В теории множеств Ω -логика — это бесконечная логика и дедуктивная система, предложенная У. Хью Вудином (1999) как часть попытки обобщить теорию определенности точечных классов для покрытия структуры . Так же, как аксиома проективной определенности дает каноническую теорию , он стремился найти аксиомы, которые дали бы каноническую теорию для более крупной структуры. Разработанная им теория включает спорный аргумент о том, что гипотеза континуума ложна.
Ω-гипотеза Вудина утверждает, что если существует надлежащий класс кардиналов Вудина (по техническим причинам большинство результатов в теории проще всего сформулировать при этом предположении), то Ω-логика удовлетворяет аналогу теоремы о полноте . Из этой гипотезы можно показать, что если есть какая-либо одна аксиома, которая является всеобъемлющей над (в Ω-логике), она должна подразумевать, что континуум не является . Вудин также выделил конкретную аксиому, вариацию максимума Мартина , которая утверждает, что любое Ω-согласованное (над ) предложение является истинным; эта аксиома подразумевает, что континуум является .
Вудин также связал свою Ω-гипотезу с предложенным абстрактным определением больших кардиналов: он взял «большое кардинальное свойство» как свойство ординалов, которое подразумевает, что α является сильным недостижимым , и которое инвариантно при форсинге множествами кардиналов, меньших α. Тогда Ω-гипотеза подразумевает, что если существуют произвольно большие модели, содержащие большой кардинал, этот факт будет доказуем в Ω-логике.
Теория включает определение Ω-валидности : утверждение является Ω-валидным следствием теории множеств T , если оно выполняется в каждой модели T, имеющей форму для некоторого ординала и некоторого понятия форсинга . Это понятие, очевидно, сохраняется при форсинге, и при наличии надлежащего класса кардиналов Вудина оно также будет инвариантным при форсинге (другими словами, Ω-выполнимость сохраняется и при форсинге). Существует также понятие Ω-доказуемости ; [1] здесь «доказательства» состоят из универсально бэровских множеств и проверяются путем проверки того, что для каждой счетной транзитивной модели теории и каждого понятия форсинга в модели общее расширение модели (вычисленное в V ) содержит «доказательство», ограниченное его собственными вещественными числами. Для множества доказательств A проверяемое здесь условие называется « A -замкнутым». Мера сложности может быть задана для доказательств по их рангам в иерархии Вэджа . Вудин показал, что это понятие «доказуемости» подразумевает Ω-валидность для предложений, которые находятся над V . Ω-гипотеза утверждает, что обратный результат также имеет место. Во всех известных в настоящее время основных моделях известно, что это верно; более того, сила согласованности больших кардиналов соответствует наименьшему рангу доказательства, необходимому для «доказательства» существования кардиналов.
