В философии математики абстракция актуальной бесконечности , также называемая завершенной бесконечностью , [1] включает в себя бесконечные сущности как данные, актуальные и завершенные объекты.
Начиная с греческой античности , концепция актуальной бесконечности была предметом споров среди философов. Также, вопрос о том, бесконечна ли Вселенная , до сих пор является предметом споров среди физиков.
Понятие актуальной бесконечности было введено в математику в конце 19 века Георгом Кантором с его теорией бесконечных множеств , позднее формализованной в теорию множеств Цермело–Френкеля . Эта теория, которая в настоящее время общепринята как основа математики, содержит аксиому бесконечности , которая означает, что натуральные числа образуют множество (обязательно бесконечное). Великим открытием Кантора является то, что если принять бесконечные множества, то существуют различные размеры ( мощности ) бесконечных множеств, и, в частности, кардинал континуума действительных чисел строго больше кардинала натуральных чисел.
Актуальная бесконечность должна быть противопоставлена потенциальной бесконечности , в которой бесконечный процесс (такой как «добавить 1 к предыдущему числу») производит последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное число шагов. Этот тип процесса встречается в математике, например, в стандартных формализациях понятий бесконечного ряда , бесконечного произведения или предела . [2]
Древнегреческий термин для потенциальной или несобственной бесконечности был apeiron (неограниченный или неопределенный), в отличие от действительной или собственной бесконечности aphorismenon . [3] Apeiron противопоставляется тому, что имеет peras (предел). Эти понятия сегодня обозначаются как потенциально бесконечный и актуально бесконечный соответственно.
Анаксимандр (610–546 до н. э.) считал, что апейрон — это принцип или главный элемент, из которого состоит все сущее. Очевидно, что «апейрон» — это некая базовая субстанция. Понятие апейрона у Платона более абстрактно и связано с неопределенной изменчивостью. Основные диалоги, в которых Платон обсуждает «апейрон», — это поздние диалоги «Парменид» и « Филеб» .
Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:
«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди объектов чувств (они не считают число отдельным от них) и утверждают, что то, что находится за пределами неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, считает, что нет никакого тела снаружи (Формы не находятся снаружи, потому что они нигде), однако что бесконечное присутствует не только в объектах чувств, но и в Формах». (Аристотель) [4]
Эта тема была выдвинута Аристотелем в его рассуждениях об апейроне — в контексте математики и физики (изучения природы):
«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что о ней говорят люди. Бесконечно не то, что «не имеет ничего вне себя», а то, что «всегда имеет что-то вне себя». (Аристотель) [5]
Вера в существование бесконечности исходит в основном из пяти соображений: [6]
Аристотель постулировал, что актуальная бесконечность невозможна, потому что если бы она была возможна, то нечто достигло бы бесконечной величины и было бы «больше небес». Однако, сказал он, математика, относящаяся к бесконечности, не лишается своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам для их теорем нужна не бесконечность, а лишь конечная, произвольно большая величина. [7]
Аристотель рассматривал тему бесконечности в «Физике» и «Метафизике» . Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определена и состоит из бесконечного множества элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы всегда можно добавлять, но никогда не бесконечно много.
«Ибо вообще бесконечное имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другую, и каждая берущаяся вещь всегда конечна, но всегда различна».
— Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.
Аристотель различал бесконечность относительно сложения и деления.
Но у Платона есть две бесконечности: Великая и Малая.
— Физика, книга 3, глава 4.
«В качестве примера потенциально бесконечного ряда в отношении увеличения, одно число всегда может быть добавлено за другим в ряду, который начинается с 1, 2, 3, ... но процесс добавления все большего и большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен». [ необходима цитата ]
Что касается деления, потенциально бесконечная последовательность делений может начаться, например, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен.
«Ибо тот факт, что процесс деления никогда не заканчивается, гарантирует, что эта деятельность существует потенциально, но не то, что бесконечное существует отдельно».
— Метафизика, книга 9, глава 6.
Аристотель также утверждал, что греческие математики знали разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной, но они «не нуждаются в [актуальной] бесконечности и не используют ее» ( Phys. III 2079 29). [8]
Подавляющее большинство философов-схоластов придерживалось девиза Infinitum actu non datur . Это означает, что существует только (развивающаяся, несобственная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность , но не (фиксированная, собственная, «категорематическая») актуальная бесконечность . Однако были и исключения, например, в Англии.
Хорошо известно, что в средние века все философы-схоласты отстаивали аристотелевский «infinitum actu non datur» как неопровержимый принцип. ( Г. Кантор ) [9]
Актуальная бесконечность существует в числе, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, стр. 96])
В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.
Континуум на самом деле состоит из бесконечного множества неделимых ( Г. Галилей [9, с. 97])
Я полностью поддерживаю актуальную бесконечность. ( Г. В. Лейбниц [9, стр. 97])
Однако большинство мыслителей досовременной эпохи [ необходима цитата ] соглашались с известной цитатой Гаусса:
Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то завершенного, что никогда не допускается в математике. Бесконечность — это просто способ выражения, истинный смысл — предел, к которому некоторые отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. [10] ( CF Gauss [в письме к Шумахеру, 12 июля 1831 г.])
Актуальная бесконечность теперь общепринята в математике, хотя этот термин больше не используется, будучи замененным концепцией бесконечных множеств . Это радикальное изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке и стало одним из источников фундаментального кризиса математики .
Бернард Больцано , который ввел понятие множества (по-немецки: Menge ), и Георг Кантор, который ввел теорию множеств , выступили против общей позиции. Кантор различал три сферы бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он называл «абсолютом»), (2) бесконечность реальности (которую он называл «природой») и (3) трансфинитные числа и множества математики.
Множество, которое больше любого конечного множества, т. е. множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является лишь его частью, я буду называть бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])
Соответственно я различаю вечную несотворенную бесконечность или absolutum, которая обусловлена Богом и его атрибутами, и сотворенную бесконечность или transfinitum, которая должна употребляться везде, где в сотворенной природе должна быть замечена актуальная бесконечность, например, в отношении, согласно моему твердому убеждению, актуально бесконечного числа сотворенных индивидуумов, как во вселенной, так и на нашей земле и, вероятнее всего, даже в каждом сколь угодно малом протяженном участке пространства. (Георг Кантор) [11] (Г. Кантор [8, стр. 252])
Числа – свободное творение человеческого разума. ( Р. Дедекинд [3а, с. III])
Одно доказательство основано на понятии Бога. Во-первых, из высочайшего совершенства Бога мы выводим возможность создания трансфинитного, затем, из его всеблагости и великолепия, мы выводим необходимость того, что создание трансфинитного фактически произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])
Кантор различал два типа актуальной бесконечности: трансфинитную и абсолютную, относительно которых он утверждал:
Эти понятия следует строго различать, поскольку первое, конечно, бесконечно , но способно возрастать , тогда как второе неспособно увеличиваться и, следовательно, неопределимо как математическое понятие. Эту ошибку мы находим, например, в пантеизме . (Г. Кантор, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , стр. 375, 378) [12]
Актуальная бесконечность теперь общепринята в математике под названием « бесконечное множество ». Действительно, теория множеств была формализована как теория множеств Цермело–Френкеля (ZF). Одной из аксиом ZF является аксиома бесконечности , которая по сути утверждает, что натуральные числа образуют множество.
Вся математика была переписана в терминах ZF. В частности, линия , кривые , все виды пространств определяются как множество их точек. Бесконечные множества настолько распространены, что когда мы рассматриваем конечные множества, это обычно явно указывается; например, конечная геометрия , конечное поле и т. д.
Великая теорема Ферма — это теорема, сформулированная в терминах элементарной арифметики , которая была доказана только более 350 лет спустя. Первоначальное доказательство Уайлсом Великой теоремы Ферма использовало не только всю мощь ZF с аксиомой выбора , но и неявно использовало еще одну аксиому, которая подразумевает существование очень больших множеств. Требование этой дополнительной аксиомы было позже отклонено, но бесконечные множества по-прежнему используются в фундаментальном смысле. Это не было препятствием для признания правильности доказательства сообществом математиков.
Математическое значение термина «актуальный» в актуальной бесконечности является синонимом определенного , завершенного , расширенного или экзистенциального , [13], но не следует путать с физически существующим . Вопрос о том, образуют ли натуральные или действительные числа определенные множества, поэтому независим от вопроса о том, существуют ли бесконечные вещи физически в природе .
Сторонники интуиционизма , начиная с Кронекера , отвергают утверждение о том, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, который не предполагает существования актуальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ принимает существование завершенной бесконечности целых чисел.
Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциальная ; термины, синонимичные этому понятию, — становящаяся или конструктивная . [13] Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную «ленту», (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». [14] Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку по ней за конечное число шагов: лента, таким образом, только «потенциально» бесконечна, поскольку — хотя всегда есть возможность сделать еще один шаг — сама бесконечность фактически никогда не достигается. [15]
Математики обычно принимают актуальные бесконечности. [16] Георг Кантор является наиболее значительным математиком, который защищал актуальные бесконечности. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая гласит, что актуальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то мы не вовлечены ни в какое противоречие .
Современная традиционная финитистская интерпретация порядковых и кардинальных чисел заключается в том, что они состоят из набора специальных символов и связанного с ними формального языка , в рамках которого могут быть сделаны утверждения. Все такие утверждения обязательно имеют конечную длину. Обоснованность манипуляций основана только на основных принципах формального языка: алгебрах терминов , переписывании терминов и т. д. Более абстрактно, как теория (конечных) моделей , так и теория доказательств предлагают необходимые инструменты для работы с бесконечностями. Не нужно «верить» в бесконечность, чтобы записывать алгебраически допустимые выражения, использующие символы для бесконечности.
Философская проблема актуальной бесконечности касается того, является ли это понятие последовательным и эпистемически обоснованным.
Теория множеств Цермело–Френкеля в настоящее время является стандартной основой математики. Одной из ее аксиом является аксиома бесконечности , которая утверждает, что существуют бесконечные множества, и в частности, что натуральные числа образуют бесконечное множество. Однако некоторые финитистские философы математики и конструктивисты все еще возражают против этого понятия. [ кто? ]
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ){{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )