Споры по поводу теории Кантора

О математической бесконечности

В математической логике теория бесконечных множеств была впервые разработана Георгом Кантором . Хотя эта работа стала вполне стандартной принадлежностью классической теории множеств , она подверглась критике в нескольких областях со стороны математиков и философов.

Теорема Кантора подразумевает, что существуют множества , мощность которых больше бесконечной мощности множества натуральных чисел . Аргумент Кантора для этой теоремы представлен с одним небольшим изменением. Этот аргумент можно улучшить, используя определение, которое он дал позже. Полученный аргумент использует только пять аксиом теории множеств.

Теория множеств Кантора была спорной в начале, но позже стала широко принятой. Большинство современных учебников математики неявно используют взгляды Кантора на математическую бесконечность . Например, линия обычно представляется как бесконечное множество ее точек, и обычно учат, что действительных чисел больше, чем рациональных (см. мощность континуума ).

Аргумент Кантора

Первое доказательство Кантора того, что бесконечные множества могут иметь различную мощность, было опубликовано в 1874 году. Это доказательство показывает, что множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют различную мощность. Оно использует теорему о том, что ограниченная возрастающая последовательность действительных чисел имеет предел , который можно доказать, используя конструкцию иррациональных чисел Кантора или Ричарда Дедекинда . Поскольку Леопольд Кронекер не принимал эти конструкции, Кантор был мотивирован разработать новое доказательство. ^[1]

В 1891 году он опубликовал «гораздо более простое доказательство... которое не зависит от рассмотрения иррациональных чисел». ^[2] Его новое доказательство использует его диагональный аргумент для доказательства того, что существует бесконечное множество с большим числом элементов (или большей мощностью), чем множество натуральных чисел N  = {1, 2, 3, ...}. Это большее множество состоит из элементов ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...), где каждый x _n равен либо m , либо w . ^[3] Каждый из этих элементов соответствует подмножеству N — а именно, элемент ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...) соответствует { n  ∈  N :   x _n  =  w }. Таким образом, аргумент Кантора подразумевает, что множество всех подмножеств N имеет большую мощность, чем N . Множество всех подмножеств N обозначается как P ( N ), множество мощности N .

Кантор обобщил свой аргумент на произвольное множество A и множество, состоящее из всех функций от A до {0, 1}. ^[4] Каждая из этих функций соответствует подмножеству A , поэтому его обобщенный аргумент подразумевает теорему: множество мощности P ( A ) имеет большую мощность, чем A . Это известно как теорема Кантора .

Аргумент ниже представляет собой современную версию аргумента Кантора, который использует степенные множества (его оригинальный аргумент см. в разделе Диагональный аргумент Кантора ). Представив современный аргумент, можно увидеть, какие предположения аксиоматической теории множеств используются. Первая часть аргумента доказывает, что N и P ( N ) имеют разные мощности:

• Существует по крайней мере одно бесконечное множество. Это предположение (формально не определенное Кантором) зафиксировано в формальной теории множеств аксиомой бесконечности . Эта аксиома подразумевает, что N , множество всех натуральных чисел, существует.
• Существует множество всех подмножеств N ( P ( N )) . В формальной теории множеств это подразумевается аксиомой множества мощности , которая гласит, что для каждого множества существует множество всех его подмножеств.
• Понятие «иметь одинаковое число» или «иметь одинаковую мощность» можно охватить идеей соответствия один к одному . Это (чисто дефиниционное) предположение иногда называют принципом Юма . Как сказал Фреге , «Если официант хочет быть уверенным, что кладет на стол ровно столько же ножей, сколько тарелок, ему не нужно их подсчитывать; все, что ему нужно сделать, это положить нож непосредственно справа от каждой тарелки, позаботившись о том, чтобы каждый нож на столе лежал непосредственно справа от тарелки. Тарелки и ножи, таким образом, соотносятся один к одному». ^[5] Множества в такой корреляции называются равнозначными , а корреляция называется соответствием один к одному.
• Множество не может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие с его множеством мощности. Это подразумевает, что N и P ( N ) имеют разные мощности. Это зависит от очень немногих предположений теории множеств , и, как выразился Джон П. Мейберри , является «простым и красивым аргументом», который «чреват последствиями». ^[6] Вот аргумент:

  Пусть будет множеством и будет его множеством мощности. Будет доказана следующая теорема: Если является функцией из в , то она не принадлежит . Из этой теоремы следует, что нет взаимно однозначного соответствия между и , поскольку такое соответствие должно принадлежать . Доказательство теоремы: Определите диагональное подмножество Поскольку доказательство того, что для всех будет подразумевать, что не принадлежит . Пусть Тогда что подразумевает Так что если то и если то Поскольку одно из этих множеств содержит , а другое нет, Следовательно, не принадлежит образу , поэтому не принадлежит . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle D=\{x\in A:x\notin f(x)\}.}$ ${\displaystyle D\in P(A),}$ ${\displaystyle x\in A,\,D\neq f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle x\in D\Leftrightarrow x\notin f(x),}$ ${\displaystyle x\notin D\Leftrightarrow x\in f(x).}$ ${\displaystyle x\in D,}$ ${\displaystyle x\notin f(x);}$ ${\displaystyle x\notin D,}$ ${\displaystyle x\in f(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\neq f(x).}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Далее Кантор показывает, что равночисленно подмножеству . Из этого и того факта, что и имеют разные мощности, он делает вывод, что имеет большую мощность, чем . Этот вывод использует его определение 1878 года: если A и B имеют разные мощности, то либо B равночисленно подмножеству A (в этом случае B имеет меньшую мощность, чем A ), либо A равночисленно подмножеству B (в этом случае B имеет большую мощность, чем A ). ^[7] Это определение не учитывает случай, когда A и B равночисленны подмножеству другого множества, то есть A равночисленно подмножеству B , а B равночисленно подмножеству A . Поскольку Кантор неявно предполагал, что мощности линейно упорядочены , этот случай не может иметь места. ^[8] После использования своего определения 1878 года Кантор заявил, что в статье 1883 года он доказал, что мощности вполне упорядочены , что подразумевает, что они линейно упорядочены. ^[9] Это доказательство использовало его принцип хорошо упорядоченности «каждое множество может быть хорошо упорядочено», который он назвал «законом мышления». ^[10] Принцип хорошо упорядоченности эквивалентен аксиоме выбора . ^[11] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

Около 1895 года Кантор начал рассматривать принцип полного упорядочения как теорему и попытался доказать ее. ^[12] В 1895 году Кантор также дал новое определение «больше, чем», которое правильно определяет это понятие без помощи его принципа полного упорядочения. ^[13] Используя новое определение Кантора, современный аргумент о том, что P ( N ) имеет большую мощность, чем N , может быть завершен с использованием более слабых предположений, чем его первоначальный аргумент:

• Концепция «имеющего большую мощность» может быть отражена в определении Кантора 1895 года: B имеет большую мощность, чем A , если (1) A равночисленно подмножеству B и (2) B не равночисленно подмножеству A. ^[13] Пункт (1) говорит, что B по крайней мере так же велико, как A , что согласуется с нашим определением «имеющего ту же мощность» . Пункт (2) подразумевает, что случай, когда A и B равночисленны подмножеству другого множества, является ложным. Поскольку пункт (2) говорит, что A не по крайней мере так же велико, как B , два пункта вместе говорят, что B больше (имеет большую мощность), чем A.
• Мощность множества больше, чем , что подразумевает, что P ( N ) имеет большую мощность, чем N . Вот доказательство: ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A,}$
  1. Определите подмножество Определите, которое отображается на Поскольку подразумевается , что существует взаимно-однозначное соответствие между и Следовательно, является равночисленным с подмножеством ${\displaystyle P_{1}=\{\,y\in P(A):\exists x\in A\,(y=\{x\})\,\}.}$ ${\displaystyle f(x)=\{x\},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}.}$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2},\,f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A).}$
  2. Используя доказательство от противного , предположим, что подмножество равночисленно с . Тогда существует однозначное соответствие от до Определим от до если то если то Так как отображается на отображается на противоречащее теореме выше, утверждающей, что функция от до не является на. Следовательно, не равночисленно с подмножеством ${\displaystyle A_{1},}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle P(A).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle P(A).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A){\text{:}}}$ ${\displaystyle x\in A_{1},}$ ${\displaystyle h(x)=g(x);}$ ${\displaystyle x\in A\setminus A_{1},}$ ${\displaystyle h(x)=\{\,\}.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle P(A),\,h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A.}$

Помимо аксиом бесконечности и мощности множества, в современном аргументе использовались аксиомы разделения , экстенсиональности и спаривания . Например, аксиома разделения использовалась для определения диагонального подмножества, аксиома экстенсиональности использовалась для доказательства , а аксиома спаривания использовалась в определении подмножества. ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle D\neq f(x),}$ ${\displaystyle P_{1}.}$

Прием аргумента

Первоначально теория Кантора была спорной среди математиков и (позже) философов. Как утверждал Леопольд Кронекер : «Я не знаю, что преобладает в теории Кантора — философия или теология, но я уверен, что там нет математики». ^{[ требуется цитата ]} Многие математики согласились с Кронекером, что завершенная бесконечность может быть частью философии или теологии , но что она не имеет надлежащего места в математике. Логик Уилфрид Ходжес  (1998) прокомментировал энергию, направленную на опровержение этого «безобидного маленького аргумента» (т. е. диагонального аргумента Кантора ), задавая вопрос: «что он сделал с кем-то, чтобы они рассердились на него?» ^[14] Математик Соломон Феферман назвал теории Кантора «просто не имеющими отношения к повседневной математике». ^[15]

До Кантора понятие бесконечности часто рассматривалось как полезная абстракция, которая помогала математикам рассуждать о конечном мире; например, использование бесконечных предельных случаев в исчислении . Считалось, что бесконечность имеет самое большее потенциальное существование, а не фактическое существование. ^[16] «Действительной бесконечности не существует. То, что мы называем бесконечностью, есть лишь бесконечная возможность создания новых объектов, независимо от того, сколько их уже существует». ^{[17] Взгляды} Карла Фридриха Гаусса на эту тему можно перефразировать следующим образом: «Бесконечность — это не более чем фигура речи, которая помогает нам говорить о пределах. Понятие завершенной бесконечности не принадлежит математике». ^[18] Другими словами, единственный доступ к бесконечности, который мы имеем, — это через понятие пределов, и, следовательно, мы не должны рассматривать бесконечные множества так, как будто они имеют существование, в точности сопоставимое с существованием конечных множеств.

Идеи Кантора в конечном итоге были широко приняты, и их активно поддерживал Давид Гильберт , среди прочих. Гильберт предсказал: «Никто не изгонит нас из рая, который Кантор создал для нас». ^[19] На что Витгенштейн ответил: «Если один человек может видеть это как рай математиков, почему другой не должен видеть это как шутку?» ^[20] Отказ от бесконечных идей Кантора повлиял на развитие таких школ математики, как конструктивизм и интуиционизм . ^{[ требуется ссылка ]}

Витгенштейн не возражал против математического формализма в целом, но имел финитистский взгляд на то, что означает доказательство Кантора. Философ утверждал, что вера в бесконечности возникает из-за смешения интенсиональной природы математических законов с экстенсиональной природой множеств, последовательностей, символов и т. д. По его мнению, ряд символов конечен: По словам Витгенштейна: «...Кривая не состоит из точек, это закон, которому подчиняются точки, или, опять же, закон, согласно которому точки могут быть построены».

Он также назвал диагональный аргумент «фокусом-покусом», не доказывающим то, на что он претендует.

Возражение против аксиомы бесконечности

Распространенное возражение против теории бесконечного числа Кантора касается аксиомы бесконечности (которая, на самом деле, является аксиомой, а не логической истиной ). Мейберри отметил, что «... аксиомы теории множеств, на которых основана современная математика, являются самоочевидными в разной степени. Одна из них — действительно, самая важная из них, а именно аксиома Кантора, так называемая аксиома бесконечности — едва ли может претендовать на самоочевидность вообще...» ^[21]

Другое возражение заключается в том, что использование бесконечных множеств недостаточно обосновано аналогией с конечными множествами. Герман Вейль писал:

... классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств и их подмножеств .... Забыв об этом ограниченном происхождении, впоследствии эту логику ошибочно приняли за нечто выше и до всей математики, и в конце концов применили ее, без оправдания, к математике бесконечных множеств. Это падение и первородный грех теории множеств [Кантора] ..." ^[22]

Трудность финитизма заключается в разработке основ математики с использованием финитистских предположений, включающих в себя то, что каждый разумно считает математикой (например, включающих в себя реальный анализ ).

Смотрите также

• Преинтуитивизм

Примечания

1. Даубен 1979, стр. 67–68, 165.
2. Кантор 1891, стр. 75; английский перевод: Эвальд, стр. 920.
3. Даубен 1979, стр. 166.
4. Даубен 1979, стр. 166–167.
5. Фреге 1884, перевод 1953, §70.
6. Мейберри 2000, стр. 136.
7. Кантор 1878, стр. 242. Кантор 1891, стр. 77; английский перевод: Эвальд, стр. 922.
8. Халлетт 1984, стр. 59.
9. Кантор 1891, стр. 77; английский перевод: Эвальд, стр. 922.
10. Мур 1982, стр. 42.
11. Мур 1982, стр. 330.
12. Мур 1982, стр. 51. Обсуждение доказательства Кантора содержится в Абсолютная бесконечность, теорема о полном порядке и парадоксы . Часть доказательства Кантора и критика его Цермело содержится в справочной заметке.
13. Cantor 1895, стр. 483–484; английский перевод: Cantor 1954, стр. 89–90.
14. Ходжес, Уилфрид (1998), «Редактор вспоминает некоторые безнадежные статьи», Бюллетень символической логики , т. 4, № 1, Ассоциация символической логики, стр. 1–16, CiteSeerX  10.1.1.27.6154 , doi :10.2307/421003, JSTOR  421003, S2CID  14897182
15. Вулховер, Натали . «Спор о бесконечности разделяет математиков». Scientific American . Получено 2 октября 2014 г.
16. Зенкин, Александр (2004), «Логика актуальной бесконечности и диагональное доказательство Г. Кантора несчетности континуума», The Review of Modern Logic , т. 9, № 30, стр. 27–80
17. ( Пуанкаре цитирует Клайна 1982)
18. Данэм, Уильям (1991). Путешествие через гениальность: Великие теоремы математики . Penguin. стр. 254. ISBN 9780140147391.
19. (Гильберт, 1926)
20. (РФМ В. 7)
21. Мейберри 2000, стр. 10.
22. Вейль, 1946

Ссылки

• Бишоп, Эрретт ; Бриджес, Дуглас С. (1985), Конструктивный анализ , Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer, ISBN 978-0-387-15066-6
• Кантор, Георг (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 84 : 242–248
• Кантор, Георг (1891), «Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre» (PDF) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 1 : 75–78
• Кантор, Георг (1895), «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)», Mathematische Annalen , 46 (4): 481–512, doi : 10.1007/bf02124929, S2CID  177801164, заархивировано из оригинала 23 апреля 2014 г.
• Кантор, Георг; Филипп Журден (перевод) (1954) [1915], Вклад в основание теории трансфинитных чисел, Дувр, ISBN 978-0-486-60045-1
• Даубен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Издательство Гарвардского университета, ISBN 0-674-34871-0
• Данэм, Уильям (1991), Путешествие через гениальность: Великие теоремы математики , Penguin Books, ISBN 978-0140147391
• Эвальд, Уильям Б., ред. (1996), От Иммануила Канта до Давида Гильберта: Учебник по основам математики, том 2 , Oxford University Press, ISBN 0-19-850536-1
• Фреге, Готтлоб ; Дж. Л. Остин (перевод) (1884), Основы арифметики (2-е изд.), Northwestern University Press, ISBN 978-0-8101-0605-5
• Халлетт, Майкл (1984), Канторовская теория множеств и ограничение размера , Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6
• Гильберт, Дэвид (1926), «Über das Unendliche», Mathematische Annalen , vol. 95, стр. 161–190, номер документа : 10.1007/BF01206605, JFM  51.0044.02, S2CID  121888793 .

« Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können » .

Переведено на Ван Хейеноорт, Джин , О бесконечности , Издательство Гарвардского университета.

• Клайн, Моррис (1982), Математика: Потеря определенности , Оксфорд, ISBN 0-19-503085-0{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Mayberry, JP (2000), Основы математики в теории множеств , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 82, Cambridge University Press
• Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние , Springer, ISBN 978-1-4613-9480-8
• Пуанкаре, Анри (1908), Будущее математики (PDF) , Revue generale des Sciences pures et appliquees, т. 23, архивировано из оригинала (PDF) 29.06.2003(выступление на Четвертом Международном конгрессе математиков)
• Сейнсбери, РМ (1979), Рассел , Лондон{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Вейль, Герман (1946), «Математика и логика: краткий обзор, служащий предисловием к обзору « Философии Бертрана Рассела », American Mathematical Monthly , т. 53, стр. 2–13, doi : 10.2307/2306078, JSTOR  2306078
• Витгенштейн, Людвиг ; А. Дж. П. Кенни (перевод) (1974), Философская грамматика , Оксфорд{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Витгенштейн; Р. Харгривз (перевод); Р. Уайт (перевод) (1964), Философские замечания , Оксфорд{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Витгенштейн (2001), Замечания об основаниях математики (3-е изд.), Оксфорд{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Внешние ссылки

• 68-е мнение Дорона Зейлбергера
• Аргумент философа Хартли Слейтера против идеи «числа», лежащей в основе теории множеств Кантора
• Вольфганг Мюккенхайм: Transfinity - Справочник
• Ходжес «Редактор отзывает некоторые безнадежные статьи»