MacTutor. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on October 14, 2022. Retrieved November 20, 2022.
  133. ^ Mukunth, Vasudevan (September 10, 2015). "Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry". The Wire. Archived from the original on November 20, 2022. Retrieved November 20, 2022.
  134. ^ Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (November 1912). "The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics". Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 48 (11): 389–507. doi:10.2307/20022840. JSTOR 20022840.
  135. ^ a b c Borel, Armand (1983). "Mathematics: Art and Science". The Mathematical Intelligencer. 5 (4). Springer: 9–17. doi:10.4171/news/103/8. ISSN 1027-488X.
  136. ^ Hanson, Norwood Russell (November 1961). "Discovering the Positron (I)". The British Journal for the Philosophy of Science. 12 (47). The University of Chicago Press: 194–214. doi:10.1093/bjps/xiii.49.54. JSTOR 685207.
  137. ^ Ginammi, Michele (February 2016). "Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω– particle". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 53: 20–27. Bibcode:2016SHPMP..53...20G. doi:10.1016/j.shpsb.2015.12.001.
  138. ^ Wagh, Sanjay Moreshwar; Deshpande, Dilip Abasaheb (September 27, 2012). Essentials of Physics. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 3. ISBN 978-81-203-4642-0. Retrieved January 3, 2023.
  139. ^ Atiyah, Michael (1990). On the Work of Edward Witten (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians. p. 31. Archived from the original (PDF) on September 28, 2013. Retrieved December 29, 2022.
  140. ^ "Course 18C Mathematics with Computer Science". math.mit.edu. Retrieved June 1, 2024.
  141. ^ "Theoretical Computer Science". math.mit.edu. Retrieved June 1, 2024.
  142. ^ "Real-Life Applications of Discrete Mathematics". GeeksforGeeks. April 8, 2024. Retrieved May 19, 2024.
  143. ^ Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; Mclaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (2017). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture". Forum of Mathematics, Pi. 5: e2. doi:10.1017/fmp.2017.1. hdl:2066/176365. ISSN 2050-5086. S2CID 216912822. Archived from the original on December 4, 2020. Retrieved February 25, 2023.
  144. ^ a b c Millstein, Roberta (September 8, 2016). "Probability in Biology: The Case of Fitness" (PDF). In Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher (eds.). The Oxford Handbook of Probability and Philosophy. pp. 601–622. doi:10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. Archived (PDF) from the original on March 7, 2023. Retrieved December 29, 2022.
  145. ^ See for example Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés» 15–17 janvier 1996, CNRS
  146. ^ Bouleau 1999, pp. 282–283.
  147. ^ Bouleau 1999, p. 285.
  148. ^ "1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model". Mathematics LibreTexts. January 5, 2022. Archived from the original on December 29, 2022. Retrieved December 29, 2022.
  149. ^ Salsburg, David (August 17, 1992). "Commentary" (PDF). The Use of Statistical Methods in the Analysis of Clinical Studies. 46: 17.
  150. ^ National Research Council (2003). "8". Beyond the Molecular Frontier: Challenges for Chemistry and Chemical Engineering. NAP.edu. pp. 71–73. doi:10.17226/10633. ISBN 978-0-309-16839-7. PMID 25032300.
  151. ^ "Catastrophe Models (Property)". content.naic.org. Retrieved May 19, 2024.
  152. ^ "MAM2001 Essay". ww2.amstat.org. Retrieved May 19, 2024.
  153. ^ Hill, Mullica (September 7, 2022). "HOW MATH IS USED IN WEATHER FORECASTING". www.mathnasium.com. Retrieved May 19, 2024.
  154. ^ "Using Mathematical Models to Investigate Planetary Habitability" (PDF). NASA. Retrieved May 19, 2024.
  155. ^ Edling, Christofer R. (2002). "Mathematics in Sociology". Annual Review of Sociology. 28 (1): 197–220. doi:10.1146/annurev.soc.28.110601.140942. ISSN 0360-0572.
  156. ^ Batchelder, William H. (January 1, 2015). "Mathematical Psychology: History". In Wright, James D. (ed.). International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences (Second Edition). Oxford: Elsevier. pp. 808–815. ISBN 978-0-08-097087-5. Retrieved September 30, 2023.
  157. ^ a b Zak, Paul J. (2010). Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy. Princeton University Press. p. 158. ISBN 978-1-4008-3736-6. Retrieved January 3, 2023.
  158. ^ Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (September 2004). Introduction to Choice Theory (PDF).
  159. ^ Kremer, Michael; Rao, Gautam; Schilbach, Frank (2019). "Chapter 5 Behavioral development economics". Handbook of Behavioral Economics: Applications and Foundations (PDF). Vol. 2.
  160. ^ "Mathematics". www.mdpi.com.
  161. ^ "Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Archived from the original on July 1, 2016. Retrieved December 29, 2022.
  162. ^ "Mathématique de l'histoire-géometrie et cinématique. Lois de Brück. Chronologie géodésique de la Bible., by Charles LAGRANGE et al. | The Online Books Page". onlinebooks.library.upenn.edu.
  163. ^ "Cliodynamics: a science for predicting the future". ZDNET. Archived from the original on December 29, 2022. Retrieved December 29, 2022.
  164. ^ Sokal, Alan; Jean Bricmont (1998). Fashionable Nonsense. New York: Picador. ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC 39605994.
  165. ^ "Biden's Misleading Unemployment Statistic – FactCheck.org".
  166. ^ "Modern Macroeconomic Models as Tools for Economic Policy | Federal Reserve Bank of Minneapolis". www.minneapolisfed.org.
  167. ^ Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2016 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archived from the original on January 30, 2022. Retrieved April 2, 2022.
  168. ^ See White, L. (1947). "The locus of mathematical reality: An anthropological footnote". Philosophy of Science. 14 (4): 289–303. doi:10.1086/286957. S2CID 119887253. 189303; also in Newman, J. R. (1956). The World of Mathematics. Vol. 4. New York: Simon and Schuster. pp. 2348–2364.
  169. ^ Dorato, Mauro (2005). "Why are laws mathematical?" (PDF). The Software of the Universe, An Introduction to the History and Philosophy of Laws of Nature. Ashgate. pp. 31–66. ISBN 978-0-7546-3994-7. Archived (PDF) from the original on August 17, 2023. Retrieved December 5, 2022.
  170. ^ a b c Mura, Roberta (December 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375–85. doi:10.1007/BF01273907. JSTOR 3482762. S2CID 122351146.
  171. ^ a b Tobies, Renate; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. p. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. Retrieved June 20, 2015. [I]t is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.
  172. ^ Ziegler, Günter M.; Loos, Andreas (November 2, 2017). Kaiser, G. (ed.). "What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it. Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education. ICME-13 Monographs. Springer. pp. 63–77. doi:10.1007/978-3-319-62597-3_5. ISBN 978-3-319-62596-6.
  173. ^ Franklin, James (2009). Philosophy of Mathematics. Elsevier. pp. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. Retrieved June 20, 2015.
  174. ^ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. American Mathematical Society (1991 reprint). pp. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2. Retrieved June 20, 2015.
  175. ^ Saunders Maclane (1986). Mathematics, form and function. Springer., page 409
  176. ^ Brown, Ronald; Porter, Timothy (January 2000). "The Methodology of Mathematics". The Mathematical Gazette. 79 (485): 321–334. doi:10.2307/3618304. JSTOR 3618304. S2CID 178923299. Archived from the original on March 23, 2023. Retrieved November 25, 2022.
  177. ^ Strauss, Danie (2011). "Defining mathematics". Acta Academica. 43 (4): 1–28. Retrieved November 25, 2022.
  178. ^ Hamami, Yacin (June 2022). "Mathematical Rigor and Proof" (PDF). The Review of Symbolic Logic. 15 (2): 409–449. doi:10.1017/S1755020319000443. S2CID 209980693. Archived (PDF) from the original on December 5, 2022. Retrieved November 21, 2022.
  179. ^ Peterson 1988, p. 4: "A few complain that the computer program can't be verified properly." (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem)
  180. ^ Perminov, V. Ya. (1988). "On the Reliability of Mathematical Proofs". Philosophy of Mathematics. 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500–508.
  181. ^ Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). "Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor". International Journal of Educational Research. 93: 91–100. doi:10.1016/j.ijer.2018.10.002. S2CID 149753721.
  182. ^ Endsley, Kezia (2021). Mathematicians and Statisticians: A Practical Career Guide. Practical Career Guides. Rowman & Littlefield. pp. 1–3. ISBN 978-1-5381-4517-3. Retrieved November 29, 2022.
  183. ^ Robson, Eleanor (2009). "Mathematics education in an Old Babylonian scribal school". In Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.). The Oxford Handbook of the History of Mathematics. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2. Retrieved November 24, 2022.
  184. ^ Bernard, Alain; Proust, Christine; Ross, Micah (2014). "Mathematics Education in Antiquity". In Karp, A.; Schubring, G. (eds.). Handbook on the History of Mathematics Education. New York: Springer. pp. 27–53. doi:10.1007/978-1-4614-9155-2_3. ISBN 978-1-4614-9154-5.
  185. ^ Dudley, Underwood (April 2002). "The World's First Mathematics Textbook". Math Horizons. 9 (4). Taylor & Francis, Ltd.: 8–11. doi:10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR 25678363. S2CID 126067145.
  186. ^ Subramarian, F. Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam (PDF). History and Pedagogy of Mathematics conference, July 16–20, 2012. Archived (PDF) from the original on November 28, 2022. Retrieved November 29, 2022.
  187. ^ Siu, Man Keung (2004). "Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination?". How Chinese Learn Mathematics (PDF). Series on Mathematics Education. Vol. 1. pp. 157–185. doi:10.1142/9789812562241_0006. ISBN 978-981-256-014-8. Retrieved November 26, 2022.
  188. ^ Jones, Phillip S. (1967). "The History of Mathematical Education". The American Mathematical Monthly. 74 (1). Taylor & Francis, Ltd.: 38–55. doi:10.2307/2314867. JSTOR 2314867.
  189. ^ Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (August 2012). "Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies". ZDM Mathematics Education. 44 (4): 457–459. doi:10.1007/s11858-012-0445-7. S2CID 145507519.
  190. ^ von Davier, Matthias; Foy, Pierre; Martin, Michael O.; Mullis, Ina V.S. (2020). "Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data: A Look at Country-Level Mode of Administration Effects". TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science (PDF). TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education and Human Development and International Association for the Evaluation of Educational Achievement. p. 13.1. ISBN 978-1-889938-54-7. Archived (PDF) from the original on November 29, 2022. Retrieved November 29, 2022.
  191. ^ Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (March 2012). "Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career" (PDF). The Career Development Quarterly. 60 (1): 2–15. doi:10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. Archived (PDF) from the original on November 22, 2023. Retrieved November 29, 2022.
  192. ^ Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). "Spotlight on math anxiety". Psychology Research and Behavior Management. 11: 311–322. doi:10.2147/PRBM.S141421. PMC 6087017. PMID 30123014.
  193. ^ Yaftian, Narges (June 2, 2015). "The Outlook of the Mathematicians' Creative Processes". Procedia – Social and Behavioral Sciences. 191: 2519–2525. doi:10.1016/j.sbspro.2015.04.617.
  194. ^ Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (October 10, 2013). "The Frontage of Creativity and Mathematical Creativity". Procedia – Social and Behavioral Sciences. 90: 344–350. doi:10.1016/j.sbspro.2013.07.101.
  195. ^ van der Poorten, A. (1979). "A proof that Euler missed... Apéry's Proof of the irrationality of ζ(3)" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 1 (4): 195–203. doi:10.1007/BF03028234. S2CID 121589323. Archived (PDF) from the original on September 6, 2015. Retrieved November 22, 2022.
  196. ^ Petkovi, Miodrag (September 2, 2009). Famous Puzzles of Great Mathematicians. American Mathematical Society. pp. xiii–xiv. ISBN 978-0-8218-4814-2. Retrieved November 25, 2022.
  197. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. Retrieved November 22, 2022. See also A Mathematician's Apology.
  198. ^ Alon, Noga; Goldston, Dan; Sárközy, András; Szabados, József; Tenenbaum, Gérald; Garcia, Stephan Ramon; Shoemaker, Amy L. (March 2015). Alladi, Krishnaswami; Krantz, Steven G. (eds.). "Reflections on Paul Erdős on His Birth Centenary, Part II". Notices of the American Mathematical Society. 62 (3): 226–247. doi:10.1090/noti1223.
  199. ^ See, for example Bertrand Russell's statement "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty ..." in his History of Western Philosophy. 1919. p. 60.
  200. ^ Cazden, Norman (October 1959). "Musical intervals and simple number ratios". Journal of Research in Music Education. 7 (2): 197–220. doi:10.1177/002242945900700205. JSTOR 3344215. S2CID 220636812.
  201. ^ Budden, F. J. (October 1967). "Modern mathematics and music". The Mathematical Gazette. 51 (377). Cambridge University Press ({CUP}): 204–215. doi:10.2307/3613237. JSTOR 3613237. S2CID 126119711.
  202. ^ Enquist, Magnus; Arak, Anthony (November 1994). "Symmetry, beauty and evolution". Nature. 372 (6502): 169–172. Bibcode:1994Natur.372..169E. doi:10.1038/372169a0. ISSN 1476-4687. PMID 7969448. S2CID 4310147. Archived from the original on December 28, 2022. Retrieved December 29, 2022.
  203. ^ Hestenes, David (1999). "Symmetry Groups" (PDF).
  204. ^ Bender, Sara (September 2020). "The Rorschach Test". In Carducci, Bernardo J.; Nave, Christopher S.; Mio, Jeffrey S.; Riggio, Ronald E. (eds.). The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment. Wiley. pp. 367–376. doi:10.1002/9781119547167.ch131. ISBN 978-1-119-05751-2.
  205. ^ Weyl, Hermann (2015). Symmetry. Princeton Science Library. Vol. 47. Princeton University Press. p. 4. ISBN 978-1-4008-7434-7.
  206. ^ "Lecture 8: Translation Symmetry | Physics III: Vibrations and Waves | Physics". MIT OpenCourseWare.
  207. ^ Bradley, Larry (2010). "Fractals – Chaos & Fractals". www.stsci.edu. Archived from the original on March 7, 2023. Retrieved December 29, 2022.
  208. ^ "Self-similarity". math.bu.edu. Archived from the original on March 2, 2023. Retrieved December 29, 2022.
  209. ^ Kissane, Barry (July 2009). Popular mathematics. 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers. Fremantle, Western Australia: Australian Association of Mathematics Teachers. pp. 125–126. Archived from the original on March 7, 2023. Retrieved December 29, 2022.
  210. ^ Steen, L. A. (2012). Mathematics Today Twelve Informal Essays. Springer Science & Business Media. p. 2. ISBN 978-1-4613-9435-8. Retrieved January 3, 2023.
  211. ^ Pitici, Mircea (2017). The Best Writing on Mathematics 2016. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8560-2. Retrieved January 3, 2023.
  212. ^ Monastyrsky 2001, p. 1: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."
  213. ^ Riehm 2002, pp. 778–782.
  214. ^ "Fields Medal | International Mathematical Union (IMU)". www.mathunion.org. Archived from the original on December 26, 2018. Retrieved February 21, 2022.
  215. ^ a b "Fields Medal". Maths History. Archived from the original on March 22, 2019. Retrieved February 21, 2022.
  216. ^ "Honours/Prizes Index". MacTutor History of Mathematics Archive. Archived from the original on December 17, 2021. Retrieved February 20, 2023.
  217. ^ "About the Abel Prize". The Abel Prize. Archived from the original on April 14, 2022. Retrieved January 23, 2022.
  218. ^ "Abel Prize | mathematics award". Encyclopedia Britannica. Archived from the original on January 26, 2020. Retrieved January 23, 2022.
  219. ^ "Chern Medal Award" (PDF). www.mathunion.org. June 1, 2009. Archived (PDF) from the original on June 17, 2009. Retrieved February 21, 2022.
  220. ^ "Chern Medal Award". International Mathematical Union (IMU). Archived from the original on August 25, 2010. Retrieved January 23, 2022.
  221. ^ "The Leroy P Steele Prize of the AMS". School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on November 17, 2022. Retrieved November 17, 2022.
  222. ^ Chern, S. S.; Hirzebruch, F. (September 2000). Wolf Prize in Mathematics. doi:10.1142/4149. ISBN 978-981-02-3945-9. Archived from the original on February 21, 2022. Retrieved February 21, 2022.
  223. ^ "The Wolf Prize". Wolf Foundation. Archived from the original on January 12, 2020. Retrieved January 23, 2022.
  224. ^ a b "Hilbert's Problems: 23 and Math". Simons Foundation. May 6, 2020. Archived from the original on January 23, 2022. Retrieved January 23, 2022.
  225. ^ Feferman, Solomon (1998). "Deciding the undecidable: Wrestling with Hilbert's problems" (PDF). In the Light of Logic. Logic and Computation in Philosophy series. Oxford University Press. pp. 3–27. ISBN 978-0-19-508030-8. Retrieved November 29, 2022.
  226. ^ "The Millennium Prize Problems". Clay Mathematics Institute. Archived from the original on July 3, 2015. Retrieved January 23, 2022.
  227. ^ "Millennium Problems". Clay Mathematics Institute. Archived from the original on December 20, 2018. Retrieved January 23, 2022.

Sources

Further reading

Library resources about
Mathematics
  • Online books
  • Resources in your library
  • Resources in other libraries