В дифференциальной геометрии тор Ангенента представляет собой плавное вложение тора в трехмерное евклидово пространство со свойством, заключающимся в том, что он остается самоподобным при развитии под действием потока средней кривизны . Его существование показывает, что, в отличие от одномерного потока, сокращающего кривую (для которого каждая вложенная замкнутая кривая сходится к окружности при сжатии в точку), двумерный поток средней кривизны имеет вложенные поверхности, которые образуют более сложные особенности как они разрушаются.
Тор Ангенент назван в честь Сигурда Ангенента , который опубликовал доказательство его существования в 1992 году. [1] Однако еще в 1990 году Герхард Хейскен написал, что Мэтью Грейсон рассказал ему о «числовых доказательствах» его существования. [2] [3]
Чтобы доказать существование тора Ангенента, Ангенент сначала утверждает, что он должен быть поверхностью вращения . Любую такую поверхность можно описать ее поперечным сечением - кривой на полуплоскости (где граничная линия полуплоскости является осью вращения поверхности). Следуя идеям Хьюскена, [2] Ангенент определяет риманову метрику на полуплоскости со свойством, что геодезические для этой метрики представляют собой в точности сечения поверхностей вращения, которые остаются самоподобными и схлопываются в начало координат после одного единица времени. Эта метрика сильно неоднородна, но обладает отражательной симметрией, осью симметрии которой является полупрямая, проходящая через начало координат перпендикулярно границе полуплоскости. [1]
Рассматривая поведение геодезических, которые проходят перпендикулярно этой оси отражательной симметрии, на разных расстояниях от начала координат, и применяя теорему о промежуточном значении , Ангенент находит геодезическую, которая проходит через ось перпендикулярно во второй точке. Эта геодезическая и ее отражение объединяются, образуя простую замкнутую геодезическую для метрики на полуплоскости. Когда эта замкнутая геодезическая используется для создания поверхности вращения, она образует Ангенентный тор.
Другие геодезические приводят к другим поверхностям вращения, которые остаются самоподобными под действием потока средней кривизны, включая сферы, цилиндры, плоскости и (согласно численным данным, но не строгому доказательству) погруженные топологические сферы с множественными самопересечениями. [1] Клини и Мёллер (2014) доказывают, что единственными полными гладкими вложенными поверхностями вращения, которые остаются самоподобными при потоке средней кривизны, являются плоскости, цилиндры, сферы и топологические торы. Они более решительно предполагают, что тор Ангенент — единственный тор, обладающий этим свойством. [4]
Тор Ангенента можно использовать для доказательства существования некоторых других особенностей потока средней кривизны. Например, если поверхность в форме гантели , состоящая из тонкой цилиндрической «шеи», соединяющей два больших объема, может иметь шейку, окруженную непересекающимся ангенентным тором, то две поверхности вращения будут оставаться непересекающимися при потоке средней кривизны до тех пор, пока одна из их достигает сингулярности; если концы гантели достаточно велики, это означает, что шея должна отщипнуться, отделив две сферы друг от друга, прежде чем тор, окружающий шею, рухнет. [1] [5]
Любая форма, которая остается самоподобной, но сжимается под действием потока средней кривизны, образует древнее решение потока, которое можно экстраполировать назад на все времена. Однако обратное неверно. В той же статье, в которой он опубликовал тор Ангенента, Ангенент также описал овалы Ангенента; они не самоподобны, но это единственные простые замкнутые кривые на плоскости, отличные от круга, которые дают древние решения потока, сокращающего кривую . [1] [6]