Актуарное обозначение

Сокращенный метод записи математических формул, которые имеют дело с процентными ставками и таблицами продолжительности жизни

Пример актуарного символа.

1. Заглавная буква означает страхование с выплатой 1% при наступлении страхового случая; строчная буква означает аннуитет с выплатой 1% в год в соответствующее время. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$
2. Черта означает, что выплата непрерывна или произведена в момент смерти; две точки означают выплату в начале года; отсутствие отметки означает выплату в конце года;
3. для 3-летнего человека, в течение лет; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$
4. выплачивается, если умирает в течение нескольких лет; ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle n}$
5. отсрочено ( лет). ${\displaystyle m}$
6. Нет фиксированного значения, подразумевает второй момент для расчета , но часто подразумевает двойную силу интереса. ${\displaystyle E(Z^{2})=E{\big (}(v^{k_{x}+1})^{2}{\big )},}$ ${\displaystyle v^{k_{x}+1}=e^{\delta (k_{x}+1)}}$

Актуарная нотация — это сокращенный метод, позволяющий актуариям записывать математические формулы, которые имеют дело с процентными ставками и таблицами продолжительности жизни .

Традиционная нотация использует систему гало, где символы размещаются как надстрочные или подстрочные перед или после основной буквы. Пример нотации с использованием системы гало можно увидеть ниже.

Были сделаны различные предложения по принятию линейной системы, где все обозначения будут на одной строке без использования верхних или нижних индексов. Такой метод был бы полезен для вычислений, где представление системы гало может быть чрезвычайно сложным. Однако стандартная линейная система еще не появилась.

Пример записи

Процентные ставки

${\displaystyle \,i}$это годовая эффективная процентная ставка , которая является "истинной" процентной ставкой за год . Таким образом, если годовая процентная ставка составляет 12%, то . ${\displaystyle \,i=0.12}$

${\displaystyle \,i^{(m)}}$(произносится как «i заглавная m») — это номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в год, и численно равна эффективной процентной ставке за одну ^часть года. Например, — это номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в полгода. Если эффективная годовая процентная ставка составляет 12%, то представляет собой эффективную процентную ставку каждые шесть месяцев. Поскольку , то имеем и, следовательно , . ^«(m)», появляющаяся в символе, не является « экспонентой ». Она просто представляет собой количество конвертаций процентов или раз начисления процентов в год. Полугодовое начисление процентов (или конвертация процентов каждые шесть месяцев) часто используется при оценке облигаций (см. также ценные бумаги с фиксированным доходом ) и аналогичных денежных финансовых инструментов обязательств, тогда как ипотечные кредиты на жилье часто конвертируют проценты ежемесячно. Следуя приведенному выше примеру снова , то имеем, так как . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \,i^{(2)}}$ ${\displaystyle \,i^{(2)}/2}$ ${\displaystyle \,(1.0583)^{2}=1.12}$ ${\displaystyle \,i^{(2)}/2=0.0583}$ ${\displaystyle \,i^{(2)}=0.1166}$ ${\displaystyle \,i^{(m)}}$ ${\displaystyle \,i=0.12}$ ${\displaystyle \,i^{(12)}=0.1139}$ ${\displaystyle \,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{12}=1.12}$

Эффективные и номинальные процентные ставки не являются одинаковыми, поскольку проценты, уплаченные в более ранние периоды измерения, «зарабатывают» проценты в более поздние периоды измерения; это называется сложными процентами . То есть номинальные процентные ставки кредитуют проценты инвестору (альтернативно взимают или дебетуют проценты с должника) чаще, чем эффективные ставки. Результатом является более частое начисление сложного процентного дохода инвестору (или процентных расходов с должника) при использовании номинальных ставок.

Символ представляет текущую стоимость 1, подлежащую выплате через год: ${\displaystyle \,v}$

${\displaystyle \,v={(1+i)}^{-1}\approx 1-i+i^{2}}$

Этот фактор текущей стоимости, или фактор дисконтирования, используется для определения суммы денег, которую необходимо инвестировать сейчас, чтобы иметь заданную сумму денег в будущем. Например, если вам нужна 1 через год, то сумма денег, которую вы должны инвестировать сейчас, составляет: . Если вам нужна 25 через 5 лет, то сумма денег, которую вы должны инвестировать сейчас, составляет: . ${\displaystyle \,1\times v}$ ${\displaystyle \,25\times v^{5}}$

${\displaystyle \,d}$это годовая эффективная ставка дисконтирования :

${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}\approx i-i^{2}}$

Значение также можно рассчитать из следующих соотношений: Ставка дисконтирования равна сумме процентов, полученных за год, деленной на остаток денег на конец этого периода. Напротив, годовая эффективная процентная ставка рассчитывается путем деления суммы процентов, полученных за год, на остаток денег на начало года. Текущая стоимость (сегодня) платежа в размере 1, который должен быть произведен через годы в будущем, равна . Это аналогично формуле для будущей (или накопленной) стоимости через годы в будущем суммы в размере 1, инвестированной сегодня. ${\displaystyle \,d}$ ${\displaystyle \,(1-d)=v={(1+i)}^{-1}}$ ${\displaystyle \,n}$ ${\displaystyle \,{(1-d)}^{n}}$ ${\displaystyle \,{(1+i)}^{n}}$ ${\displaystyle \,n}$

${\displaystyle \,d^{(m)}}$, номинальная ставка дисконта, конвертируемая раз в год, аналогична . Скидка конвертируется на ^й основе. ${\displaystyle \,m}$ ${\displaystyle \,i^{(m)}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \,\delta }$, сила процента , является предельным значением номинальной процентной ставки, когда увеличивается без ограничений: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \,\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}}$

В этом случае проценты конвертируются непрерывно .

Общее соотношение между , и следующее: ${\displaystyle \,i}$ ${\displaystyle \,\delta }$ ${\displaystyle \,d}$

${\displaystyle \,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$

Их численное значение можно сравнить следующим образом:

${\displaystyle \,i>i^{(2)}>i^{(3)}>\cdots >\delta >\cdots >d^{(3)}>d^{(2)}>d}$

Таблицы продолжительности жизни

Таблица жизни (или таблица смертности) — это математическая конструкция, которая показывает количество людей, живущих (на основе допущений, использованных для построения таблицы) в данном возрасте. В дополнение к количеству оставшихся жизней в каждом возрасте таблица смертности обычно предоставляет различные вероятности, связанные с развитием этих значений.

${\displaystyle \,l_{x}}$это число людей, живущих относительно исходной когорты, в возрасте . По мере увеличения возраста число людей, живущих, уменьшается. ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,l_{0}}$является отправной точкой для : числа людей, живущих в возрасте 0. Это известно как основание таблицы. Некоторые таблицы смертности начинаются с возраста больше 0, в этом случае основанием является число людей, которые предположительно живы в самом молодом возрасте в таблице. ${\displaystyle \,l_{x}}$

${\displaystyle \omega }$предельный возраст таблиц смертности. равен нулю для всех . ${\displaystyle \,l_{n}}$ ${\displaystyle \,n\geq \omega }$

${\displaystyle \,d_{x}}$это число людей, которые умирают в возрасте от до возраста . можно рассчитать по формуле ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle \,d_{x}}$ ${\displaystyle \,d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$

${\displaystyle \,q_{x}}$вероятность смерти в возрасте от до . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,q_{x}=d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \,p_{x}}$вероятность того, что человек доживет до возраста . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}=l_{x+1}/l_{x}}$

Поскольку единственными возможными альтернативами перехода от одного возраста ( ) к другому ( ) являются жизнь и смерть, соотношение между этими двумя вероятностями следующее: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}+q_{x}=1}$

Эти символы также можно расширить до нескольких лет, вставив количество лет в левом нижнем углу основного символа.

${\displaystyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}}$показывает число людей, которые умирают в возрасте от до возраста . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}}$вероятность смерти в возрасте от до . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}}$вероятность того, что человек доживет до возраста . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}}$

Еще один статистический показатель, который можно получить из таблицы смертности, — это ожидаемая продолжительность жизни .

${\displaystyle \,e_{x}}$это точная ожидаемая продолжительность жизни для человека, живущего в возрасте . Это ожидаемое количество полных лет, которые осталось прожить (можно думать об этом как об ожидаемом количестве дней рождения, которые отпразднует человек). ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }\ _{t}p_{x}}$

Таблица смертности обычно показывает количество людей, живущих в целочисленном возрасте. Если нам нужна информация относительно части года, мы должны сделать предположения относительно таблицы, если это уже не подразумевается математической формулой, лежащей в основе таблицы. Распространенным предположением является предположение о равномерном распределении смертей (UDD) на каждом году возраста. При этом предположении есть линейная интерполяция между и . т.е. ${\displaystyle \,l_{x+t}}$ ${\displaystyle \,l_{x}}$ ${\displaystyle \,l_{x+1}}$

${\displaystyle \,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}}$

Аннуитеты

Иллюстрация потоков платежей, представленных актуарной нотацией для аннуитетов.

Базовый символ для текущей стоимости аннуитета — . Затем можно добавить следующую нотацию: ${\displaystyle \,a}$

• Обозначение в правом верхнем углу указывает на частоту платежей (т. е. количество аннуитетных платежей, которые будут производиться в течение каждого года). Отсутствие такого обозначения означает, что платежи производятся ежегодно.
• В правом нижнем углу указывается возраст человека на момент начала выплаты ренты и период, за который выплачивается рента.
• Обозначение непосредственно над основным символом указывает, когда производятся платежи. Две точки обозначают ренту, платежи по которой производятся в начале каждого года («рента-срочная»); горизонтальная линия над символом обозначает ренту, выплачиваемую непрерывно («непрерывная рента»); отсутствие отметки над основным символом обозначает ренту, платежи по которой производятся в конце каждого года («рента-немедленная»).

Если платежи, которые должны быть сделаны по аннуитету, не зависят от каких-либо жизненных событий, он известен как аннуитет с определенным сроком . В противном случае, в частности, если платежи заканчиваются со смертью бенефициара , он называется пожизненным аннуитетом .

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}}$(читается как a-angle-n в i ) представляет собой текущую стоимость аннуитета-immediate, который представляет собой ряд единичных платежей в конце каждого года в течение лет (другими словами: стоимость за один период до первого из n платежей). Это значение получается из: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}}$

( в знаменателе совпадает с «i» в непосредственном) ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$представляет собой текущую стоимость аннуитета, который представляет собой ряд единичных платежей в начале каждого года в течение лет (другими словами: стоимость на момент первого из n платежей). Эта стоимость получается из: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}}$

( в знаменателе совпадает с «d» в дроби) ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \,s_{{\overline {n|}}i}}$это значение на момент последнего платежа, значение через один период. ${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}}$

Если символ добавлен в верхний правый угол, он представляет текущую стоимость аннуитета, платежи по которому производятся каждую одну часть года в течение определенного периода , и каждый платеж составляет одну часть единицы. ${\displaystyle \,(m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}}$, ${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}}$является предельным значением при неограниченном увеличении. Базовый аннуитет известен как непрерывный аннуитет . ${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

Текущую стоимость этих аннуитетов можно сравнить следующим образом:

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$

Чтобы понять приведенные выше взаимосвязи, следует учесть, что денежные потоки, выплачиваемые в более позднее время, имеют меньшую текущую стоимость, чем денежные потоки той же общей суммы, выплачиваемые в более раннее время.

• Нижний индекс , представляющий процентную ставку, может быть заменен на или и часто опускается, если ставка ясно известна из контекста. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$
• При использовании этих символов процентная ставка не обязательно постоянна на протяжении всего срока действия аннуитетов. Однако, когда ставка меняется, приведенные выше формулы больше не будут действительны; для конкретных движений ставки могут быть разработаны специальные формулы.

Пожизненные ренты

Пожизненная рента — это рента, выплаты которой зависят от продолжительности жизни получателя ренты. Возраст получателя ренты является важным фактором при расчете актуарной приведенной стоимости ренты.

• Возраст получателя ренты указан в правом нижнем углу символа, без отметки «угол».

Например:

${\displaystyle \,a_{65}}$указывает на ренту в размере 1 единицы в год, выплачиваемую в конце каждого года до смерти человека, которому на данный момент 65 лет

${\displaystyle a_{\overline {10|}}}$указывает на ренту в размере 1 единицы в год, выплачиваемую в течение 10 лет, с выплатами в конце каждого года

${\displaystyle a_{65:{\overline {10|}}}}$указывает на ежегодную ренту в размере 1 единицы в течение 10 лет или до смерти, если она наступит раньше, для лица, которому в настоящее время 65 лет

${\displaystyle a_{65:64}}$указывает на ежегодную ренту в размере 1 единицы до наступления более ранней смерти члена семьи или смерти супруга/супруги, для лица, которому в настоящее время 65 лет, и супруга/супруги в возрасте 64 лет

${\displaystyle a_{\overline {65:64}}}$указывает на ежегодную ренту в размере 1 единицы до наступления смерти члена семьи или супруга/супруги, для лица, которому в настоящее время исполнилось 65 лет, и супруга/супруги, которому исполнилось 64 года.

${\displaystyle a_{65}^{(12)}}$указывает на ренту в размере 1 единицы в год, выплачиваемую 12 раз в год (1/12 единицы в месяц) до смерти человека, которому на данный момент 65 лет

${\displaystyle {\ddot {a}}_{65}}$указывает на ренту в размере 1 единицы в год, выплачиваемую в начале каждого года до смерти человека, которому на данный момент 65 лет

или в общем:

${\displaystyle a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}}$, где — возраст получателя ренты, — количество лет выплат (или до смерти, если это произойдет раньше), — количество платежей в год, — процентная ставка. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$

В целях простоты обозначения ограничены и, например, не показывают, выплачивается ли рента мужчине или женщине (факт, который обычно определяется из контекста, включая то, основана ли таблица смертности на показателях смертности мужчин или женщин).

Актуарную приведенную стоимость выплат, обусловленных жизнью, можно рассматривать как математическое ожидание случайной величины приведенной стоимости или рассчитывать с помощью текущей формы выплаты.

Страхование жизни

Базовый символ для страхования жизни — . Затем можно добавить следующее обозначение: ${\displaystyle \,A}$

• Обозначение в правом верхнем углу указывает на время выплаты пособия по смерти. Отсутствие обозначения означает, что выплаты производятся в конце года смерти. Цифра в скобках (например , ) означает, что пособие выплачивается в конце указанного периода (12 — ежемесячно; 4 — ежеквартально; 2 — раз в полгода; 365 — ежедневно). ${\displaystyle A^{(12)}}$
• В правом нижнем углу указан возраст человека на момент начала действия страхования жизни.
• Обозначение непосредственно над основным символом указывает на «тип» страхования жизни, выплачивается ли он в конце периода или немедленно. Горизонтальная линия указывает на страхование жизни, выплачиваемое немедленно, в то время как отсутствие отметки над символом указывает на то, что платеж должен быть произведен в конце указанного периода.

Например:

${\displaystyle \,A_{x}}$указывает на выплату по страхованию жизни в размере 1 в конце года смерти.

${\displaystyle \,A_{x}^{(12)}}$указывает на выплату по страхованию жизни в размере 1 в конце месяца смерти.

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$указывает на выплату по страхованию жизни в размере 1 в (математический) момент смерти.

Премиум

Основным символом для премии является или . обычно относится к чистым годовым премиям, к специальным премиям, как к уникальной премии. ${\displaystyle \,P}$ ${\displaystyle \,\pi }$ ${\displaystyle \,P}$ ${\displaystyle \,\pi }$

Сила смертности

Среди актуариев сила смертности относится к тому, что экономисты и другие социологи называют уровнем риска , и трактуется как мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеряемый в годовом исчислении.

В таблице смертности мы рассматриваем вероятность смерти человека в возрасте от ( x ) до возраста x  + 1; эта вероятность называется q _x . В непрерывном случае мы также могли бы рассмотреть условную вероятность того, что человек, достигший возраста ( x ), умрет в возрасте от ( x ) до возраста ( x  + Δ x ) как:

${\displaystyle P_{\Delta x}(x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

где F _X ( x ) — кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины возраста смерти , X. Поскольку Δ x стремится к нулю, то же самое происходит и с этой вероятностью в непрерывном случае. Приблизительная сила смертности — это эта вероятность, деленная на Δ x . Если мы позволим Δ x стремиться к нулю, мы получим функцию для силы смертности , обозначаемую как μ ( x ):

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

Смотрите также

• Актуарная текущая стоимость
• Актуарная наука
• Годовая процентная ставка
• Математика финансов

Внешние ссылки

• Описание 1949 года в журнале Института актуариев
• Пакет международных актуарных обозначений