Омега-категориальная теория

Теория математической логики с единственной счетно бесконечной моделью с точностью до изоморфизма

В математической логике омега -категоричная теория — это теория , которая имеет ровно одну счетно бесконечную модель с точностью до изоморфизма . Омега-категоричность — это частный случай κ =   = ω κ-категоричности , и омега-категоричные теории также называются ω-категоричными . Это понятие наиболее важно для счетных теорий первого порядка . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Эквивалентные условия для омега-категоричности

Многие условия теории эквивалентны свойству омега-категоричности. В 1959 году Эрвин Энгелер , Чеслав Рылль-Нардзевский и Ларс Свенониус независимо доказали несколько из них. ^[1] Несмотря на это, в литературе по-прежнему широко используется теорема Рылля-Нардзевского как название для этих условий. Условия, включенные в теорему, различаются у разных авторов. ^{[2] [3]}

Для счетной полной теории первого порядка T с бесконечными моделями следующие утверждения эквивалентны:

• Теория Т является омега-категоричной.
• Каждая счетная модель T имеет олигоморфную группу автоморфизмов (то есть на M ⁿ существует конечное число орбит для каждого n ).
• Некоторая счетная модель T имеет олигоморфную группу автоморфизмов. ^[4]
• Теория T имеет модель, которая для каждого натурального числа n реализует лишь конечное число n -типов, то есть пространство Стоуна S _n ( T ) конечно.
• Для каждого натурального числа n T имеет лишь конечное число n -типов.
• Для каждого натурального числа n каждый n -тип является изолированным .
• Для каждого натурального числа n с точностью до эквивалентности по модулю T существует лишь конечное число формул с n свободными переменными, другими словами, для каждого n n - я алгебра Линденбаума–Тарского алгебры T конечна .
• Каждая модель T является атомарной .
• Каждая счетная модель T является атомарной.
• Теория T имеет счетную атомарную и насыщенную модель .
• Теория T имеет насыщенную простую модель .

Примеры

Теория любой счетно бесконечной структуры, которая однородна над конечным реляционным языком, является омега-категоричной. ^[5] В более общем смысле, теория предела Фраиса любого равномерно локально конечного класса Фраиса является омега-категоричной. ^[6] Следовательно, следующие теории являются омега-категоричными:

• Теория плотных линейных порядков без конечных точек ( теорема Кантора об изоморфизме )
• Теория графа Радо
• Теория бесконечных линейных пространств над любым конечным полем
• Теория безатомных булевых алгебр

Примечания

1. Рами Гроссберг, Хосе Иовино и Оливье Лессманн, Учебник простых теорий
2. Ходжес, Теория моделей, стр. 341.
3. Ротмалер, стр. 200.
4. Кэмерон (1990) стр.30
5. Макферсон, стр. 1607.
6. Ходжес, Теория моделей, Теория 7.4.1.

Ссылки

• Кэмерон, Питер Дж. (1990), Олигоморфные группы перестановок , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 152, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38836-8, ЗБЛ  0813.20002
• Чан, Чэнь Чанг; Кейслер, Х. Джером (1989) [1973], Теория моделей , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
• Ходжес, Уилфрид (1993), Теория моделей , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая модель теории , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
• Макферсон, Дугалд (2011), «Обзор однородных структур», Дискретная математика , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , MR  2800979
• Пуаза, Бруно (2000), Курс теории моделей: Введение в современную математическую логику , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98655-5
• Ротмалер, Филипп (2000), Введение в теорию моделей , Нью-Йорк: Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-313-9