Аннуитет

Серия платежей, осуществляемых через равные промежутки времени

В инвестициях рента — это серия платежей, осуществляемых через равные промежутки времени. ^[1] Примерами рент являются регулярные взносы на сберегательный счет , ежемесячные выплаты по ипотеке , ежемесячные страховые платежи и пенсионные выплаты. Ренты можно классифицировать по частоте дат платежей. Платежи (вклады) могут производиться еженедельно, ежемесячно, ежеквартально, ежегодно или через любой другой регулярный интервал времени. Ренты можно рассчитывать с помощью математических функций, известных как «функции ренты».

Рента, которая предусматривает выплаты на оставшуюся часть жизни человека, называется пожизненной рентой . Рента, которая продолжается неограниченно долго, называется бессрочной рентой .

Типы

Аннуитеты можно классифицировать несколькими способами.

Сроки платежей

Платежи по аннуитету -немедленно производятся в конце платежных периодов, так что проценты начисляются между выпуском аннуитета и первым платежом. Платежи по аннуитету -сроку производятся в начале платежных периодов, так что платеж производится немедленно по выпуску.

Условные платежи

Аннуитеты, которые предусматривают выплаты, которые будут выплачиваться в течение заранее известного периода, называются аннуитетами, определенными или гарантированными аннуитетами. Аннуитеты, выплачиваемые только при определенных обстоятельствах, называются условными аннуитетами . Распространенным примером является пожизненная рента , которая выплачивается в течение оставшейся жизни аннуитента. Определенные и пожизненные аннуитеты гарантированно выплачиваются в течение ряда лет, а затем становятся зависимыми от того, жив ли аннуитент.

Изменчивость платежей

• Фиксированные ренты – это ренты с фиксированными платежами. Если они предоставляются страховой компанией, компания гарантирует фиксированный доход от первоначальных инвестиций. В Соединенных Штатах фиксированные ренты не регулируются Комиссией по ценным бумагам и биржам . ^{[ необходима цитата ]}
• Переменные ренты – зарегистрированные продукты, регулируемые SEC в Соединенных Штатах Америки. Они позволяют осуществлять прямые инвестиции в различные фонды, специально созданные для переменных рент. Обычно страховая компания гарантирует определенное пособие по смерти или пожизненные выплаты при снятии средств.
• Индексированные по акциям аннуитеты – аннуитеты с платежами, привязанными к индексу. Обычно минимальный платеж составляет 0%, а максимальный – заранее определен. Эффективность индекса определяет, будет ли зачислен клиенту минимум, максимум или что-то среднее.

Отсрочка платежей

Рента, которая начинает выплаты только после определенного периода, называется отложенной рентой (обычно после выхода на пенсию). Рента, которая начинает выплаты сразу после того, как клиент заплатил, без периода отсрочки, называется немедленной рентой . ^{[ требуется цитата ]}

Оценка

Оценка ренты подразумевает расчет текущей стоимости будущих платежей ренты. Оценка ренты подразумевает такие концепции, как временная стоимость денег , процентная ставка и будущая стоимость . ^[2]

Аннуитет-определенный

Если количество платежей известно заранее, то рента является рентой определенной или гарантированной рентой . Оценка рент определенных может быть рассчитана с использованием формул в зависимости от сроков платежей.

Аннуитет-немедленный

Если платежи производятся в конце временных периодов, так что проценты накапливаются до платежа, аннуитет называется аннуитетом -немедленным , или обычным аннуитетом . Платежи по ипотеке являются аннуитетом-немедленным, проценты начисляются до их уплаты.

Аннуитет к оплате

Аннуитетный платеж относится к серии равных платежей, производимых с одинаковым интервалом в начале каждого периода. Периоды могут быть ежемесячными, ежеквартальными, полугодовыми, ежегодными или любым другим определенным периодом. Примерами аннуитетных платежей являются арендная плата, лизинг и страховые платежи, которые производятся для покрытия услуг, предоставленных в периоде, следующем за платежом.

Текущая стоимость аннуитета — это стоимость потока платежей, дисконтированная по процентной ставке для учета того факта, что платежи производятся в различные моменты в будущем. Текущая стоимость дается в актуарной нотации следующим образом:

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}},}$

где - количество сроков, а - процентная ставка за период. Текущая стоимость линейна по сумме платежей, поэтому текущая стоимость платежей или арендной платы равна: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.}$

На практике часто кредиты указываются в годовых суммах, а проценты начисляются и платежи производятся ежемесячно. В этом случае проценты указываются как номинальная процентная ставка , и . ${\displaystyle I}$ ${\textstyle i=I/12}$

Будущая стоимость аннуитета — это накопленная сумма, включая платежи и проценты, потока платежей, произведенных на процентный счет. Для аннуитета немедленного типа это стоимость сразу после n-го платежа. Будущая стоимость определяется по формуле:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}},}$

где - количество сроков, а - процентная ставка за период. Будущая стоимость линейна по размеру платежей, поэтому будущая стоимость платежей или арендной платы равна: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}}$

Пример: Текущая стоимость 5-летней ренты с номинальной годовой процентной ставкой 12% и ежемесячными платежами в размере 100 долларов США составляет:

${\displaystyle {\text{PV}}\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0.01}=\$4,495.50}$

Под рентой понимается либо сумма, выплачиваемая в конце каждого периода в обмен на сумму PV, взятую взаймы в нулевой момент времени, основную сумму кредита, либо сумма, выплачиваемая по процентному счету в конце каждого периода, когда сумма PV инвестируется в нулевой момент времени, и счет становится нулевым при n-ном снятии.

Будущие и настоящие ценности связаны, поскольку:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i}$

Доказательство формулы немедленной ренты

Для расчета текущей стоимости k -й платеж должен быть дисконтирован к текущему моменту путем деления на проценты, усложненные k членами. Следовательно, вклад k -го платежа R будет . Если просто считать R равным 1, то: ${\displaystyle {\frac {R}{(1+i)^{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\[5pt]&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}\right)\quad \quad {\text{by using the equation for the sum of a geometric series}}\\[5pt]&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{1+i-1}}\\[5pt]&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i}},\end{aligned}}}$

что дает нам требуемый результат.

Аналогично мы можем доказать формулу для будущей стоимости. Платеж, произведенный в конце прошлого года, не будет накапливать проценты, а платеж, произведенный в конце первого года, будет накапливать проценты в общей сложности за ( n  − 1) лет. Следовательно,

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=(1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Аннуитет-причитающийся

Аннуитет с выплатой процентов — это аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого периода. ^[3] Примерами аннуитетов с выплатой процентов являются сберегательные вклады, арендная плата или лизинговые платежи, а также страховые премии.

Каждый аннуитетный платеж может быть рассчитан на один дополнительный период. Таким образом, можно рассчитать текущую и будущую стоимость аннуитета, подлежащего выплате.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{d}},}$

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}}i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}},}$

где — количество сроков, — процентная ставка за срок, а — эффективная ставка дисконтирования, определяемая выражением . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$

Будущая и настоящая стоимость аннуитетов, подлежащих выплате, связаны, поскольку:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i},}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}=d.}$

Пример: Окончательную стоимость 7-летней ренты с номинальной годовой процентной ставкой 9% и ежемесячными платежами в размере 100 долларов США можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle {\text{FV}}_{\text{due}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}=\$11,730.01.}$

В Excel функции PV и FV принимают необязательный пятый аргумент, который позволяет выбрать между немедленной рентой и рентой с выплатой по факту.

Рента, выплачиваемая в срок с n платежами, представляет собой сумму одного платежа ренты сейчас и обычной ренты с одним платежом меньше, а также равная, с временным сдвигом, обычной ренте. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1|}}i}+1}$. Значение на момент первого из n платежей 1.

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1|}}i}-1}$. Значение через один период после времени последнего из n платежей 1.

Бессрочность

Перпетуитет — это аннуитет , выплаты по которому продолжаются вечно. Обратите внимание, что

${\displaystyle \lim _{n\,\rightarrow \,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times a_{{\overline {n}}|i}=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}=\,{\frac {R}{i}}.}$

Поэтому бессрочная рента имеет конечную текущую стоимость, когда есть ненулевая ставка дисконтирования. Формулы для бессрочной ренты следующие:

${\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ and }}{\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},}$

где — процентная ставка, — эффективная ставка дисконтирования. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$

Пожизненные ренты

Оценка пожизненных рент может быть выполнена путем расчета актуарной приведенной стоимости будущих платежей, зависящих от срока жизни. Таблицы продолжительности жизни используются для расчета вероятности того, что получатель ренты доживет до каждого будущего периода выплат. Оценка пожизненных рент также зависит от сроков выплат, как и в случае с определенными рентами, однако пожизненные ренты не могут быть рассчитаны с помощью аналогичных формул, поскольку актуарная приведенная стоимость учитывает вероятность смерти в каждом возрасте.

Расчет амортизации

Если аннуитет предназначен для погашения долга P с процентами, то сумма, подлежащая выплате после n платежей, составляет

${\displaystyle {\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$

Потому что эта схема эквивалентна заимствованию суммы для создания бессрочной купонной облигации и помещению этой заимствованной суммы в банк для увеличения с процентами . ${\displaystyle {\frac {R}{i}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {R}{i}}-P}$ ${\displaystyle i}$

Также это можно рассматривать как текущую стоимость оставшихся платежей.

${\displaystyle R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{n-N}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {N-n}}|i}.}$

См. также ипотечный кредит с фиксированной ставкой .

Примеры расчетов

Формула для нахождения периодического платежа R , учитывая A :

${\displaystyle R={\frac {A}{1+\left(1-\left(1+{\frac {j}{m}}\right)\right)^{-{\frac {(n-1)}{j/m}}}}}}$

Примеры:

1. Найдите периодический платеж по аннуитету в размере 70 000 долларов США, подлежащий уплате ежегодно в течение 3 лет по ставке 15% годовых.
   • R = 70 000/(1+〖(1-(1+((.15)/1) )〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • R = 70 000/2,625708885
   • Р = 26659,46724 долл. США

Найдите фактор PVOA как. 1) найдите r как, (1 ÷ 1,15)= 0,8695652174 2) найдите r × ( r ⁿ − 1) ÷ ( r − 1) 08695652174 × (−0,3424837676)÷ (−1304347826) = 2,2832251175 70000÷ 2,2832251175= $30658.3873 является правильным значением

1. Найдите периодический платеж по аннуитету в размере 250 700 долларов США, подлежащий уплате ежеквартально в течение 8 лет по ставке 5% годовых, начисляемой ежеквартально.
   • R= 250,700/(1+〖(1-(1+((.05)/4) )〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • R = 250,700/26.5692901
   • Р = 9 435,71 долл. США

Нахождение периодического платежа(R), учитывая S:

R = S\,/((〖((1+(j/m) )〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Примеры:

1. Найдите периодический платеж накопленной стоимости в размере 55 000 долларов США, подлежащий ежемесячной выплате в течение 3 лет по ставке 15% годовых с ежемесячной выплатой процентов.
   • R=55,000/((〖((1+((.15)/12) )〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1)
   • Р = 55 000/45,67944932
   • Р = 1204,04 долл. США
2. Найдите периодический платеж накопленной стоимости в размере 1 600 000 долларов США, подлежащий уплате ежегодно в течение 3 лет по ставке 9% годовых.
   • R=1,600,000/((〖((1+((.09)/1) )〗^(3+1)-1)/((.09)/1)-1)
   • R = 1,600,000/3.573129
   • Р = 447 786,80 долл. США

Правовые режимы

• Аннуитеты по американскому законодательству
• Аннуитеты по европейскому праву
• Аннуитеты по швейцарскому законодательству

Смотрите также

• Калькулятор амортизации
• Ипотека с фиксированной ставкой
• Пожизненная рента
• Бессрочность
• Временная стоимость денег

Ссылки

1. Келлисон, Стивен Г. (1970). Теория интереса . Хоумвуд, Иллинойс: Richard D. Irwin, Inc. стр. 45
2. Лэшер, Уильям (2008). Практический финансовый менеджмент . Мейсон, Огайо: Thomson South-Western. стр. 230. ISBN 0-324-42262-8..
3. Джордан, Брэдфорд Д.; Росс, Стивен Дэвид; Вестерфилд, Рэндольф (2000). Основы корпоративных финансов . Бостон: Irwin/McGraw-Hill. стр. 175. ISBN 0-07-231289-0.

Другие источники

• Сэмюэл А. Броверман (2010). Математика инвестиций и кредита, 5-е издание . Академическая серия ACTEX. Публикации ACTEX. ISBN 978-1-56698-767-7.
• Стивен Келлисон (2008). Теория интереса, 3-е издание . McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9.
• Спраг, Томас Бонд (1878). «Аннуитеты»  . Энциклопедия Британника . Т. II (9-е изд.). С. 72–89.