Замороженная орбита

Орбита, на которой естественный дрейф сведен к минимуму

В орбитальной механике замороженная орбита — это орбита искусственного спутника , возмущения в которой сведены к минимуму путем тщательного выбора параметров орбиты . Возмущения могут быть результатом естественного дрейфа из-за формы центрального тела или других факторов. Как правило, высота спутника на замороженной орбите остается постоянной в одной и той же точке на каждом обороте в течение длительного периода времени. ^[1] Изменения наклона , положения апсиды орбиты и эксцентриситета были сведены к минимуму путем выбора начальных значений таким образом, чтобы их возмущения компенсировались. ^[2] Это приводит к долговременной стабильной орбите, которая сводит к минимуму использование топлива для поддержания станции .

Предыстория и мотивация

Для космических аппаратов на орбите вокруг Земли изменения орбитальных параметров вызваны сплющенностью Земли , гравитационным притяжением Солнца и Луны, давлением солнечного излучения и сопротивлением воздуха . ^[3] Они называются возмущающими силами. Им необходимо противодействовать маневрами, чтобы удерживать космический аппарат на желаемой орбите. Для геостационарного космического аппарата требуются корректирующие маневры порядка 40–50 м/с (89–112 миль/ч) в год, чтобы противодействовать гравитационным силам Солнца и Луны, которые смещают орбитальную плоскость от экваториальной плоскости Земли. ^{[ требуется ссылка ]}

Для солнечно-синхронных космических аппаратов преднамеренное смещение плоскости орбиты (называемое «прецессией») может быть использовано в интересах миссии. Для этих миссий используется близкая к круговой орбита высотой 600–900 км. Соответствующий наклон (97,8–99,0 градусов) ^[4] выбирается таким образом, чтобы прецессия плоскости орбиты была равна скорости движения Земли вокруг Солнца, около 1 градуса в день.

В результате космический аппарат будет проходить над точками на Земле, имеющими одинаковое время суток в течение каждой орбиты. Например, если орбита «квадратна Солнцу», аппарат всегда будет проходить над точками, в которых на северном участке 6 утра, а на южном участке 6 вечера (или наоборот). Это называется орбитой «рассвет-сумерки». В качестве альтернативы, если Солнце находится в плоскости орбиты, аппарат всегда будет проходить над местами, где на северном участке полдень, и местами, где на южном участке полночь (или наоборот). Это называется орбитами «полдень-полночь». Такие орбиты желательны для многих миссий по наблюдению за Землей, таких как погодные, съемочные и картографические.

Возмущающая сила, вызванная сплющенностью Земли, в общем случае будет возмущать не только плоскость орбиты, но и вектор эксцентриситета орбиты. Однако существует почти круговая орбита, для которой нет вековых/длительных периодических возмущений вектора эксцентриситета, а есть только периодические возмущения с периодом, равным орбитальному периоду. Такая орбита тогда является идеально периодической (за исключением прецессии плоскости орбиты) и поэтому называется «замороженной орбитой». Такая орбита часто является предпочтительным выбором для миссии по наблюдению за Землей, где повторные наблюдения одной и той же области Земли должны проводиться при максимально постоянных условиях наблюдения.

Спутники наблюдения за Землей часто работают на солнечно-синхронных замороженных орбитах из-за преимуществ, которые они обеспечивают для наблюдений.

Лунные замороженные орбиты

Низкие орбиты

Изучая множество лунных орбитальных спутников, ученые обнаружили, что большинство низких лунных орбит (LLO) нестабильны. ^[5] Были идентифицированы четыре замороженные лунные орбиты с наклоном 27°, 50°, 76° и 86°. НАСА описало это в 2006 году:

Лунные масконы делают большинство низких лунных орбит нестабильными... Когда спутник проходит на высоте 50 или 60 миль над головой, масконы тянут его вперед, назад, влево, вправо или вниз, точное направление и величина рывка зависят от траектории спутника. При отсутствии каких-либо периодических ускорений от бортовых ракет для коррекции орбиты большинство спутников, выпущенных на низкие лунные орбиты (менее 60 миль или 100 км), в конечном итоге врежутся в Луну. ... [Существует] ряд «замороженных орбит», где космический корабль может оставаться на низкой лунной орбите неопределенно долго. Они происходят под четырьмя наклонами: 27°, 50°, 76° и 86° — последний находится почти над лунными полюсами. Орбита относительно долгоживущего субспутника Аполлона-15 PFS-1 имела наклонение 28°, что оказалось близким к наклонению одной из замороженных орбит, — но менее удачливый PFS-2 имел наклонение орбиты всего 11°. ^[6]

Эллиптические наклонные орбиты

Для лунных орбит с высотами в диапазоне от 500 до 20 000 км (от 310 до 12 430 миль) гравитация Земли приводит к возмущениям орбиты . Работа, опубликованная в 2005 году, показала класс эллиптических наклонных лунных орбит, устойчивых к этому и, таким образом, также замороженных. ^[7]

Классическая теория

Классическая теория замороженных орбит по существу основана на аналитическом анализе возмущений для искусственных спутников Дирка Брауэра, выполненном по контракту с НАСА и опубликованном в 1959 году. ^[8]

Этот анализ можно провести следующим образом:

В статье «Анализ орбитальных возмущений» показано, что вековое возмущение орбитального полюса с точки зрения модели геопотенциала имеет вид ${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$ ${\displaystyle J_{2}\,}$

что можно выразить через орбитальные элементы следующим образом:

Проведя аналогичный анализ для термина (соответствующего тому факту, что Земля имеет слегка грушевидную форму ), получаем ${\displaystyle J_{3}\,}$

что можно выразить через орбитальные элементы как

В той же статье показано, что вековое возмущение компонент вектора эксцентриситета, вызванное : ${\displaystyle J_{2}\,}$

где:

• Первый член представляет собой возмущение вектора эксцентриситета в плоскости, вызванное компонентой возмущающей силы в плоскости
• Второй член представляет собой эффект нового положения восходящего узла в новой орбитальной плоскости, причем орбитальная плоскость возмущена компонентой силы, лежащей вне плоскости

Проводя анализ для члена, получаем для первого члена, т.е. для возмущения вектора эксцентриситета от составляющей силы в плоскости ${\displaystyle J_{3}\,}$

Для наклонов в диапазоне 97,8–99,0 градусов значение, заданное ( 6 ), намного меньше значения, заданного ( 3 ), и его можно игнорировать. Аналогично квадратичные члены компонентов вектора эксцентриситета в ( 8 ) можно игнорировать для почти круговых орбит, т.е. ( 8 ) можно аппроксимировать с помощью ${\displaystyle \Delta \Omega \,}$

Добавление вклада ${\displaystyle J_{3}\,}$ ${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

к ( 7 ) один получает

Теперь разностное уравнение показывает, что вектор эксцентриситета будет описывать окружность с центром в точке ; полярный аргумент вектора эксцентриситета увеличивается с радианами между последовательными орбитами. ${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$ ${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$

Как

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

получаем для полярной орбиты ( ), при этом центр окружности находится в точке , а изменение полярного аргумента составляет 0,00400 радиан на орбиту. ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$ ${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

Последняя цифра означает, что вектор эксцентриситета опишет полную окружность за 1569 орбит. Выбор начального среднего вектора эксцентриситета в качестве среднего вектора эксцентриситета останется постоянным для последовательных орбит, т.е. орбита заморожена, поскольку вековые возмущения члена, заданного ( 7 ), и члена, заданного ( 9 ), взаимно уничтожаются. ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$ ${\displaystyle J_{2}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$

С точки зрения классических орбитальных элементов это означает, что замороженная орбита должна иметь следующие средние элементы:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

Современная теория

Современная теория замороженных орбит основана на алгоритме, представленном в статье Матса Розенгрена 1989 года. ^[9]

Для этого аналитическое выражение ( 7 ) используется для итеративного обновления начального (среднего) вектора эксцентриситета, чтобы получить, что (средний) вектор эксцентриситета через несколько орбит позже, вычисленный точным численным распространением, принимает точно такое же значение. Таким образом, вековое возмущение вектора эксцентриситета, вызванное членом, используется для противодействия всем вековым возмущениям, а не только тем (доминирующим), которые вызваны членом . Одним из таких дополнительных вековых возмущений, которые таким образом могут быть скомпенсированы, является возмущение, вызванное давлением солнечного излучения , это возмущение обсуждается в статье " Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) ". ${\displaystyle J_{2}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$

Применяя этот алгоритм для случая, рассмотренного выше, т.е. полярной орбиты ( ) с игнорированием всех возмущающих сил, кроме и сил для численного распространения, получаем точно такой же оптимальный средний вектор эксцентриситета, как и в «классической теории», т.е. . ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$ ${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ ${\displaystyle J_{2}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$ ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

Если мы также включим силы, обусловленные высшими зональными членами, оптимальное значение изменится на . ${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$

Если дополнительно предположить разумное солнечное давление («площадь поперечного сечения» 0,05 м ² /кг , направление на солнце в направлении восходящего узла), то оптимальное значение для среднего вектора эксцентриситета становится равным , что соответствует: , т.е. оптимальное значение больше не равно. ${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$

Этот алгоритм реализован в программном обеспечении управления орбитой, используемом для спутников наблюдения Земли ERS-1, ERS-2 и Envisat.

Вывод выражений замкнутой формы дляДж.3возмущение

Основная возмущающая сила, которую необходимо устранить, чтобы иметь замороженную орбиту, — это « сила», т. е. гравитационная сила, вызванная несовершенной симметрией север-юг Земли, и «классическая теория» основана на выражении в замкнутой форме для этого « возмущения». В «современной теории» это явное выражение в замкнутой форме напрямую не используется, но его, безусловно, все еще стоит ^{[ для кого? ]} вывести. Вывод этого выражения можно сделать следующим образом: ${\displaystyle J_{3}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$

Потенциал из зонального члена вращательно симметричен вокруг полярной оси Земли, а соответствующая сила полностью находится в продольной плоскости с одним компонентом в радиальном направлении и одним компонентом с единичным вектором, ортогональным радиальному направлению на север. Эти направления и показаны на рисунке 1. ${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$

Рисунок 1: Единичные векторы ${\displaystyle {\hat {\phi }},\ {\hat {\lambda }},\ {\hat {r}}}$

В статье Геопотенциальная модель показано, что эти компоненты силы, вызванные членом, являются ${\displaystyle J_{3}\,}$

Чтобы иметь возможность применять соотношения, полученные в статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат), компонент силы должен быть разделен на два ортогональных компонента , как показано на рисунке 2. ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$ ${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$

Рисунок 2: Единичный вектор, ортогональный в направлении движения и полюсу орбиты . Компонента силы обозначена как "F" ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$

Составим прямоугольную систему координат с началом в центре Земли (в центре референц -эллипсоида ) так, чтобы точки были направлены на север, а точки находились в экваториальной плоскости Земли и были направлены к восходящему узлу , т.е. к синей точке на рисунке 2. ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {a}}\,}$

Компоненты единичных векторов

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

составляющие локальную систему координат (которые показаны на рисунке 2) и выражающие их связь с , следующие: ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$ ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

где - полярный аргумент относительно ортогональных единичных векторов и в плоскости орбиты ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$

Во-первых

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

где - угол между плоскостью экватора и (между зелеными точками на рисунке 2) и из уравнения (12) статьи Модель геопотенциала , следовательно, получаем ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$

Во-вторых, проекция направления на север, на плоскость, охватываемую ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

и эта проекция

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

где — единичный вектор , ортогональный радиальному направлению на север, показанному на рисунке 1. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$

Из уравнения ( 11 ) видно, что

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

и поэтому:

В статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) далее показано, что вековое возмущение орбитального полюса равно ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

Вводя выражение для ( 14 ) в ( 15 ), получаем ${\displaystyle F_{z}\,}$

Дробь равна ${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

где

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

— компоненты вектора эксцентриситета в системе координат. ${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$

Так как все интегралы типа

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

равны нулю, если не оба и четные, мы видим, что ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle m\,}$

и

Из этого следует, что

где

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$и являются базовыми векторами прямоугольной системы координат в плоскости опорной кеплеровской орбиты с в экваториальной плоскости в направлении восходящего узла и является полярным аргументом относительно этой экваториальной системы координат ${\displaystyle {\hat {h}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {g}}\,}$ ${\displaystyle u\,}$

${\displaystyle f_{z}\,}$это составляющая силы (на единицу массы) в направлении полюса орбиты ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

В статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) показано, что вековое возмущение вектора эксцентриситета равно

где

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$это обычная локальная система координат с единичным вектором, направленным от Земли ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$- составляющая скорости в направлении ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$- составляющая скорости в направлении ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

Вводя выражение для ( 12 ) и ( 13 ) в ( 20 ), получаем ${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$

Используя это

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

Приведенный выше интеграл можно разбить на 8 членов:

При условии

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

мы получаем

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

и что все интегралы типа

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

равны нулю, если не оба и четны: ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle m\,}$

Срок 1

2-й срок

3-й срок

Срок 4

5-й семестр

6-й семестр

Семестр 7

8-й срок

Как

Из этого следует, что

Ссылки

1. Eagle, C. David. "Frozen Orbit Design" (PDF) . Orbital Mechanics with Numerit . Архивировано из оригинала (PDF) 21 ноября 2011 г. . Получено 5 апреля 2012 г. .
2. Чоботов, Владимир А. (2002). Орбитальная механика (3-е изд.). Американский институт аэронавтики и астронавтики . стр. 221.
3. Лей, Уилфрид; Виттманн, Клаус; Вилли, Холлманн (2019). Handbuch der Raumfahrt (5-е изд.). Карл Хансер Верлаг Мюнхен. п. 109. ИСБН 978-3-446-45429-3.
4. Лей, Уилфрид; Виттманн, Клаус; Халлманн, Вилли. Handbuch der Raumfahrttechnik (5-е изд.). Карл Хансер Верлаг Мюнхен. п. 560.
5. Замороженные орбиты вокруг Луны. 2003
6. Белл, Труди Э. (6 ноября 2006 г.). Филлипс, Тони (ред.). «Странные лунные орбиты». Science@NASA . NASA . Архивировано из оригинала 2021-12-04 . Получено 2017-09-08 .
7. Эли, Тодд (июль 2005 г.). «Стабильные созвездия замороженных эллиптических наклонных лунных орбит». Журнал астронавтических наук . 53 (3): 301–316. Bibcode : 2005JAnSc..53..301E. doi : 10.1007/BF03546355.
8. Дирк Брауэр: «Решение проблемы искусственного спутника без сопротивления», Astronomical Journal , 64 (1959)
9. Mats Rosengren (1989). "Улучшенная техника пассивного управления эксцентриситетом (AAS 89-155)". Достижения в астронавтических науках . Том 69. AAS/NASA. Bibcode : 1989ommd.proc...49R.

Дальнейшее чтение

• ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАМОРОЖЕННОЙ ОРБИТЫ. включая атмосферное сопротивление и члены J ₅