Устранимая особенность

Неопределенная точка голоморфной функции, которую можно сделать регулярной

График параболы с устранимой особенностью в точке x = 2

В комплексном анализе устранимая особенность голоморфной функции — это точка, в которой функция не определена , но можно переопределить функцию в этой точке таким образом, чтобы результирующая функция была регулярной в окрестности этой точки.

Например, (ненормализованная) функция sinc , определенная формулой

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

имеет особенность в точке z = 0 . Эту особенность можно устранить, определив, что является пределом функции sinc при стремлении z к 0. Полученная функция голоморфна. В данном случае проблема была вызвана тем, что sinc была придана неопределенная форма . Разложение в степенной ряд вокруг особой точки показывает, что ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1,}$ ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Формально, если - открытое подмножество комплексной плоскости , точка и - голоморфная функция , то называется устранимой особенностью , если существует голоморфная функция , совпадающая с на . Мы говорим, что оно голоморфно расширяемо, если такое существует. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$

Теорема Римана

Теорема Римана об устранимых особенностях такова:

Теорема. Пусть  —  открытое подмножество комплексной плоскости, точка и голоморфная функция, определенная на множестве . Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

1. ${\displaystyle f}$голоморфно продолжаема по . ${\displaystyle a}$
2. ${\displaystyle f}$непрерывно продолжается по . ${\displaystyle a}$
3. Существует окрестность , на которой ограничено . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
4. ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$.

Импликации 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 тривиальны. Чтобы доказать 4 ⇒ 1, сначала напомним, что голоморфность функции at эквивалентна тому, что она аналитична в точке ( доказательство ), т. е. имеет представление в степенном ряду. Определять ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Очевидно, h голоморфен на и существует ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

на 4, следовательно, h голоморфен на D и имеет ряд Тейлора относительно a :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Имеем c ₀ = h ( a ) = 0 и c ₁ = h ' ( a ) = 0; поэтому

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Следовательно, где имеем: ${\displaystyle z\neq a}$

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

Однако,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

голоморфен на D и, таким образом, является расширением . ${\displaystyle f}$

Другие виды особенностей

В отличие от функций действительной переменной, голоморфные функции достаточно жесткие, поэтому их изолированные особенности можно полностью классифицировать. Особенность голоморфной функции либо вообще не является особенностью, т. е. устранимой особенностью, либо относится к одному из следующих двух типов:

1. В свете теоремы Римана, учитывая неустранимую особенность, можно было бы задаться вопросом, существует ли натуральное число такое, что . Если это так, то называется полюсом и наименьшим является порядок . Таким образом, устранимые особенности — это в точности полюсы нулевого порядка. Голоморфная функция равномерно разрушается вблизи остальных своих полюсов. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$
2. Если изолированная особенность не является ни устранимой, ни полюсом, то она называется существенной особенностью . Великая теорема Пикара показывает, что такая система отображает каждую проколотую открытую окрестность на всю комплексную плоскость, за исключением, возможно, не более одной точки. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

Смотрите также

• Аналитический потенциал
• Устранимый разрыв

Внешние ссылки

• Съемная особая точка в Математической энциклопедии