Теорема Балиана–Лоу

В математике теорема Балиана –Лоу в анализе Фурье названа в честь Роджера Балиана и Фрэнсиса Э. Лоу . Теорема утверждает, что не существует хорошо локализованной оконной функции (или атома Габора ) g ни по времени, ни по частоте для точного кадра Габора (базис Рисса).

Заявление

Предположим, что g — квадратично-интегрируемая функция на действительной прямой , и рассмотрим так называемую систему Габора

${\displaystyle g_{m,n}(x)=e^{2\pi imbx}g(x-na),}$

для целых чисел m и n и a,b>0, удовлетворяющих ab=1 . Теорема Балиана–Лоу утверждает, что если

${\displaystyle \{g_{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

является ортонормированным базисом для гильбертова пространства

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$

тогда либо

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|g(x)|^{2}\;dx=\infty \quad {\textrm {or}}\quad \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {g}}(\xi )|^{2}\;d\xi =\infty .}$

Обобщения

Теорема Балиана–Лоу была распространена на точные рамки Габора .

Смотрите также

• Фильтр Габора (при обработке изображений)

Ссылки

• Бенедетто, Джон Дж.; Хейл, Кристофер; Уолнат, Дэвид Ф. (1994). «Дифференциация и теорема Балиана–Лоу». Журнал анализа Фурье и приложений . 1 (4): 355–402. CiteSeerX  10.1.1.118.7368 . doi :10.1007/s00041-001-4016-5.

В данной статье использованы материалы Balian-Low на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .