Анализ напряжения-деформации (или анализ напряжений ) — это инженерная дисциплина, которая использует множество методов для определения напряжений и деформаций в материалах и конструкциях, подвергающихся воздействию сил . В механике сплошных сред напряжение — это физическая величина , выражающая внутренние силы , которые соседние частицы сплошного материала оказывают друг на друга, а деформация — это мера деформации материала.
Проще говоря, мы можем определить напряжение как силу сопротивления на единицу площади, оказываемую телом деформации. Напряжение — это отношение силы к площади (S = R/A, где S — напряжение, R — внутренняя сила сопротивления, а A — площадь поперечного сечения). Деформация — это отношение изменения длины к первоначальной длине, когда на данное тело действует некоторая внешняя сила (Деформация = изменение длины ÷ исходная длина).
Анализ напряжений является основной задачей инженеров- строителей , инженеров- механиков и аэрокосмических инженеров , занимающихся проектированием конструкций любого размера, таких как туннели , мосты и плотины , корпуса самолетов и ракет , механические детали и даже пластиковые столовые приборы и скобы . Анализ напряжений также используется при обслуживании таких конструкций и для расследования причин структурных отказов.
Обычно отправной точкой анализа напряжений являются геометрическое описание конструкции, свойства материалов, используемых для ее частей, способы соединения частей, а также максимальные или типичные силы, которые, как ожидается, будут приложены к конструкции. Выходные данные обычно представляют собой количественное описание того, как приложенные силы распространяются по конструкции, что приводит к напряжениям, деформациям и отклонениям всей конструкции и каждого ее компонента. При анализе могут учитываться силы, которые изменяются со временем, например вибрация двигателя или нагрузка движущихся транспортных средств. В этом случае напряжения и деформации также будут функциями времени и пространства.
В инженерии стресс-анализ часто является инструментом, а не самоцелью; конечной целью является создание конструкций и артефактов, которые могут выдержать заданную нагрузку, используя минимальное количество материала или удовлетворяющие какому-либо другому критерию оптимальности.
Анализ напряжений может выполняться с помощью классических математических методов, аналитического математического моделирования или компьютерного моделирования, экспериментальных испытаний или комбинации методов.
Термин «анализ напряжений» используется в этой статье для краткости, но следует понимать, что деформации и прогибы конструкций имеют одинаковую важность, и фактически анализ конструкции может начинаться с расчета прогибов или деформаций. и заканчиваем расчетом напряжений.
Анализ напряжения конкретно касается твердых объектов. Изучение напряжений в жидкостях и газах — предмет механики жидкости .
Анализ напряжений принимает макроскопический взгляд на материалы, характерный для механики сплошной среды , а именно, что все свойства материалов однородны в достаточно малых масштабах. Таким образом, даже самая маленькая частица , рассматриваемая при анализе напряжений, по-прежнему содержит огромное количество атомов, а ее свойства являются средними свойствами этих атомов.
При анализе напряжений обычно игнорируют физические причины возникновения сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией материала известными определяющими уравнениями .
Согласно законам движения Ньютона , любые внешние силы, действующие на систему, должны уравновешиваться внутренними силами реакции [1] или вызывать ускорение частиц в затронутой части. В твердом объекте все частицы должны двигаться практически согласованно, чтобы поддерживать общую форму объекта. Отсюда следует, что любая сила, приложенная к одной части твердого объекта, должна вызывать внутренние силы реакции, которые распространяются от частицы к частице по всей протяженной части системы. За очень редкими исключениями (такими, как ферромагнитные материалы или тела планетарного масштаба), внутренние силы возникают вследствие очень короткодействующих межмолекулярных взаимодействий и поэтому проявляются как силы поверхностного контакта между соседними частицами, то есть как напряжения. [2]
Фундаментальной проблемой анализа напряжений является определение распределения внутренних напряжений по всей системе с учетом действующих на нее внешних сил. В принципе, это означает неявное или явное определение тензора напряжений Коши в каждой точке. [3]
Внешними силами могут быть объемные силы (такие как гравитация или магнитное притяжение), действующие по всему объему материала; [4] или сосредоточенные нагрузки (такие как трение между осью и подшипником или вес колеса поезда на рельсе), которые, как предполагается, действуют на двумерную область, вдоль линии или в одной точке. . Одна и та же чистая внешняя сила будет оказывать различное воздействие на локальное напряжение в зависимости от того, сконцентрировано оно или распределено.
В гражданском строительстве обычно считается, что конструкции находятся в статическом равновесии : то есть либо не меняются со временем, либо меняются достаточно медленно, чтобы вязкие напряжения были неважными (квазистатическими). Однако в машиностроении и аэрокосмической технике анализ напряжений часто приходится выполнять на деталях, далеких от равновесия, таких как вибрирующие пластины или быстро вращающиеся колеса и оси. В этих случаях уравнения движения должны включать члены, учитывающие ускорение частиц. При проектировании конструкций обычно стараются обеспечить, чтобы напряжения везде были значительно ниже предела текучести материала. При динамических нагрузках необходимо учитывать также усталость материала . Однако эти проблемы выходят за рамки собственно анализа напряжений и рассматриваются в материаловедении под названиями «прочность материалов », «анализ усталости », «коррозия под напряжением», « моделирование ползучести » и т. д.
Анализ напряжений можно выполнить экспериментально, приложив силы к испытуемому элементу или конструкции, а затем определяя результирующее напряжение с помощью датчиков . В этом случае этот процесс правильнее было бы называть тестированием ( разрушающим или неразрушающим ). Экспериментальные методы могут использоваться в тех случаях, когда математические подходы громоздки или неточны. Для приложения статической или динамической нагрузки используют специальное оборудование, соответствующее экспериментальному методу.
Существует ряд экспериментальных методов, которые можно использовать:
Хотя экспериментальные методы широко используются, большая часть анализа напряжений выполняется математическими методами, особенно во время проектирования.
Основная проблема анализа напряжений может быть сформулирована с помощью уравнений движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствием законов Ньютона о сохранении линейного момента и углового момента ) и принципа напряжения Эйлера-Коши вместе с соответствующими определяющими уравнениями.
Эти законы дают систему дифференциальных уравнений в частных производных , которые связывают поле тензора напряжений с полем тензора деформаций как неизвестные функции, которые необходимо определить. Решение одного из них позволяет решить другой с помощью другого набора уравнений, называемых определяющими уравнениями. Поля тензоров напряжений и деформаций обычно непрерывны внутри каждой части системы, и эту часть можно рассматривать как сплошную среду с плавно меняющимися определяющими уравнениями.
Внешние массовые силы будут выступать в качестве независимого («правого» члена) дифференциальных уравнений, а сосредоточенные силы — как граничные условия. Внешняя (приложенная) поверхностная сила, такая как давление окружающей среды или трение, может быть включена в качестве заданного значения тензора напряжений на этой поверхности. Внешние силы, которые определяются как линейные нагрузки (например, тяга) или точечные нагрузки (например, вес человека, стоящего на крыше), вносят сингулярности в поле напряжений и могут быть введены, если предположить, что они распределены по небольшому объему или площадь поверхности. Таким образом, основная задача анализа напряжений является краевой задачей .
Система называется упругой, если любые деформации, вызванные приложенными силами, самопроизвольно и полностью исчезают после устранения приложенных сил. Расчет напряжений (анализ напряжений), развивающихся внутри таких систем, основан на теории упругости и теории бесконечно малых деформаций . Когда приложенные нагрузки вызывают остаточную деформацию, необходимо использовать более сложные материальные уравнения, которые могут учитывать задействованные физические процессы ( пластическое течение , разрушение , фазовый переход и т. д.).
Инженерные конструкции обычно проектируются таким образом, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах линейно-упругого поведения (обобщение закона Гука для сплошных сред) для материала, из которого будет построена конструкция. То есть деформации, вызванные внутренними напряжениями, линейно связаны с приложенными нагрузками. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, также являются линейными. Линейные уравнения гораздо лучше понятны, чем нелинейные; во-первых, их решение (расчет напряжения в любой желаемой точке конструкции) также будет линейной функцией приложенных сил. При достаточно малых приложенных нагрузках даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.
Предварительно нагруженная конструкция — это конструкция, в которой различными способами действуют внутренние силы, напряжения и деформации до приложения внешних сил. Например, в конструкции могут быть натянуты тросы, в результате чего в конструкции возникают силы до того, как будут приложены какие-либо другие нагрузки. Закаленное стекло является часто встречающимся примером предварительно нагруженной конструкции, которая имеет растягивающие силы и напряжения, действующие на плоскость стекла и в центральной плоскости стекла, что приводит к действию сил сжатия на внешние поверхности этого стекла.
Представленная математическая задача обычно некорректна, поскольку имеет бесконечное множество решений. Фактически, в любом трехмерном твердом теле может быть бесконечно много (и бесконечно сложных) ненулевых тензорных полей напряжений, находящихся в устойчивом равновесии даже в отсутствие внешних сил. Эти поля напряжений часто называют полями гиперстатических напряжений [5] , и они сосуществуют с полями напряжений, уравновешивающими внешние силы. В линейной упругости их присутствие необходимо для удовлетворения требований совместимости деформации/перемещения, а в предельном анализе их присутствие требуется для максимизации несущей способности конструкции или компонента.
Такой встроенный стресс может возникать по многим физическим причинам либо во время производства (в таких процессах, как экструзия , литье или холодная обработка ), либо постфактум (например, из-за неравномерного нагрева или изменений содержания влаги или химического состава). Однако если можно предположить, что система ведет себя линейно по отношению к нагрузке и реакции системы, то эффект предварительной нагрузки можно учесть путем сложения результатов предварительно загруженной структуры и той же непреднагруженной структуры.
Однако если нельзя предположить линейность, любое встроенное напряжение может повлиять на распределение внутренних сил, вызванных приложенными нагрузками (например, за счет изменения эффективной жесткости материала) или даже вызвать неожиданный выход материала из строя. По этим причинам был разработан ряд методов, позволяющих избежать или уменьшить встроенные напряжения, такие как отжиг холодно обработанных стеклянных и металлических деталей, компенсаторов в зданиях и роликовых соединений мостов.
Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одно- или двухмерную. При анализе моста его трехмерную структуру можно идеализировать как единую плоскую конструкцию, если все силы действуют в плоскости ферм моста. Кроме того, каждый элемент ферменной конструкции можно рассматривать как одномерный элемент с силами, действующими вдоль оси каждого элемента. В этом случае дифференциальные уравнения сводятся к конечному набору уравнений с конечным числом неизвестных.
Если можно предположить, что распределение напряжений является однородным (или предсказуемым, или неважным) в одном направлении, то можно использовать предположение о поведении плоского напряжения и плоской деформации , и тогда уравнения, описывающие поле напряжений, являются функцией только двух координат. , вместо трех.
Даже в предположении линейно-упругого поведения материала связь между тензорами напряжений и деформаций обычно выражается тензором жесткости четвертого порядка с 21 независимым коэффициентом (симметричная матрица жесткости 6×6). Эта сложность может потребоваться для обычных анизотропных материалов, но для многих распространенных материалов ее можно упростить. Для ортотропных материалов , таких как древесина, жесткость которых симметрична относительно каждой из трех ортогональных плоскостей, девяти коэффициентов достаточно, чтобы выразить зависимость напряжение-деформация. Для изотропных материалов эти коэффициенты уменьшаются до двух.
Можно априори определить , что в некоторых частях системы напряжение будет определенного типа, например одноосное растяжение или сжатие , простой сдвиг , изотропное сжатие или растяжение, кручение , изгиб и т. д. В этих частях , тогда поле напряжений может быть представлено менее чем шестью числами, а возможно, и одним.
В любом случае для двух- или трехмерных областей необходимо решить систему уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Аналитические решения (в замкнутой форме) дифференциальных уравнений могут быть получены, если геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. Для более сложных задач обычно приходится прибегать к численным приближениям, таким как метод конечных элементов , метод конечных разностей и метод граничных элементов .
Конечная цель любого анализа – обеспечить сравнение возникших напряжений, деформаций и прогибов с теми, которые разрешены критериями проектирования. Все конструкции и их компоненты, очевидно, должны быть спроектированы так, чтобы иметь способность, превышающую ту, которая, как ожидается, будет развиваться во время использования конструкции, чтобы избежать отказа. Напряжение, которое, по расчетам, возникнет в элементе, сравнивается с прочностью материала, из которого элемент изготовлен, путем расчета отношения прочности материала к расчетному напряжению. Соотношение, очевидно, должно быть больше 1,0, чтобы элемент не вышел из строя. Однако отношение допустимого напряжения к развиваемому напряжению должно быть больше 1,0, поскольку коэффициент запаса прочности (расчетный коэффициент) будет указан в требованиях к проектированию конструкции. Все конструкции рассчитаны на превышение нагрузки, которую эти конструкции должны испытывать во время их использования. Коэффициент проектирования (число больше 1,0) представляет собой степень неопределенности в величине нагрузок, прочности материала и последствиях отказа. Напряжение (или нагрузка или прогиб), которое, как ожидается, испытает конструкция, известно как рабочее, расчетное или предельное напряжение. Например, предельное напряжение выбирается равным некоторой доле предела текучести материала, из которого изготовлена конструкция. Отношение предела прочности материала к допустимому напряжению определяется как коэффициент запаса прочности от предельного разрушения.
Лабораторные испытания обычно проводятся на образцах материалов, чтобы определить предел текучести и предел прочности этих материалов. Статистический анализ прочности многих образцов материала проводится для расчета конкретной прочности этого материала. Анализ позволяет рациональным методом определить прочность материала и дает значение, меньшее, например, 99,99% значений от испытанных образцов. В некотором смысле, с помощью этого метода применяется отдельный коэффициент безопасности сверх проектного коэффициента безопасности, применяемого к конкретной конструкции, в которой используется указанный материал.
Целью сохранения запаса прочности по пределу текучести является предотвращение вредных деформаций, которые могут ухудшить использование конструкции. Самолет с постоянно погнутым крылом может оказаться не в состоянии двигать рулевыми поверхностями и, следовательно, окажется неработоспособным. Хотя деформация материала конструкции может сделать конструкцию непригодной для использования, это не обязательно приведет к ее обрушению. Фактором безопасности при предельной прочности на разрыв является предотвращение внезапного разрушения и обрушения, которые могут привести к большим экономическим потерям и возможным человеческим жертвам.
Крыло самолета может быть спроектировано с коэффициентом запаса прочности 1,25 по пределу текучести крыла и коэффициентом запаса прочности 1,5 по его пределу прочности. Испытательные приспособления, которые прикладывают эти нагрузки к крылу во время испытания, могут быть спроектированы с коэффициентом запаса прочности 3,0 по предельной прочности, тогда как конструкция, защищающая испытательное приспособление, может иметь предельный коэффициент запаса прочности, равный десяти. Эти значения отражают степень уверенности ответственных органов в своем понимании условий нагрузки, их уверенность в прочности материалов, точность аналитических методов, используемых при анализе, ценность конструкций, ценность жизней тех, кто летающие, те, кто находится рядом с испытательными стендами, и те, кто находится внутри здания.
Коэффициент запаса прочности используется для расчета максимально допустимого напряжения:
Оценка нагрузок и напряжений внутри конструкций направлена на поиск пути передачи нагрузки. Нагрузки будут передаваться посредством физического контакта между различными составными частями и внутри конструкций. Перенос нагрузки можно определить визуально или с помощью простой логики для простых конструкций. Для более сложных структур могут потребоваться более сложные методы, такие как теоретическая механика твердого тела или численные методы. Численные методы включают метод прямой жесткости , который также называют методом конечных элементов .
Цель состоит в том, чтобы определить критические напряжения в каждой детали и сравнить их с прочностью материала (см. Сопротивление материалов ).
Для деталей, вышедших из строя в процессе эксплуатации, проводится судебно-медицинская экспертиза или анализ отказов для выявления слабых мест, при этом сломанные детали анализируются на предмет причины или причин отказа. Целью метода является определение самого слабого компонента на пути нагрузки. Если именно эта часть действительно вышла из строя, то это может подтвердить независимые доказательства неисправности. Если нет, то следует искать другое объяснение, например, дефектную деталь с более низким пределом прочности , чем она должна быть.
Линейный элемент конструкции – это элемент, который по существу является одномерным и часто подвергается только осевой нагрузке. Когда элемент конструкции подвергается растяжению или сжатию, его длина имеет тенденцию к удлинению или сокращению, а площадь его поперечного сечения изменяется на величину, которая зависит от коэффициента Пуассона материала. В инженерных приложениях элементы конструкции испытывают небольшие деформации, а уменьшение площади поперечного сечения очень мало, и им можно пренебречь, т. е. площадь поперечного сечения предполагается постоянной во время деформации. В этом случае напряжение называется инженерным напряжением или номинальным напряжением и рассчитывается с использованием исходного поперечного сечения.
В некоторых других случаях, например, в эластомерах и пластмассах , изменение площади поперечного сечения является значительным. В случае материалов, объем которых сохраняется (т. е. коэффициент Пуассона = 0,5), если желательно истинное напряжение , его необходимо рассчитать с использованием истинной площади поперечного сечения вместо начальной площади поперечного сечения, как:
Связь между истинной деформацией и инженерной деформацией определяется выражением
При одноосном растяжении истинное напряжение превышает номинальное напряжение. Обратное справедливо при сжатии.
Круг Мора , эллипсоид напряжений Ламе (вместе с поверхностью директора напряжений ) и квадрика напряжений Коши представляют собой двумерные графические представления состояния напряжения в точке . Они позволяют графически определить величину тензора напряжений в данной точке для всех плоскостей, проходящих через эту точку. Круг Мора — наиболее распространенный графический метод.
Круг Мора , названный в честь Кристиана Отто Мора , представляет собой геометрическое место точек, которые представляют состояние напряжения на отдельных плоскостях при всех их ориентациях. Абсцисса , , и ордината , , каждой точки на окружности представляют собой компоненты нормального напряжения и напряжения сдвига, соответственно, действующие на конкретную плоскость сечения с единичным вектором с компонентами .
Поверхность эллипсоида представляет собой место расположения концов всех векторов напряжений, действующих на все плоскости, проходящие через данную точку в сплошном теле. Другими словами, концы всех векторов напряжений в данной точке сплошного тела лежат на поверхности эллипсоида напряжений, т. е. радиус-вектора от центра эллипсоида, расположенного в рассматриваемой материальной точке, к точке на поверхность эллипсоида равна вектору напряжений на некоторой плоскости, проходящей через точку. В двух измерениях поверхность представлена эллипсом ( рис. далее).
Квадрика напряжений Коши, также называемая поверхностью напряжений , представляет собой поверхность второго порядка, которая отслеживает изменение вектора нормального напряжения при изменении ориентации плоскостей, проходящих через данную точку.
Полное напряженное состояние тела при определенной деформированной конфигурации, т. е. в определенный момент движения тела, предполагает знание шести независимых компонент тензора напряжений , или трех главных напряжений , в каждой материальной точке тела. тело в то время. Однако численный анализ и аналитические методы позволяют рассчитать тензор напряжений только в определенном количестве дискретных материальных точек. Чтобы графически представить в двух измерениях эту частичную картину поля напряжений, можно использовать различные наборы контурных линий : [6]
