Количественная оценка неопределенности

Определение характеристик и уменьшение неопределенностей как в вычислительных, так и в реальных приложениях.

Количественная оценка неопределенности ( UQ ) — это наука о количественной характеристике и оценке неопределенностей как в вычислительных, так и в реальных приложениях. Он пытается определить, насколько вероятны определенные результаты, если некоторые аспекты системы точно не известны. Примером может служить прогнозирование ускорения человеческого тела при лобовом столкновении с другим автомобилем: даже если бы скорость была точно известна, небольшие различия в изготовлении отдельных автомобилей, в том, насколько сильно был затянут каждый болт и т. д., приведет к различным результатам, которые можно предсказать только в статистическом смысле.

Многие проблемы в области естественных наук и техники также изобилуют источниками неопределенности. Компьютерные эксперименты по компьютерному моделированию являются наиболее распространенным подходом к изучению проблем количественной оценки неопределенности. ^{[1] [2] [3] [4]}

Источники

Неопределенность может присутствовать в математических моделях и экспериментальных измерениях в различных контекстах. Один из способов классифицировать источники неопределенности – это рассмотреть: ^[5]

Параметр

Это происходит из-за параметров модели, которые являются входными данными для компьютерной модели (математической модели), но чьи точные значения неизвестны экспериментаторам и не могут контролироваться в физических экспериментах, или чьи значения не могут быть точно определены статистическими методами . Некоторыми примерами этого являются локальное ускорение свободного падения в эксперименте с падающим объектом, различные свойства материалов в анализе методом конечных элементов для техники и неопределенность множителя в контексте оптимизации макроэкономической политики .

Параметрический

Это происходит из-за изменчивости входных переменных модели. Например, размеры заготовки в процессе производства могут не соответствовать заданным и указанным в инструкциях, что может привести к изменениям в ее характеристиках.

Структурная неопределенность

Это явление, также известное как неадекватность модели, предвзятость модели или несоответствие модели, возникает из-за отсутствия знаний физики, лежащей в основе проблемы. Это зависит от того, насколько точно математическая модель описывает истинную систему для реальной ситуации, учитывая тот факт, что модели почти всегда являются лишь приближениями к реальности. Одним из примеров является моделирование процесса падения объекта с использованием модели свободного падения; сама модель неточна, поскольку всегда существует трение воздуха. В этом случае, даже если в модели нет неизвестного параметра, все равно ожидается несоответствие между моделью и истинной физикой.

алгоритмический

Также известна как числовая неопределенность или дискретная неопределенность. Этот тип возникает из-за числовых ошибок и численных аппроксимаций при реализации компьютерной модели. Большинство моделей слишком сложны, чтобы их можно было точно решить. Например, метод конечных элементов или метод конечных разностей можно использовать для аппроксимации решения уравнения в частных производных (которое вносит числовые ошибки). Другими примерами являются численное интегрирование и усечение бесконечной суммы, которые являются необходимыми приближениями при численной реализации.

Экспериментальный

Это явление, также известное как ошибка наблюдения, возникает из-за изменчивости экспериментальных измерений. Экспериментальная неопределенность неизбежна, и ее можно заметить, многократно повторяя измерения с использованием одних и тех же настроек для всех входных данных/переменных.

Интерполяция

Это происходит из-за отсутствия доступных данных, собранных в результате компьютерного моделирования и/или экспериментальных измерений. Для других входных настроек, для которых нет данных моделирования или экспериментальных измерений, необходимо интерполировать или экстраполировать, чтобы спрогнозировать соответствующие ответы.

Алеаторика и эпистемика

Неопределенность иногда разделяют на две категории, ^{[6] [7],} которые особенно заметны в медицинских приложениях. ^[8]

Алеаторик

Алеаторическая неопределенность также известна как стохастическая неопределенность и отражает неизвестные, которые различаются каждый раз, когда мы проводим один и тот же эксперимент. Например, одиночный выстрел стрелы из механического лука, который точно повторяет каждый запуск (с одинаковым ускорением, высотой, направлением и конечной скоростью), не попадет в одну и ту же точку мишени из-за случайных и сложных вибраций стержня стрелы. знание которых не может быть определено в достаточной степени, чтобы исключить возникающий в результате разброс точек удара. Аргумент здесь, очевидно, заключается в определении слова «нельзя». Тот факт, что мы не можем проводить достаточные измерения с помощью наших доступных в настоящее время измерительных устройств, не обязательно исключает существование такой информации, которая переместила бы эту неопределенность в категорию ниже. Алеаторика происходит от латинского alea или кости, что означает азартную игру.

Эпистемическая неопределенность

Эпистемическая неопределенность также известна как систематическая неопределенность и связана с вещами, которые в принципе можно знать, но не делают на практике. Это может быть связано с тем, что измерение неточно, потому что модель не учитывает определенные эффекты или потому, что определенные данные были намеренно скрыты. Примером источника этой неопределенности может служить сопротивление в эксперименте по измерению ускорения силы тяжести вблизи земной поверхности. Обычно используемое гравитационное ускорение 9,8 м/с² игнорирует влияние сопротивления воздуха, но сопротивление воздуха для объекта можно измерить и включить в эксперимент, чтобы уменьшить возникающую неопределенность в расчете гравитационного ускорения.

Комбинированное возникновение и взаимодействие алеаторической и эпистемической неопределенности

Алеаторическая и эпистемическая неопределенность также могут возникать одновременно в одном термине. Например, когда экспериментальные параметры демонстрируют алеаторическую неопределенность, и эти экспериментальные параметры вводятся в компьютерное моделирование. Если затем для количественной оценки неопределенности из компьютерных экспериментов изучается суррогатная модель , например, гауссовский процесс или полиномиальное расширение хаоса , этот суррогат демонстрирует эпистемическую неопределенность, которая зависит от алеаторической неопределенности экспериментальных параметров или взаимодействует с ней. ^[4] Такую неопределенность уже нельзя классифицировать исключительно как алеаторическую или эпистемическую, она представляет собой более общую неопределенность, связанную с выводами.

В реальных приложениях присутствуют оба вида неопределенностей. Количественная оценка неопределенности предполагает явное выражение обоих типов неопределенности по отдельности. Количественная оценка алеаторических неопределенностей может быть относительно простой, при этом традиционная (частотная) вероятность является самой базовой формой. Часто используются такие методы, как метод Монте-Карло . Распределение вероятностей может быть представлено его моментами (в гауссовском случае достаточно среднего и ковариации , хотя, вообще говоря, даже знание всех моментов сколь угодно высокого порядка все еще не определяет функцию распределения однозначно), или, в последнее время, как такие методы, как Кархунен-Лёве и полиномиальные разложения хаоса . Чтобы оценить эпистемическую неопределенность, предпринимаются усилия, чтобы понять (недостаток) знаний о системе, процессе или механизме. Эпистемическая неопределенность обычно понимается через призму байесовской вероятности , где вероятности интерпретируются как показатель того, насколько уверен рациональный человек в отношении конкретного утверждения.

Математическая перспектива

В математике неопределенность часто характеризуется с точки зрения распределения вероятностей . С этой точки зрения эпистемическая неопределенность означает отсутствие уверенности в том, каково соответствующее распределение вероятностей, а алеаторическая неопределенность означает отсутствие уверенности в том, какой будет случайная выборка, полученная из распределения вероятностей.

Типы проблем

Существует два основных типа проблем при количественной оценке неопределенности: одна — это прямое распространение неопределенности (когда различные источники неопределенности распространяются через модель для прогнозирования общей неопределенности в реакции системы), а другая — обратная оценка неопределенности модели. и неопределенность параметров (когда параметры модели калибруются одновременно с использованием тестовых данных). Исследования первой проблемы получили широкое распространение, и для ее решения было разработано большинство методов анализа неопределенности. С другой стороны, последняя проблема привлекает все большее внимание в сообществе инженеров-проектировщиков, поскольку количественная оценка неопределенности модели и последующие прогнозы истинного ответа(ов) системы представляют большой интерес при проектировании надежных систем.

Вперед

Распространение неопределенности — это количественная оценка неопределенностей в выходных данных системы, распространяемых из неопределенных входных данных. Основное внимание уделяется влиянию на результаты параметрической изменчивости , указанной в источниках неопределенности. Целями анализа распространения неопределенности могут быть:

• Оценить моменты низшего порядка выходных данных, т.е. среднее значение и дисперсию .
• Оценить надежность выходных данных. Это особенно полезно в проектировании надежности , где выходные данные системы обычно тесно связаны с ее производительностью.
• Оценить полное распределение вероятностей выходных данных. Это полезно в сценарии оптимизации полезности , когда для расчета полезности используется полное распределение.

Обратный

Учитывая некоторые экспериментальные измерения системы и некоторые результаты компьютерного моделирования на основе ее математической модели, количественная оценка обратной неопределенности оценивает несоответствие между экспериментом и математической моделью (что называется коррекцией смещения ) и оценивает значения неизвестных параметров в модели, если они существуют. любые (что называется калибровкой параметра или просто калибровкой ). Обычно это гораздо более сложная проблема, чем прямое распространение неопределенности; однако это имеет большое значение, поскольку обычно реализуется в процессе обновления модели. Существует несколько сценариев количественной оценки обратной неопределенности:

Результат коррекции систематической ошибки, включая обновленную модель (среднее значение прогноза) и доверительный интервал прогноза.

Только коррекция смещения

Коррекция смещения количественно определяет неадекватность модели , то есть несоответствие между экспериментом и математической моделью. Общая формула обновления модели для коррекции смещения:

${\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} )+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon }$

где обозначает экспериментальные измерения как функцию нескольких входных переменных , обозначает реакцию компьютерной модели (математической модели), обозначает аддитивную функцию невязки (также известную как функция смещения) и обозначает экспериментальную неопределенность. Цель состоит в том, чтобы оценить функцию несоответствия , и в качестве побочного продукта получить обновленную модель . Доверительный интервал прогноза предоставляется вместе с обновленной моделью в качестве количественной оценки неопределенности. ${\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} )+\delta (\mathbf {x} )}$

Только калибровка параметров

Калибровка параметров оценивает значения одного или нескольких неизвестных параметров в математической модели. Общая формулировка обновления модели для калибровки:

${\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\varepsilon }$

где обозначает отклик компьютерной модели, зависящий от нескольких неизвестных параметров модели , и обозначает истинные значения неизвестных параметров в ходе экспериментов. Цель состоит в том, чтобы либо оценить , либо найти распределение вероятностей, которое будет охватывать наилучшие знания об истинных значениях параметров. ${\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{*}}$

Коррекция смещения и калибровка параметров

Он рассматривает неточную модель с одним или несколькими неизвестными параметрами, а формулировка обновления модели объединяет их вместе:

${\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon }$

Это наиболее полная формулировка обновления модели, включающая все возможные источники неопределенности, и ее решение требует наибольших усилий.

Выборочные методологии

Было проведено много исследований для решения проблем количественной оценки неопределенности, хотя большинство из них связано с распространением неопределенности. За последние одно-два десятилетия также был разработан ряд подходов к решению обратных задач количественного определения неопределенности, которые оказались полезными для большинства задач малого и среднего масштаба.

Прямое распространение

Существующие подходы к распространению неопределенности включают вероятностные подходы и невероятностные подходы. Существует в основном шесть категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности: ^[9]

• Методы, основанные на моделировании: моделирование Монте-Карло , выборка по важности , адаптивная выборка и т. д.
• Общие методы, основанные на суррогатах: при неинтрузивном подходе суррогатная модель изучается, чтобы заменить эксперимент или моделирование дешевым и быстрым приближением. Методы, основанные на суррогатах, также могут использоваться полностью байесовским способом. ^{[10] [4] [11] [12]} Этот подход оказался особенно эффективным, когда стоимость выборки, например, вычислительно дорогостоящего моделирования, непомерно высока.
• Методы, основанные на локальном разложении: ряд Тейлора , метод возмущений и т. д. Эти методы имеют преимущества при работе с относительно небольшой входной изменчивостью и выходными данными, которые не выражают высокую нелинейность. Эти линейные или линеаризованные методы подробно описаны в статье Распространение неопределенности .
• Методы, основанные на функциональном расширении: расширение Неймана, ортогональное или расширение Карунена-Лоэва (KLE), с полиномиальным расширением хаоса (PCE) и вейвлет-разложением в качестве особых случаев.
• Методы на основе наиболее вероятной точки (MPP): метод надежности первого порядка (ФОРМ) и метод надежности второго порядка (СОРМ).
• Методы, основанные на численном интегрировании: полное факторное численное интегрирование (FFNI) и уменьшение размерности (DR).

Среди невероятностных подходов наиболее широко используются интервальный анализ , ^[13] Нечеткая теория , теория возможностей и теория доказательств.

Вероятностный подход считается наиболее строгим подходом к анализу неопределенности в инженерном проектировании из-за его соответствия теории анализа решений. Его краеугольным камнем является вычисление функций плотности вероятности для выборочной статистики. ^[14] Это можно строго выполнить для случайных величин, которые можно получить путем преобразования гауссовых переменных, что приводит к точным доверительным интервалам.

Обратная неопределенность

Частотный

В регрессионном анализе и задачах наименьших квадратов легко доступна стандартная ошибка оценок параметров , которую можно расширить до доверительного интервала .

Байесовский

В рамках байесовской структуры существует несколько методологий количественной оценки обратной неопределенности . Самым сложным направлением является решение задач как с коррекцией смещения, так и с калибровкой параметров. Проблемы таких проблем включают не только влияние неадекватности модели и неопределенности параметров, но также отсутствие данных как компьютерного моделирования, так и экспериментов. Распространенной ситуацией является то, что входные настройки не совпадают для экспериментов и моделирования. Другая распространенная ситуация заключается в том, что параметры, полученные в результате экспериментов, вводятся в моделирование. Для дорогостоящего моделирования часто необходима суррогатная модель , например, гауссовский процесс или полиномиальное расширение хаоса , определяющая обратную задачу для поиска суррогатной модели, которая лучше всего аппроксимирует моделирование. ^[4]

Модульный подход

Подходом к количественной оценке обратной неопределенности является модульный байесовский подход. ^{[5] [15]} Модульный байесовский подход получил свое название от четырехмодульной процедуры. Помимо имеющихся на данный момент данных, необходимо задать априорное распределение неизвестных параметров.

Модуль 1: Моделирование гауссовского процесса для компьютерной модели

Чтобы решить проблему отсутствия результатов моделирования, компьютерная модель заменяется моделью гауссовского процесса (GP).

${\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{m}(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m}^{2}R^{m}(\cdot ,\cdot ){\big )}}$

где

${\displaystyle R^{m}{\big (}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}),(\mathbf {x} ',{\boldsymbol {\theta }}'){\big )}=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{m}(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}\exp \left\{-\sum _{k=1}^{r}\omega _{d+k}^{m}(\theta _{k}-\theta _{k}')^{2}\right\}.}$

${\displaystyle d}$— размерность входных переменных, а — размерность неизвестных параметров. Несмотря на то , что , известные как гиперпараметры модели GP, определены заранее , их необходимо оценивать с помощью оценки максимального правдоподобия (MLE) . Этот модуль можно рассматривать как обобщенный метод кригинга . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {h} ^{m}(\cdot )}$ ${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m},\omega _{k}^{m},k=1,\ldots ,d+r\right\}}$

Модуль 2: Моделирование гауссовского процесса для функции несоответствия

Аналогично первому модулю функция невязки заменяется на модель ГП.

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{\delta }(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta }^{2}R^{\delta }(\cdot ,\cdot ){\big )}}$

где

${\displaystyle R^{\delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{\delta }(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}.}$

Вместе с априорным распределением неизвестных параметров и данными компьютерных моделей и экспериментов можно получить оценки максимального правдоподобия для . В то же время модуль 1 также обновляется. ${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta },\omega _{k}^{\delta },k=1,\ldots ,d\right\}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{m}}$

Модуль 3: Апостериорное распределение неизвестных параметров

Теорема Байеса применяется для расчета апостериорного распределения неизвестных параметров:

${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}},{\boldsymbol {\varphi }})\propto p({\rm {{data}\mid {\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }})p({\boldsymbol {\theta }})}}}$

где включает все фиксированные гиперпараметры в предыдущих модулях. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$

Модуль 4: Прогнозирование экспериментального ответа и функции несоответствия

Полный подход

Полностью байесовский подход требует, чтобы были назначены не только априорные значения для неизвестных параметров , но и априорные значения для других гиперпараметров . Он состоит из следующих шагов: ^[16] ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$

1. Выведите апостериорное распределение ; ${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})}$
2. Интегрируем и получаем . Этот единственный шаг завершает калибровку; ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}})}$
3. Прогнозирование экспериментального ответа и функции невязки.

Однако данный подход имеет существенные недостатки:

• В большинстве случаев это крайне трудноразрешимая функция . Следовательно, интеграция становится очень проблематичной. Более того, если априорные значения для других гиперпараметров не выбраны тщательно, сложность численного интегрирования возрастает еще больше. ${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$
• На этапе прогнозирования прогноз (который должен, по крайней мере, включать ожидаемое значение реакций системы) также требует численного интегрирования. Цепь Маркова Монте-Карло (MCMC) часто используется для интегрирования; однако это вычислительно дорого.

Полностью байесовский подход требует огромного количества вычислений и пока может оказаться непригодным для решения самых сложных ситуаций моделирования. ^[16]

Известные вопросы

Теории и методологии распространения неопределенности гораздо лучше разработаны по сравнению с количественной обратным определением неопределенности. Для последнего остается нерешенным ряд трудностей:

1. Проблема размерности: вычислительные затраты резко возрастают с увеличением размерности задачи, т. е. количества входных переменных и/или количества неизвестных параметров.
2. Проблема идентификации: ^[17] Множественные комбинации неизвестных параметров и функции несоответствия могут дать одно и то же экспериментальное предсказание. Следовательно, разные значения параметров не могут быть различены/идентифицированы. Эту проблему можно обойти в байесовском подходе, при котором такие комбинации усредняются. ^[4]
3. Неполный ответ модели: относится к модели, не имеющей решения для некоторых комбинаций входных переменных. ^{[18] [19]}
4. Количественная оценка неопределенности входных величин: важные события отсутствуют в имеющихся данных или критические количества не идентифицированы аналитиками, например, из-за ограничений существующих моделей. ^[20]
5. Мало внимания уделяется влиянию решений, сделанных аналитиками. ^[21]

Смотрите также

• Компьютерный эксперимент
• Необходимы дальнейшие исследования
• Количественная оценка маржи и неопределенностей
• Вероятностные числа
• Байесовская регрессия
• Байесовская вероятность

Рекомендации

1. Сакс, Джером; Уэлч, Уильям Дж.; Митчелл, Тоби Дж.; Винн, Генри П. (1989). «Планирование и анализ компьютерных экспериментов». Статистическая наука . 4 (4): 409–423. дои : 10.1214/ss/1177012413 . JSTOR  2245858.
2. Иман, Рональд Л.; Хелтон, Джон К. (1988). «Исследование методов анализа неопределенности и чувствительности компьютерных моделей». Анализ риска . Уайли. 8 (1): 71–90. Бибкод : 1988РискА...8...71I. doi :10.1111/j.1539-6924.1988.tb01155.x. ISSN  0272-4332.
3. Уокер, МЫ; Харремоэс, П.; Ротманс Дж.; ван дер Слейс, JP; ван Ассельт, MBA; Янссен, П.; Крайер фон Краусс, депутат парламента (2003 г.). «Определение неопределенности: концептуальная основа управления неопределенностью в поддержке принятия решений на основе моделей». Комплексная оценка . Издательство Swets & Zeitlinger. 4 (1): 5–17. Бибкод : 2003IntAs...4....5W. дои : 10.1076/iaij.4.1.5.16466. hdl : 1874/386032 . ISSN  1389-5176.
4. Ранфтл, Саша; фон дер Линден, Вольфганг (13 ноября 2021 г.). «Байесовский суррогатный анализ и распространение неопределенности». Форум физических наук . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . дои : 10.3390/psf2021003006 . ISSN  2673-9984.
5. Кеннеди, Марк С.; О'Хаган, Энтони (2001). «Байесовская калибровка компьютерных моделей». Журнал Королевского статистического общества, серия B (статистическая методология) . 63 (3): 425–464. дои : 10.1111/1467-9868.00294 .
6. Дер Кюрегян, Армен; Дитлевсен, Уве (2009). «Алеаторный или эпистемический? Имеет ли это значение?». Структурная безопасность . 31 (2): 105–112. doi :10.1016/j.strusafe.2008.06.020.
7. Маттис, Герман Г. (2007). «Количественная оценка неопределенности: современное вычислительное представление вероятности и приложения». Экстремальные техногенные и природные опасности в динамике сооружений . Серия «Безопасность НАТО через науку». стр. 105–135. дои : 10.1007/978-1-4020-5656-7_4. ISBN 978-1-4020-5654-3.
8. Абхая Индраян, Медицинская биостатистика , второе издание, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, страницы 8, 673.
9. Ли, SH; Чен, В. (9 мая 2008 г.). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация . ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». 37 (3): 239–253. дои : 10.1007/s00158-008-0234-7. ISSN  1615-147X. S2CID  119988015.
10. Карденас, IC (2019). «Об использовании байесовских сетей в качестве подхода к метамоделированию для анализа неопределенностей при анализе устойчивости склонов». Геориск: оценка и управление рисками для инженерных систем и опасных геологических процессов . 13 (1): 53–65. Бибкод : 2019GAMRE..13...53C. дои : 10.1080/17499518.2018.1498524. S2CID  216590427.
11. Ранфтл, Саша; Мелито, Джан Марко; Бадели, Вахид; Рейнбахер-Кестингер, Алиса; Эллерманн, Катрин; фон дер Линден, Вольфганг (31 декабря 2019 г.). «Количественная оценка байесовской неопределенности с использованием данных разной точности и гауссовских процессов для импедансной кардиографии расслоения аорты». Энтропия . 22 (1): 58. Бибкод : 2019Entrp..22...58R. дои : 10.3390/e22010058 . ISSN  1099-4300. ПМЦ 7516489 . ПМИД  33285833. 
12. Ранфтл, Саша; Мюллер, Томас Стефан; Виндбергер, Урсула; фон дер Линден, Вольфганг; Бренн, Гюнтер (03 мая 2021 г.), Данные и коды для «Байесовского подхода к реологическим неопределенностям крови в аортальной гемодинамике», номер документа : 10.5281/zenodo.5237189 , получено 12 января 2022 г.
13. Жолен, Л.; Киффер, М.; Дидрит, О.; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ . Спрингер. ISBN 1-85233-219-0.
14. Арнаут, Л.Р. Неопределенность измерений в реверберационных камерах - I. Примеры статистики. Технический отчет TQE 2, 2-й. ред., с. 3.1, Национальная физическая лаборатория, 2008.
15. Марк К. Кеннеди, Энтони О'Хаган, Дополнительные сведения о байесовской калибровке компьютерных моделей , Шеффилд, Университет Шеффилда: 1–13, 2000
16. Баярри, MJ ; Бергер, Дж.О.; Лю, Ф. (01 марта 2009 г.). «Модуляризация в байесовском анализе с упором на анализ компьютерных моделей». Байесовский анализ . Институт математической статистики. 4 (1): 119–150. дои : 10.1214/09-ba404 . ISSN  1936-0975.
17. Арендт, Пол Д.; Апли, Дэниел В.; Чен, Вэй ; Лэмб, Дэвид; Горсич, Дэвид (28 сентября 2012 г.). «Улучшение идентификации при калибровке модели с использованием множественных ответов». Журнал механического дизайна . АСМЭ Интернешнл. 134 (10): 100909. дои : 10.1115/1.4007573. ISSN  1050-0472.
18. Карденас, IC (2019). «Об использовании байесовских сетей в качестве подхода к метамоделированию для анализа неопределенностей при анализе устойчивости склонов». Геориск: оценка и управление рисками для инженерных систем и опасных геологических процессов . 13 (1): 53–65. Бибкод : 2019GAMRE..13...53C. дои : 10.1080/17499518.2018.1498524. S2CID  216590427.
19. ван ден Эйнден, AP; Швекендик, Т; Хикс, Массачусетс (2021). «Метамоделирование для анализа геотехнической надежности с использованием зашумленных и неполных моделей». Геориск: оценка и управление рисками для инженерных систем и опасных геологических процессов . 16 (3): 518–535. дои : 10.1080/17499518.2021.1952611 . S2CID  238819106.
20. Карденас, И.; Авен, Т.; Флагж, Р. (2022). «Решение проблем количественной оценки неопределенности. Случай оценки геологических опасностей». Геосци. Модель Дев. Обсуждать . 16 (6): 1601–1615. doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . HDL : 11250/3105739 .
21. Карденас, И.; Авен, Т.; Флагж, Р. (2022). «Решение проблем количественной оценки неопределенности. Случай оценки геологических опасностей». Геосци. Модель Дев. Обсуждать . 16 (6): 1601–1615. doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . HDL : 11250/3105739 .