Араго пятно

Яркая точка, которая появляется в центре тени круглого объекта из-за дифракции Френеля.

Фотография пятна Араго в тени круглого препятствия диаметром 5,8 мм.

Эксперимент Араго с пятном. Точечный источник освещает круглый объект, отбрасывая тень на экран. В центре тени из-за дифракции появляется яркое пятно , противоречащее предсказанию геометрической оптики .

Пятно Араго формируется в тени.

Численное моделирование интенсивности монохроматического света с длиной волны λ = 0,5 мкм за круговым препятствием радиусом R = 5 мкм = 10λ .

Формирование пятна Араго (для хорошего качества выберите «Источник WebM»).

В оптике пятно Араго , пятно Пуассона ^{[1] [2]} или пятно Френеля ^{[3] — это яркая точка, которая появляется в центре} тени круглого объекта из-за дифракции Френеля . ^{[4] [5] [6] [7]} Это пятно сыграло важную роль в открытии волновой природы света и является распространенным способом продемонстрировать, что свет ведет себя как волна.

Базовая экспериментальная установка требует точечного источника, такого как освещенное отверстие или расходящийся лазерный луч . Размеры установки должны соответствовать требованиям для дифракции Френеля . А именно, число Френеля должно удовлетворять где $${\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}$$

• d — диаметр круглого объекта,
• ℓ — расстояние между объектом и экраном, а
• λ — длина волны источника.

Наконец, край круглого предмета должен быть достаточно гладким.

Эти условия вместе объясняют, почему яркое пятно не встречается в повседневной жизни. Однако с лазерными источниками, доступными сегодня, несложно провести эксперимент с пятном Араго. ^[8]

В астрономии пятно Араго можно также наблюдать в сильно расфокусированном изображении звезды в ньютоновском телескопе . Там звезда представляет собой почти идеальный точечный источник на бесконечности, а вторичное зеркало телескопа представляет собой круговое препятствие.

Когда свет падает на круглое препятствие, принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка в плоскости препятствия действует как новый точечный источник света. Свет, исходящий из точек на окружности препятствия и идущий к центру тени, проходит точно такое же расстояние, поэтому весь свет, проходящий близко к объекту, достигает экрана в фазе и конструктивно интерферирует . Это приводит к появлению яркого пятна в центре тени, где геометрическая оптика и корпускулярные теории света предсказывают, что света не должно быть вообще.

История

В начале 19 века идея о том, что свет не распространяется просто по прямым линиям, получила распространение. Томас Юнг опубликовал свой эксперимент с двумя щелями в 1807 году. ^[9] Оригинальный эксперимент Араго был проведен десятилетие спустя и стал решающим экспериментом в вопросе о том, является ли свет частицей или волной. Таким образом, это пример experimentalum crusis .

В то время многие отдавали предпочтение корпускулярной теории света Исаака Ньютона, среди них теоретик Симеон Дени Пуассон . ^[10] В 1818 году Французская академия наук объявила конкурс на объяснение свойств света, где Пуассон был одним из членов жюри. Инженер-строитель Огюстен-Жан Френель принял участие в этом конкурсе, представив новую волновую теорию света . ^[11]

Пуассон подробно изучил теорию Френеля и, будучи сторонником корпускулярной теории света, искал способ доказать ее ошибочность. Пуассон считал, что нашел изъян, когда утверждал, что следствием теории Френеля было существование яркого пятна на оси в тени круглого препятствия, где должна быть полная темнота согласно корпускулярной теории света. Это предсказание рассматривалось как абсурдное следствие волновой теории, и провал этого предсказания должен был стать весомым аргументом для отклонения теории Френеля.

Однако глава комитета Доминик-Франсуа-Жан Араго решил провести эксперимент. Он отлил 2-миллиметровый металлический диск на стеклянной пластине с помощью воска. ^[12] Ему удалось наблюдать предсказанное пятно, что убедило большинство ученых в волновой природе света и принесло победу Френелю. ^[13]

Араго позже заметил ^[14] , что это явление (позднее известное как «пятно Пуассона» или «пятно Араго») уже наблюдалось Делилем [ ^15] и Маральди ^[16] столетием ранее.

Хотя экспериментальный результат Араго был неопровержимым доказательством в пользу волновой теории, столетие спустя, в связи с рождением квантовой механики (и впервые предложенным в одной из статей Альберта Эйнштейна Annus Mirabilis ), стало понятно, что свет (а также все формы материи и энергии) следует описывать как частицу и волну ( корпускулярно-волновой дуализм ). Однако частица, связанная с электромагнитными волнами, фотон , не имеет ничего общего с частицами, воображаемыми в корпускулярной теории, которая была доминирующей до возникновения волновой теории и мощной демонстрации Араго. До появления квантовой теории в конце 1920-х годов только волновая природа света могла объяснить такие явления, как дифракция и интерференция . Сегодня известно, что дифракционная картина появляется через мозаичное нарастание ярких пятен, вызванное отдельными фотонами, как и предсказывала квантовая теория Дирака. С увеличением интенсивности света яркие точки в мозаичной дифракционной картине просто собираются быстрее. Напротив, волновая теория предсказывает формирование протяженного непрерывного узора, общая яркость которого увеличивается с интенсивностью света.

Теория

Обозначение для расчета амплитуды волны в точке P ₁ от сферического точечного источника в точке P ₀ .

В основе волновой теории Френеля лежит принцип Гюйгенса-Френеля , который гласит, что каждая свободная точка волнового фронта становится источником вторичной сферической волны и что амплитуда оптического поля E в точке на экране определяется суперпозицией всех этих вторичных волн с учетом их относительных фаз. ^[17] Это означает, что поле в точке P ₁ на экране определяется поверхностным интегралом: где коэффициент наклона , который гарантирует, что вторичные волны не распространяются в обратном направлении, определяется как и $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$$ ${\displaystyle K(\chi )}$ $${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$$

• А — амплитуда исходной волны
• ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$это волновое число
• S — свободная поверхность.

Первый член вне интеграла представляет колебания от исходной волны на расстоянии r ₀ . Аналогично, член внутри интеграла представляет колебания от вторичных вейвлетов на расстоянии r ₁ .

Чтобы вывести интенсивность за круглым препятствием с помощью этого интеграла, предполагается, что экспериментальные параметры удовлетворяют требованиям режима дифракции в ближнем поле (размер круглого препятствия велик по сравнению с длиной волны и мал по сравнению с расстояниями g = P ₀ C и b = CP ₁ ). Переход к полярным координатам ^{[ сомнительно – обсудим ]} дает интеграл для круглого объекта радиусом a (см., например, Борн и Вольф ^[18] ): $${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$$

Осевая интенсивность в центре тени небольшого круглого препятствия сходится к интенсивности без препятствий.

Этот интеграл можно решить численно ^{[ сомнительно – обсудить ]} (см. ниже). Если g велико, а b мало, так что угол не является пренебрежимо малым ^{[ сомнительно – обсудить ],} можно записать интеграл для случая на оси (P ₁ находится в центре тени) как (см. Sommerfeld ^[19] ): ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$$

Интенсивность источника , которая является квадратом амплитуды поля, равна , а интенсивность на экране . Осевая интенсивность как функция расстояния b , следовательно, определяется выражением: ${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$ ${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$ $${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$$

Это показывает, что интенсивность на оси на расстояниях b, намного больших, чем диаметр круглого препятствия, такая же, как интенсивность источника, как если бы круглый объект вообще отсутствовал. Однако на больших расстояниях b оказывается, что размер яркого пятна (как можно увидеть в симуляциях ниже, где b/a увеличивается на последовательных изображениях) больше, поэтому пятно легче различить.

Расчет дифракционных изображений

Чтобы вычислить полное дифракционное изображение, видимое на экране, необходимо рассмотреть поверхностный интеграл из предыдущего раздела. Больше нельзя использовать круговую симметрию, поскольку линия между источником и произвольной точкой на экране не проходит через центр круглого объекта. С функцией апертуры, которая равна 1 для прозрачных частей плоскости объекта и 0 в противном случае (т. е. она равна 0, если прямая линия между источником и точкой на экране проходит через блокирующий круглый объект), интеграл, который необходимо решить, определяется как: ${\displaystyle g(r,\theta )}$ $${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}$$

Численное вычисление интеграла с использованием формулы трапеций или формулы Симпсона неэффективно и становится численно неустойчивым, особенно для конфигураций с большим числом Френеля . Однако можно решить радиальную часть интеграла так, чтобы численно осталось выполнить только интегрирование по азимутальному углу. ^[20] Для конкретного угла необходимо решить линейный интеграл для луча с началом в точке пересечения прямой P ₀ P ₁ с круговой плоскостью объекта. Вклад для конкретного луча с азимутальным углом и проходящего прозрачную часть плоскости объекта от до равен: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle r=t}$ $${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$$

Таким образом, для каждого угла необходимо вычислить точку( и ) пересечения луча с круглым объектом, а затем просуммировать вклады для определенного количества углов между 0 и . Результаты такого расчета показаны на следующих изображениях. ${\displaystyle I(\theta _{1})}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Изображения являются имитацией пятна Араго в тени дисков диаметром 4 мм, 2 мм и 1 мм, снятых на расстоянии 1 м позади каждого диска. Диски освещаются светом с длиной волны 633 нм, расходящимся из точки на расстоянии 1 м перед каждым диском. Каждое изображение имеет ширину 16 мм.

Экспериментальные аспекты

Интенсивность и размер

Для идеального точечного источника интенсивность пятна Араго равна интенсивности невозмущенного волнового фронта . Только ширина пика интенсивности пятна Араго зависит от расстояний между источником, круглым объектом и экраном, а также от длины волны источника и диаметра круглого объекта. Это означает, что можно компенсировать уменьшение длины волны источника , увеличив расстояние между круглым объектом и экраном или уменьшив диаметр круглого объекта.

Поперечное распределение интенсивности на экране фактически имеет форму квадрата нулевой функции Бесселя первого рода , когда оно находится вблизи оптической оси и используется источник плоской волны (точечный источник на бесконечности): ^[21] где $${\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}$$

• r — расстояние точки P ₁ на экране от оптической оси
• d — диаметр круглого объекта
• λ — длина волны
• b — расстояние между круглым объектом и экраном.

На следующих изображениях показано радиальное распределение интенсивности смоделированных изображений пятна Араго, представленных выше:

Красные линии на этих трех графиках соответствуют смоделированным изображениям выше, а зеленые линии были рассчитаны путем применения соответствующих параметров к квадрату функции Бесселя, приведенной выше.

Конечный размер источника и пространственная когерентность

Основная причина, по которой пятно Араго трудно наблюдать в круглых тенях от обычных источников света, заключается в том, что такие источники света являются плохими аппроксимациями точечных источников. Если источник волны имеет конечный размер S , то пятно Араго будет иметь протяженность, которая задается как Sb / g , как если бы круглый объект действовал как линза. ^[17] В то же время интенсивность пятна Араго уменьшается по отношению к интенсивности невозмущенного волнового фронта. Определяя относительную интенсивность как интенсивность, деленную на интенсивность невозмущенного волнового фронта, относительную интенсивность для протяженного круглого источника диаметром w можно точно выразить с помощью следующего уравнения: ^[22] где и - функции Бесселя первого рода. - радиус диска, отбрасывающего тень, длина волны и расстояние между источником и диском. Для больших источников применимо следующее асимптотическое приближение: ^[22] ${\displaystyle I_{\text{rel}}}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}$$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}$$

Отклонение от округлости

Если поперечное сечение круглого объекта немного отклоняется от его круглой формы (но все еще имеет острый край в меньшем масштабе), форма пятна Араго точечного источника изменяется. В частности, если объект имеет эллипсоидальное поперечное сечение, пятно Араго имеет форму эволюты . [ ^23] Обратите внимание, что это имеет место только в том случае, если источник близок к идеальному точечному источнику. Со стороны протяженного источника пятно Араго изменяется лишь незначительно, поскольку можно интерпретировать пятно Араго как функцию рассеяния точки . Таким образом, изображение протяженного источника только размывается из-за свертки с функцией рассеяния точки, но его общая интенсивность не уменьшается.

Шероховатость поверхности круглого объекта

Пятно Араго очень чувствительно к небольшим отклонениям от идеального круглого сечения. Это означает, что небольшая шероховатость поверхности круглого объекта может полностью нейтрализовать яркое пятно. Это показано на следующих трех диаграммах, которые являются имитациями пятна Араго от диска диаметром 4 мм ( g = b = 1 м ):

Моделирование включает в себя регулярную синусоидальную гофрировку круглой формы амплитудой 10 мкм, 50 мкм и 100 мкм соответственно. Обратите внимание, что гофрировка края в 100 мкм практически полностью удаляет центральное яркое пятно.

Этот эффект лучше всего понять, используя концепцию зоны Френеля . Поле, передаваемое радиальным сегментом, который исходит из точки на краю препятствия, обеспечивает вклад, фаза которого близка к положению точки края относительно зон Френеля. Если дисперсия радиуса препятствия намного меньше ширины зоны Френеля вблизи края, вклады радиальных сегментов приблизительно совпадают по фазе и интерферируют конструктивно. Однако, если случайная гофрировка края имеет амплитуду, сравнимую или большую, чем ширина этой соседней зоны Френеля, вклады радиальных сегментов больше не совпадают по фазе и компенсируют друг друга, уменьшая интенсивность пятна Араго.

Соседняя зона Френеля приблизительно определяется по формуле: ^[24] $${\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}$$

Рифление края не должно превышать 10% этой ширины, чтобы увидеть пятно Араго, близкое к идеальному. В приведенных выше симуляциях с диском диаметром 4 мм прилегающая зона Френеля имеет ширину около 77 мкм.

Пятно Араго с волнами материи

В 2009 году был продемонстрирован эксперимент с пятном Араго с использованием сверхзвукового расширяющегося пучка молекул дейтерия (пример волн нейтральной материи ). ^[24] Материальные частицы, ведущие себя как волны, известны из квантовой механики . Волновая природа частиц на самом деле восходит к гипотезе де Бройля ^[25], а также к экспериментам Дэвиссона и Джермера . ^[26] Пятно Араго из электронов, которые также представляют собой волны материи, можно наблюдать в просвечивающих электронных микроскопах при изучении круглых структур определенного размера.

Наблюдение за пятном Араго с крупными молекулами, доказывающее их волновую природу, является темой современных исследований. ^[24]

Другие приложения

Помимо демонстрации поведения волн, пятно Араго имеет также несколько других применений. Одна из идей заключается в использовании пятна Араго в качестве прямой линии отсчета в системах выравнивания. ^[27] Другая идея заключается в исследовании аберраций в лазерных лучах с использованием чувствительности пятна к аберрациям луча . ^[21] Наконец, арагоскоп был предложен как метод для значительного улучшения разрешения, ограниченного дифракцией, космических телескопов. ^{[28] [29]}

Смотрите также

• Арагоскоп
• Диск затмения

Ссылки

1. Лоу, Джонатан; Ренни, Ричард (2015), «Пятно Пуассона», Словарь физики , Oxford University Press , стр. 444, ISBN 978-0198714743, СБН-10: 0198714742
2. Хехт, Юджин; Заяц, Альфред (1974), "10.3, "Дифракция"", Оптика (1-е изд.), Эддисон Уэсли , стр. 374, ISBN 0-201-02835-2
3. "Хотя это явление часто называют пятном Пуассона, Пуассон, вероятно, не был рад его увидеть, поскольку оно подтверждало волновую модель света. Пятно иногда называют пятном Френеля, потому что оно является прямым следствием его работы, и пятном Араго, потому что Араго придумал эксперимент, который подтвердил его существование". Кац, Дебора М., Физика для ученых и инженеров: основы и связи, Расширенное издание, Том 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203 
4. Педротти, Фрэнк Л.; Педротти, Лено С.; Педротти, Лено М. (2007), Введение в оптику (3-е изд.), Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Pearson Education , стр. 315, ISBN 978-0-13-149933-1
5. Уокер, Джерл (2008), Основы физики (8-е изд.), John Wiley & Sons , стр. 992, ISBN 978-0-470-04472-8
6. Оганян, Ганс (1989), Физика (2-е изд.), WW Norton , стр. 984, ISBN 0-393-95786-1
7. Хехт, Юджин (2002), Оптика (4-е изд.), Pearson Education, стр. 494, ISBN 0-321-18878-0
8. «Пятно Пуассона».
9. Янг, Томас (1807), Курс лекций по натуральной философии и механическим искусствам, Лондон: Джозеф Джонсон, ISBN 9780384704060
10. Ньютон, Исаак (1704), Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света, Лондон: Королевское общество
11. Френель, AJ (1868), OEuvres Completes 1, Париж: Imprimerie impériale
12. Френель 1868, стр. 369
13. Араго (1819). «Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été chargee d'examiner les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la diffraction» [Доклад г-на Араго Академии наук от имени комиссии, которой было поручено рассмотреть мемуары, представленные на конкурс на премия по дифракции.]. Annales de Chimie et de Physique . 2-я серия (на французском языке). 11 :5–30.Из стр. 16: «L’un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l’auteur, le sultat only que le center de l’ombre d’un écran circulaire непрозрачный devait, lorsque les rayons y penétraient sous des Incidents пеу косые, être aussi éclairé que si l’écran n’existait pas. Cette consequence a été soumise à l’épreuve d’une expérience, et l’bservation a parfaitement confirmé le Calcul (e)». (Один из ваших уполномоченных, г-н Пуассон, вывел из интегралов, [которые были] сообщены автором [т. е. г-ном Френелем], странный результат, что центр тени непрозрачного круглого экрана должен — когда [световые] лучи проникают в него [т. е. в тень] при слегка косом падении — также освещаются так, как будто экрана не существует. Этот результат был подвергнут проверке прямым экспериментом, и наблюдение полностью подтвердило расчет ( е).)
14. Араго, Ф. «Мемуар о методе применения интерференций в поисках показателей преломления». Œuvres Completes . стр. 312–334. Непрозрачный корпус Lorsqu'un - это место в светильнике, его омбре - это бордюр, внешний вид полос различных нюансов и больших размеров. Ces Bandes ont été étudiées par Newton dans le Premier livre de Son Optique; Больше всего знаменитый врач не говорит о полосах, которые не являются моими замечательными, которые формируются в внутренней части тела умерших, а Гримальди в этом дне не описывает детали в своем сыне, и он подтверждает мой позитивный момент, когда он светится не проник в геометрический омбре. Неточность этого результата оказалась достаточной для Маральди и Де-л'Иля, который, на отдыхе, не был похож на то, что Гримальди ждал долгого времени. [Когда непрозрачное тело помещается в луч света, его тень снаружи окаймляется полосами различных оттенков и ширины. Эти полосы изучались Ньютоном в первой книге его «Оптики»; но этот знаменитый физик не говорит о не менее замечательные полосы, которые образуются внутри тени свободных тел, хотя Гримальди уже дал их подробное описание в своей работе, и он даже утверждает положительно, что никакой свет не проникает в геометрическую тень. Неточность этого результата была [достаточно доказано Маральди и Делилем, которые, кроме того, не добавили ничего существенного к тому, что Гримальди открыл задолго до этого.]
15. Делиль, Ж.-Н. (1715). «Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'on apperçoit autour de la lune dans les eclipses totales du sunil» [Об опыте, о котором я сообщил Академии о светящееся кольцо, подобное тому, которое можно увидеть вокруг Луны во время полного солнечного затмения]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (на французском языке): 166–169. Делиль упоминает, что когда небольшой мяч освещался солнечным светом, тень мяча содержала чередующиеся яркие и темные кольца, концентрические с центром тени мяча.
16. Маральди, Г.Ф. (1723). «Различные оптические эксперименты». Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (на французском языке): 111–143. Со стр. 140: "La lumiere plus grande au milieu des boules plus petites, fait voir qu'elle circule en plus grande abondance & plus facilement autour des petites boules qu'autour des grandes". (Больше света в середине меньших шаров показывает, что он [т. е. свет] распространяется в большем количестве и легче вокруг маленьких шаров, чем вокруг больших [шаров].) Рис. 8 на пластине 6 (после стр. 142) показывает свет в центре тени шара (в режиме, когда пятно и его бахрома покрывают большую часть тени).
17. Sommerfeld, Arnold (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (на немецком языке), vol. 4 (3-е изд.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8
18. Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1999), Принципы оптики (7-е, расширенное издание), Cambridge University Press , ISBN 0-521-64222-1
19. Зоммерфельд 1978, стр. 186
20. Даугер, Д. Э. (ноябрь 1996 г.), «Моделирование и изучение дифракции Френеля для произвольных двумерных апертур», Компьютеры в физике , 10 (6), AIOP: 591–604, Bibcode : 1996ComPh..10..591D, doi : 10.1063/1.168584
21. Harvey, James E.; Forgham, James L. (1984), «Пятно Араго: новое значение старого явления», American Journal of Physics , 52 (3), AAPT: 243–247, Bibcode : 1984AmJPh..52..243H, doi : 10.1119/1.13681, архивировано из оригинала 23.02.2013
22. Reisinger, T; Leufke, PM; Gleiter, H; Hahn, H (2017-03-14). "Об относительной интенсивности пятна Пуассона". New Journal of Physics . 19 (3): 033022. Bibcode : 2017NJPh...19c3022R. doi : 10.1088/1367-2630/aa5e7f . ISSN  1367-2630.
23. Коулсон, Джон; Бекнелл, ГГ (1922), «Взаимные дифракционные соотношения между круглыми и эллиптическими пластинами», Phys. Rev. , 20 (6), Американское физическое общество : 594–600, Bibcode : 1922PhRv...20..594C, doi : 10.1103/PhysRev.20.594
24. Рейзингер, Томас; Патель, А. Амил; Рейнгрубер, Герберт; Фладишер, Катрин; Эрнст, Вольфганг Э.; Бракко, Джананджело; Смит, Генри И.; Хольст, Бодил (2009), "Пятно Пуассона с молекулами" (PDF) , Phys. Rev. A , 79 (5), Американское физическое общество: 053823, Bibcode : 2009PhRvA..79e3823R, doi : 10.1103/PhysRevA.79.053823, hdl : 1721.1/51340
25. де Бройль, Луи (1923), «Волны и кванты», Nature , 112 (2815): 540, Bibcode : 1923Natur.112..540D, doi : 10.1038/112540a0 , S2CID  4082518
26. Дэвиссон, К.; Гермер, Л. (1927), «Дифракция электронов на кристалле никеля», Nature , 119 (2998): 558, Bibcode : 1927Natur.119..558D, doi : 10.1038/119558a0, S2CID  4104602
27. Фейер и др.
28. "Арагоскоп: оптика сверхвысокого разрешения по низкой цене". NASA . Получено 9 февраля 2017 г.
29. "Новая концепция космического телескопа может отображать объекты с гораздо более высоким разрешением, чем Хаббл". CU Bolder Today . 23 января 2015 г. Получено 9 февраля 2017 г.