Топология схемы электронной схемы — это форма, которую принимает сеть взаимосвязей компонентов схемы. Различные конкретные значения или рейтинги компонентов рассматриваются как одна и та же топология. Топология не связана ни с физической компоновкой компонентов в схеме, ни с их положением на схеме цепи ; подобно математической концепции топологии , она связана только с тем, какие соединения существуют между компонентами. Многочисленные физические компоновки и схемы цепей могут все совпадать с одной и той же топологией.
Строго говоря, замена компонента на компонент совершенно другого типа по-прежнему является той же топологией. Однако в некоторых контекстах их можно приблизительно описать как разные топологии. Например, перестановка индуктивностей и конденсаторов в фильтре нижних частот приводит к получению фильтра верхних частот . Их можно описать как топологии верхних и нижних частот, даже если топология сети идентична. Более правильным термином для этих классов объектов (то есть сети, в которой указан тип компонента, но не абсолютное значение) является прототипная сеть .
Топология электронной сети связана с математической топологией . В частности, для сетей, содержащих только двухполюсные устройства, топологию схемы можно рассматривать как приложение теории графов . При сетевом анализе такой схемы с топологической точки зрения узлы сети являются вершинами теории графов, а ветви сети являются ребрами теории графов.
Стандартную теорию графов можно расширить для работы с активными компонентами и многотерминальными устройствами, такими как интегральные схемы . Графы также можно использовать при анализе бесконечных сетей.
Схемы цепей в этой статье следуют обычным соглашениям в электронике; [1] линии представляют проводники , заполненные маленькие кружки представляют соединения проводников, а открытые маленькие кружки представляют клеммы для подключения к внешнему миру. В большинстве случаев импедансы представлены прямоугольниками. Практическая схема цепи будет использовать специальные символы для резисторов , индукторов , конденсаторов и т. д., но топология не связана с типом компонента в сети, поэтому вместо этого был использован символ для общего импеданса .
Раздел «Теория графов» данной статьи предлагает альтернативный метод представления сетей.
Многие названия топологий связаны с их внешним видом при изображении в виде диаграммы. Большинство схем можно нарисовать разными способами и, следовательно, иметь разные названия. Например, три схемы, показанные на рисунке 1.1, выглядят по-разному, но имеют одинаковую топологию. [2]
Этот пример также демонстрирует общее соглашение именовать топологии по букве алфавита, с которой они имеют сходство. Буквы греческого алфавита также могут использоваться таким образом, например, топология Π ( пи ) и топология Δ ( дельта ).
Сеть с двумя компонентами или ветвями имеет только две возможные топологии: последовательную и параллельную .
Даже для этих простейших топологий схема может быть представлена различными способами.
Сеть с тремя ветвями имеет четыре возможные топологии.
Обратите внимание, что параллельно-последовательная топология является еще одним представлением топологии «Дельта», обсуждаемой далее.
Последовательные и параллельные топологии могут продолжать строиться с большим и большим числом ветвей до бесконечности . Число уникальных топологий, которые могут быть получены из последовательных или параллельных ветвей, составляет 1, 2, 4, 10, 24, 66, 180, 522, 1532, 4624 (последовательность A000084 в OEIS ). [3] [4]
Y и Δ являются важными топологиями в линейном сетевом анализе, поскольку они являются простейшими возможными трехполюсными сетями. Преобразование Y-Δ доступно для линейных цепей. Это преобразование важно, поскольку некоторые сети не могут быть проанализированы в терминах последовательных и параллельных комбинаций. Эти сети часто возникают в трехфазных силовых цепях, поскольку они являются двумя наиболее распространенными топологиями для трехфазных обмоток двигателя или трансформатора.
Примером этого является сеть на рисунке 1.6, состоящая из сети Y, соединенной параллельно с сетью Δ. Допустим, требуется вычислить импеданс между двумя узлами сети. Во многих сетях это можно сделать путем последовательного применения правил для комбинирования последовательных или параллельных импедансов. Однако это невозможно в данном случае, когда преобразование Y-Δ необходимо в дополнение к правилам последовательного и параллельного соединения. [5] Топология Y также называется топологией звезды. Однако топология звезды может также относиться к более общему случаю многих ветвей, соединенных с одним и тем же узлом, а не только с тремя. [6]
Топологии, показанные на рисунке 1.7, обычно используются для проектирования фильтров и аттенюаторов . Топология L-образного сечения идентична топологии делителя потенциала. Топология T-образного сечения идентична топологии Y. Топология Π-образного сечения идентична топологии Δ.
Все эти топологии можно рассматривать как короткий раздел топологии лестницы . Более длинные разделы обычно описываются как топология лестницы. Эти типы цепей обычно анализируются и характеризуются в терминах двухпортовой сети . [7]
Мостовая топология — важная топология, имеющая множество применений как в линейных, так и в нелинейных приложениях, включая, среди прочего, мостовой выпрямитель , мост Уитстона и решеточный фазовый уравнитель . Мостовая топология отображается на принципиальных схемах несколькими способами. Первая визуализация на рисунке 1.8 — это традиционное изображение мостовой схемы. Вторая визуализация ясно показывает эквивалентность между мостовой топологией и топологией, полученной с помощью последовательных и параллельных комбинаций. Третья визуализация более известна как решетчатая топология. Не так очевидно, что это топологически эквивалентно. Можно увидеть, что это действительно так, визуализируя верхний левый узел, перемещенный вправо от верхнего правого узла.
Обычно топологию сетевого моста называют только в том случае, если она используется как двухпортовая сеть с входными и выходными портами, каждый из которых состоит из пары диагонально противоположных узлов. Топология ящика на рисунке 1.7 может быть идентична топологии моста, но в случае фильтра входные и выходные порты представляют собой пару смежных узлов. Иногда компонент загрузки (или нулевой индикации) на выходном порту моста будет включен в топологию моста, как показано на рисунке 1.9. [8]
Топология моста T выводится из топологии моста способом, описанным в статье Zobel network . В той же статье также обсуждаются многие производные топологии.
Существует также топология twin-T, которая имеет практическое применение, когда желательно, чтобы вход и выход имели общую ( заземляющую ) клемму. Это может быть, например, потому, что входные и выходные соединения выполнены с коаксиальной топологией . Подключение входной и выходной клеммы недопустимо при обычной мостовой топологии, поэтому Twin-T используется там, где мост в противном случае использовался бы для приложений баланса или измерения нуля. Топология также используется в генераторе twin-T в качестве генератора синусоидальной волны. Нижняя часть рисунка 1.11 показывает топологию twin-T, перерисованную для подчеркивания соединения с мостовой топологией. [9]
Топология лестничного типа может быть расширена без ограничений и широко используется в конструкциях фильтров. Существует множество вариаций топологии лестничного типа, некоторые из которых обсуждаются в статьях Топология электронного фильтра и Фильтр составного изображения .
Сбалансированную форму топологии лестницы можно рассматривать как график стороны призмы произвольного порядка. Сторона антипризмы образует топологию, которая в этом смысле является анти-лестницей. Топология анти-лестницы находит применение в схемах умножителей напряжения , в частности, в генераторе Кокрофта-Уолтона . Существует также двухполупериодная версия генератора Кокрофта-Уолтона, которая использует топологию двойной анти-лестницы. [10]
Бесконечные топологии также могут быть сформированы путем каскадирования нескольких секций некоторой другой простой топологии, такой как решетчатые или мостовые Т-образные секции. Такие бесконечные цепочки решетчатых секций встречаются в теоретическом анализе и искусственном моделировании линий передачи , но редко используются в качестве практической реализации схемы. [11]
Схемы, содержащие компоненты с тремя или более клеммами, значительно увеличивают количество возможных топологий. Наоборот, количество различных схем, представленных топологией, уменьшается, и во многих случаях схема легко узнаваема по топологии, даже если конкретные компоненты не идентифицированы.
В более сложных схемах описание может осуществляться путем спецификации передаточной функции между портами сети, а не топологии компонентов. [12]
Теория графов — это раздел математики, занимающийся графами . В сетевом анализе графы широко используются для представления анализируемой сети. Граф сети охватывает только определенные аспекты сети: аспекты, связанные с ее связностью, или, другими словами, ее топологией. Это может быть полезным представлением и обобщением сети, поскольку многие сетевые уравнения инвариантны для сетей с одинаковой топологией. Сюда входят уравнения, выведенные из законов Кирхгофа и теоремы Теллегена . [13]
Теория графов использовалась в сетевом анализе линейных пассивных сетей почти с того момента, как были сформулированы законы Кирхгофа. Сам Густав Кирхгоф в 1847 году использовал графы как абстрактное представление сети в своем петлевом анализе резистивных цепей. [14] Этот подход был позже обобщен на RLC-цепи, заменив сопротивления импедансами. В 1873 году Джеймс Клерк Максвелл предоставил двойственный этому анализу анализ узлов. [15] [16] Максвелл также ответственен за топологическую теорему о том, что определитель матрицы проводимости узлов равен сумме всех произведений проводимости дерева. В 1900 году Анри Пуанкаре представил идею представления графа его матрицей инцидентности , [17] тем самым основав область алгебраической топологии . В 1916 году Освальд Веблен применил алгебраическую топологию Пуанкаре к анализу Кирхгофа. [18] Веблен также отвечает за введение связующего дерева , помогающего выбирать совместимый набор сетевых переменных. [19]
Всесторонняя каталогизация сетевых графиков, применяемых к электрическим цепям, началась с Перси Макмахона в 1891 году (со статьи в The Electrician , удобной для инженеров , в 1892 году), который ограничил свой обзор последовательными и параллельными комбинациями. Макмахон назвал эти графики ярмовыми цепями. [примечание 1] Рональд М. Фостер в 1932 году классифицировал графики по их нулевому значению или рангу и предоставил диаграммы всех тех, у которых было небольшое количество узлов. Эта работа выросла из более раннего обзора Фостера, проведенного им в сотрудничестве с Джорджем Кэмпбеллом в 1920 году по 4-портовым телефонным ретрансляторам, и создала 83 539 различных графиков. [20]
Долгое время топология в теории электрических цепей оставалась связанной только с линейными пассивными сетями. Более поздние разработки полупроводниковых приборов и цепей потребовали новых инструментов в топологии для работы с ними. Огромное увеличение сложности цепей привело к использованию комбинаторики в теории графов для повышения эффективности компьютерных вычислений. [19]
Сети обычно классифицируются по типу электрических элементов , из которых они состоят. На принципиальной схеме эти типы элементов специально нарисованы, каждый со своим уникальным символом. Резистивные сети являются сетями с одним элементом, состоящими только из R- элементов. Аналогично емкостные или индуктивные сети являются сетями с одним элементом. Цепи RC , RL и LC являются простыми сетями с двумя элементами. Цепь RLC является простейшей сетью с тремя элементами. Лестничная сеть LC , обычно используемая для фильтров нижних частот, может иметь много элементов, но является еще одним примером сети с двумя элементами. [21]
Наоборот, топология занимается только геометрическими отношениями между элементами сети, а не видом самих элементов. Сердцем топологического представления сети является граф сети . Элементы представлены в виде ребер графа. Ребро рисуется в виде линии, заканчивающейся точками или маленькими окружностями, из которых могут исходить другие ребра (элементы). В анализе цепей ребра графа называются ветвями . Точки называются вершинами графа и представляют собой узлы сети. Узел и вершина — это термины, которые можно использовать взаимозаменяемо при обсуждении графов сетей. На рисунке 2.2 показано графическое представление схемы на рисунке 2.1. [22]
Графы, используемые в сетевом анализе, обычно, кроме того, являются как направленными графами , чтобы зафиксировать направление тока и напряжения, так и маркированными графами , чтобы зафиксировать уникальность ветвей и узлов. Например, граф, состоящий из квадрата ветвей, все равно будет тем же топологическим графом, если две ветви поменять местами, если ветви не имеют уникальной маркировки. В направленных графах два узла, с которыми соединяется ветвь, обозначаются как исходный и целевой узлы. Обычно они обозначаются стрелкой, нарисованной на ветви. [23]
Инцидентность — одно из основных свойств графа. Ребро, соединенное с вершиной, называется инцидентным этой вершине. Инцидентность графа можно зафиксировать в матричном формате с помощью матрицы, называемой матрицей инцидентности. Фактически, матрица инцидентности — это альтернативное математическое представление графа, которое избавляет от необходимости какого-либо рисунка. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы матрицы — ветвям. Элементы матрицы равны либо нулю, при отсутствии инцидентности, либо единице, при инцидентности между узлом и ветвью. Направление в направленных графах указывается знаком элемента. [19] [24]
Графы эквивалентны, если один может быть преобразован в другой путем деформации. Деформация может включать операции переноса , вращения и отражения ; сгибания и растяжения ветвей; и пересечения или завязывания ветвей. Два графа, которые эквивалентны путем деформации, называются конгруэнтными . [25]
В области электрических сетей два дополнительных преобразования считаются результатом эквивалентных графов, которые не производят конгруэнтных графов. Первое из них — это перестановка последовательно соединенных ветвей. Это двойственное перестановке параллельно соединенных ветвей, которая может быть достигнута деформацией без необходимости в специальном правиле. Второе касается графов, разделенных на две или более отдельных частей , то есть графа с двумя наборами узлов, которые не имеют ветвей, инцидентных узлу в каждом наборе. Две такие отдельные части считаются эквивалентным графом тому, где части соединены путем объединения узла из каждой в один узел. Аналогично, граф, который можно разделить на две отдельные части путем разделения узла на два, также считается эквивалентным. [26]
Дерево — это граф, в котором все узлы соединены, напрямую или косвенно, ветвями, но без образования замкнутых контуров. Поскольку замкнутых контуров нет, в дереве нет токов. В сетевом анализе нас интересуют остовные деревья , то есть деревья, которые соединяют каждый узел в графе сети. В этой статье остовное дерево подразумевается как неквалифицированное дерево, если не указано иное. Данный сетевой граф может содержать несколько различных деревьев. Ветви, удаленные из графа для формирования дерева, называются связями ; ветви, оставшиеся в дереве, называются ветками . Для графа с n узлами количество ветвей в каждом дереве, t , должно быть:
Важным соотношением для анализа цепей является:
где b — количество ветвей в графе, а ℓ — количество связей, удаленных для формирования дерева. [27]
Целью анализа схемы является определение всех токов и напряжений ветвей в сети. Эти сетевые переменные не все независимы. Напряжения ветвей связаны с токами ветвей передаточной функцией элементов , из которых они состоят. Полное решение сети, следовательно, может быть либо в терминах токов ветвей, либо только напряжений ветвей. Не все токи ветвей независимы друг от друга. Минимальное количество токов ветвей, требуемое для полного решения, равно l . Это является следствием того факта, что дерево имеет l удаленных связей, и в дереве не может быть токов. Поскольку оставшиеся ветви дерева имеют нулевой ток, они не могут быть независимыми от токов связей. Токи ветвей, выбранные в качестве набора независимых переменных, должны быть набором, связанным со связями дерева: нельзя произвольно выбирать любые l ветвей. [28]
В терминах напряжений ветвей полное решение сети может быть получено с t напряжениями ветвей. Это является следствием того факта, что закорачивание всех ветвей дерева приводит к тому, что напряжение везде равно нулю. Следовательно, напряжения связей не могут быть независимыми от напряжений ветвей дерева. [29]
Обычный подход к анализу заключается в решении для токов контура , а не для токов ветвей. Затем токи ветвей находятся в терминах токов контура. Опять же, набор токов контура не может быть выбран произвольно. Чтобы гарантировать набор независимых переменных, токи контура должны быть связаны с определенным набором контуров. Этот набор контуров состоит из тех контуров, которые образованы путем замены одного звена заданного дерева графика анализируемой схемы. Поскольку замена одного звена в дереве образует ровно один уникальный контур, количество токов контура, определенных таким образом, равно l . Термин контур в этом контексте не совпадает с обычным значением цикла в теории графов. Набор ветвей, образующих заданный контур, называется набором связей . [примечание 2] Набор уравнений сети формируется путем приравнивания токов контура к алгебраической сумме токов ветвей набора связей. [30]
Можно выбрать набор независимых контурных токов без ссылки на деревья и наборы связей. Достаточным, но не необходимым условием для выбора набора независимых контуров является обеспечение того, чтобы каждый выбранный контур включал по крайней мере одну ветвь, которая ранее не была включена в уже выбранные контуры. Особенно простым выбором является тот, который используется в сеточном анализе , в котором все контуры выбираются как сетки. [примечание 3] Сетчатый анализ может быть применен только в том случае, если возможно отобразить граф на плоскость или сферу без пересечения каких-либо ветвей. Такие графы называются планарными графами . Возможность отображения на плоскость или сферу являются эквивалентными условиями. Любой конечный граф, отображенный на плоскость, может быть сжат до тех пор, пока он не отобразится на небольшую область сферы. И наоборот, сетка любого графа, отображенного на сферу, может быть растянута до тех пор, пока пространство внутри нее не займет почти всю сферу. Тогда весь граф займет только небольшую область сферы. Это то же самое, что и в первом случае, поэтому граф также будет отображаться на плоскость. [31]
Существует подход к выбору сетевых переменных с напряжениями, который аналогичен и двойственен методу контурного тока. Здесь напряжение, связанное с парами узлов, является первичными переменными, а напряжения ветвей находятся в их терминах. В этом методе также необходимо выбрать определенное дерево графа, чтобы гарантировать, что все переменные являются независимыми. Двойственным для набора связей является набор разрезов . Набор связей формируется путем разрешения всем, кроме одной, связям графа быть разомкнутыми. Набор разрезов формируется путем разрешения всем, кроме одной, ветвям дерева быть короткозамкнутыми. Набор разрезов состоит из ветви дерева, которая не была короткозамкнута, и любых связей, которые не были короткозамкнуты другими ветвями дерева. Набор разрезов графа создает два непересекающихся подграфа , то есть он разрезает граф на две части и является минимальным набором ветвей, необходимых для этого. Набор сетевых уравнений формируется путем приравнивания напряжений пар узлов к алгебраической сумме напряжений ветвей набора разрезов. [32] Двойственным частным случаем анализа сетки является узловой анализ . [33]
Недействительность N графа с s отдельными частями и b ветвями определяется следующим образом:
Нулевость графа представляет собой число степеней свободы его набора сетевых уравнений. Для плоского графа нулевость равна числу ячеек в графе. [34]
Ранг R графа определяется следующим образом:
Ранг играет ту же роль в узловом анализе, что и нуль в сеточном анализе. То есть, он дает количество требуемых уравнений напряжения узла. Ранг и нуль — это двойственные концепции, которые связаны следующим образом: [35]
После выбора набора геометрически независимых переменных состояние сети выражается через них. Результатом является набор независимых линейных уравнений, которые необходимо решить одновременно , чтобы найти значения сетевых переменных. Этот набор уравнений может быть выражен в матричном формате, что приводит к характеристической матрице параметров для сети. Матрицы параметров принимают форму матрицы импеданса , если уравнения были сформированы на основе анализа контуров, или матрицы проводимости, если уравнения были сформированы на основе анализа узлов. [36]
Эти уравнения можно решить несколькими известными способами. Один из методов — систематическое исключение переменных . [37] Другой метод предполагает использование определителей . Это известно как правило Крамера и обеспечивает прямое выражение для неизвестной переменной в терминах определителей. Это полезно тем, что обеспечивает компактное выражение для решения. Однако для чего-либо большего, чем самые тривиальные сети, для этого метода требуются большие вычислительные усилия при работе вручную. [38]
Два графа являются дуальными, когда отношение между ветвями и парами узлов в одном из них такое же, как отношение между ветвями и петлями в другом. Дуальный граф может быть найден полностью графическим методом . [39]
Двойственный графу графа — это другой граф. Для данного дерева в графе дополнительный набор ветвей (т. е. ветви, не входящие в дерево) образуют дерево в двойственном графе. Набор уравнений контура тока, связанный с наборами связей исходного графа и дерева, идентичен набору уравнений пары узлов напряжения, связанному с наборами разрезов двойственного графа. [40]
В следующей таблице перечислены двойственные концепции топологии, связанные с теорией цепей. [41]
Двойник дерева иногда называют лабиринтом . [примечание 4] Он состоит из пространств, соединенных связями, таким же образом, как дерево состоит из узлов, соединенных ветвями дерева. [42]
Дуальные графы не могут быть сформированы для каждого графа. Дуальность требует, чтобы каждый набор связей имел дуальный набор разрезов в дуальном графе. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда граф отображается на сферу без пересечения ветвей. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что набор связей требуется для «связывания» графа на две части, а его дуальный, набор разрезов, требуется для разрезания графа на две части. Граф конечной сети, который не будет отображаться на сфере, потребует n -кратного тора . Набор связей, который проходит через отверстие в торе, не сможет связать граф на две части. Следовательно, дуальный граф не будет разрезан на две части и не будет содержать требуемый набор разрезов. Следовательно, только планарные графы имеют дуальные графы. [43]
Дуалы также не могут быть сформированы для сетей, содержащих взаимные индуктивности , поскольку нет соответствующего емкостного элемента. Эквивалентные схемы могут быть разработаны, которые имеют дуалы, но дуал не может быть сформирован из взаимной индуктивности напрямую. [44]
Операции над набором сетевых уравнений имеют топологическое значение, которое может помочь визуализировать происходящее. Исключение напряжения узла из набора сетевых уравнений топологически соответствует исключению этого узла из графика. Для узла, соединенного с тремя другими узлами, это соответствует хорошо известному преобразованию Y-Δ . Преобразование может быть расширено на большее количество соединенных узлов и тогда известно как преобразование «звезда-сетка» . [45]
Обратным к этому преобразованию является преобразование Δ-Y, которое аналитически соответствует устранению тока сетки и топологически соответствует устранению сетки. Однако устранение тока сетки, сетка которой имеет общие ветви с произвольным числом других сеток, в общем случае не приведет к реализуемому графу. Это происходит потому, что граф преобразования общей звезды является графом, который не будет отображаться на сфере (он содержит звездные полигоны и, следовательно, множественные кроссоверы). Двойственный такому графу граф не может существовать, но является графом, требуемым для представления обобщенного устранения сетки. [45]
В традиционном графическом представлении цепей нет средств явного представления взаимных индуктивных связей, таких как те, что возникают в трансформаторе , и такие компоненты могут привести к несвязанному графу с более чем одной отдельной частью. Для удобства анализа граф с несколькими частями можно объединить в один граф, объединив один узел в каждой части в один узел. Это не влияет на теоретическое поведение схемы, поэтому проведенный на ней анализ по-прежнему действителен. Однако это имело бы практическое значение, если бы схема была реализована таким образом, поскольку это разрушило бы изоляцию между частями. Примером может служить трансформатор, заземленный как на первичной, так и на вторичной стороне. Трансформатор по-прежнему функционирует как трансформатор с тем же коэффициентом напряжения, но теперь его больше нельзя использовать в качестве изолирующего трансформатора . [46]
Более поздние методы в теории графов способны работать с активными компонентами, которые также проблематичны в обычной теории. Эти новые методы также способны работать с взаимными связями. [47]
Существует два основных подхода к работе со взаимными связями и активными компонентами. В первом из них Сэмюэл Джефферсон Мейсон в 1953 году представил графы потоков сигналов . [48] Графы потоков сигналов являются взвешенными, направленными графами. Он использовал их для анализа схем, содержащих взаимные связи и активные сети. Вес направленного ребра в этих графах представляет собой усиление, например, которым обладает усилитель. В общем случае графы потоков сигналов, в отличие от обычных направленных графов, описанных выше, не соответствуют топологии физического расположения компонентов. [47]
Второй подход заключается в расширении классического метода таким образом, чтобы он включал взаимные связи и активные компоненты. Для достижения этого было предложено несколько методов. В одном из них строятся два графика, один из которых представляет токи в цепи, а другой — напряжения. Пассивные компоненты будут иметь идентичные ветви в обоих деревьях, но активные компоненты могут не иметь. Метод основан на определении связующих деревьев, которые являются общими для обоих графов. Альтернативный метод расширения классического подхода, который требует только одного графа, был предложен Ченом в 1965 году. [примечание 5] Метод Чена основан на корневом дереве . [47]
Другой способ расширения классической теории графов для активных компонентов — использование гиперграфов . Некоторые электронные компоненты не представлены естественным образом с помощью графов. Транзистор имеет три точки соединения, но обычная ветвь графа может соединяться только с двумя узлами. Современные интегральные схемы имеют гораздо больше соединений, чем это. Эту проблему можно преодолеть, используя гиперграфы вместо обычных графов. [49]
В обычном представлении компоненты представлены ребрами, каждое из которых соединяется с двумя узлами. В гиперграфе компоненты представлены гиперребрами , которые могут соединяться с произвольным количеством узлов. Гиперребра имеют щупальца , которые соединяют гиперребро с узлами. Графическое представление гиперребра может быть представлено в виде коробки (по сравнению с ребром, которое является линией), а представления его щупалец — это линии от коробки к соединенным узлам. В направленном гиперграфе щупальца несут метки, которые определяются меткой гиперребра. Обычный направленный граф можно рассматривать как гиперграф с гиперребрами, каждое из которых имеет два щупальца. Эти два щупальца помечены как источник и цель и обычно обозначены стрелкой. В общем гиперграфе с большим количеством щупалец потребуется более сложная маркировка. [50]
Гиперграфы можно охарактеризовать с помощью их матриц инцидентности. Регулярный граф, содержащий только двухтерминальные компоненты, будет иметь ровно два ненулевых элемента в каждой строке. Любая матрица инцидентности с более чем двумя ненулевыми элементами в любой строке является представлением гиперграфа. Количество ненулевых элементов в строке является рангом соответствующей ветви, а наивысший ранг ветви является рангом матрицы инцидентности. [51]
Классический сетевой анализ разрабатывает набор сетевых уравнений, сетевые переменные которых однородны либо по току (анализ контура), либо по напряжению (анализ узла). Найденный таким образом набор сетевых переменных не обязательно является минимально необходимым для формирования набора независимых уравнений. Может быть разница между количеством переменных в анализе контура и анализе узла. В некоторых случаях минимально возможное число может быть меньше любого из них, если требование однородности смягчено и допускается сочетание переменных тока и напряжения. Результат Киши и Катаджини в 1967 году [примечание 6] заключается в том, что абсолютное минимальное число переменных, требуемых для описания поведения сети, задается максимальным расстоянием [примечание 7] между любыми двумя охватывающими лесами [примечание 8] сетевого графика. [47]
Теория графов может быть применена к синтезу сетей . Классический синтез сетей реализует требуемую сеть в одной из ряда канонических форм . Примерами канонических форм являются реализация импеданса движущей точки канонической лестничной сетью Кауэра или канонической формой Фостера или реализация иммитанса Брюном из его положительно-действительных функций . Топологические методы, с другой стороны, не начинаются с заданной канонической формы. Скорее, форма является результатом математического представления. Некоторые канонические формы требуют взаимных индуктивностей для своей реализации. Основной целью топологических методов синтеза сетей было устранение необходимости в этих взаимных индуктивностях. Одна теорема, вытекающая из топологии, заключается в том, что реализация импеданса движущей точки без взаимных связей минимальна тогда и только тогда, когда нет полностью индуктивных или полностью конденсаторных контуров. [52]
Теория графов наиболее эффективна в синтезе сетей, когда элементы сети могут быть представлены действительными числами (сети с одним элементом, такие как резистивные сети) или двоичными состояниями (такие как коммутационные сети). [47]
Возможно, самой ранней сетью с бесконечным графом, которую удалось изучить, была лестничная сеть, используемая для представления линий передачи , разработанная в своей окончательной форме Оливером Хевисайдом в 1881 году. Конечно, все ранние исследования бесконечных сетей ограничивались периодическими структурами, такими как лестницы или сетки с теми же элементами, повторяющимися снова и снова. Только в конце 20-го века стали доступны инструменты для анализа бесконечных сетей с произвольной топологией. [53]
Бесконечные сети в основном представляют только теоретический интерес и являются игрушкой математиков. Бесконечные сети, которые не ограничены ограничениями реального мира, могут иметь некоторые очень нефизические свойства. Например, законы Кирхгофа могут быть неверны в некоторых случаях, и можно определить бесконечные резисторные лестницы, которые имеют импеданс точки возбуждения, который зависит от окончания на бесконечности. Другое нефизическое свойство теоретических бесконечных сетей заключается в том, что, в общем, они будут рассеивать бесконечную мощность, если на них не наложены ограничения в дополнение к обычным законам сетей, таким как законы Ома и Кирхгофа. Однако существуют некоторые приложения в реальном мире. Пример линии передачи является одним из класса практических задач, которые могут быть смоделированы бесконечно малыми элементами ( модель распределенных элементов ). Другими примерами являются запуск волн в сплошную среду, проблемы краевого поля и измерение сопротивления между точками подложки или в скважине. [54]
Трансфинитные сети расширяют идею бесконечных сетей еще дальше. Узел на конце бесконечной сети может иметь другую ветвь, соединенную с ним, ведущую к другой сети. Эта новая сеть сама по себе может быть бесконечной. Таким образом, можно построить топологии, которые имеют пары узлов без конечного пути между ними. Такие сети бесконечных сетей называются трансфинитными сетями. [55]
