В математической области теории порядка элемент a частично упорядоченного множества с наименьшим элементом 0 является атомом , если 0 < a и не существует x такого, что 0 < x < a .
Эквивалентно, можно определить атом как элемент, который является минимальным среди ненулевых элементов, или, альтернативно, как элемент, который охватывает наименьший элемент 0 .
Пусть <: обозначает отношение покрытия в частично упорядоченном множестве.
Частично упорядоченное множество с наименьшим элементом 0 является атомарным , если каждый элемент b > 0 имеет атом a под собой, то есть существует некоторое a такое, что b ≥ a :> 0. Каждое конечное частично упорядоченное множество с 0 является атомарным, но множество неотрицательных действительных чисел (упорядоченное обычным образом) не является атомарным (и фактически не имеет атомов).
Частично упорядоченное множество является относительно атомарным (или строго атомарным ), если для всех a < b существует элемент c такой, что a <: c ≤ b или, что эквивалентно, если каждый интервал [ a , b ] является атомарным. Каждое относительно атомарное частично упорядоченное множество с наименьшим элементом является атомарным. Каждое конечное частично упорядоченное множество является относительно атомарным.
Частично упорядоченный набор с наименьшим элементом 0 называется атомистическим (не путать с атомарным ), если каждый элемент является наименьшей верхней границей набора атомов. Линейный порядок с тремя элементами не является атомистическим (см. рис. 2).
Атомы в частично упорядоченных множествах являются абстрактными обобщениями синглтонов в теории множеств (см. рис. 1). Атомичность (свойство быть атомарным) обеспечивает абстрактное обобщение в контексте теории порядка возможности выбора элемента из непустого множества.
Термины coatom , coatomic и coatomistic определяются дуально. Таким образом, в частично упорядоченном множестве с наибольшим элементом 1 говорят, что