G-функция Барнса

График Барнса G, также известной как двойная гамма-функция G(z), в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике G-функция Барнса G ( z ) — это функция , которая является расширением суперфакториалов до комплексных чисел . Она связана с гамма-функцией , K-функцией и константой Глейшера-Кинкелина и была названа в честь математика Эрнеста Уильяма Барнса . ^[1] Это можно записать в терминах двойной гамма-функции .

Формально G -функция Барнса определяется в следующей форме произведения Вейерштрасса :

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

где – константа Эйлера–Машерони , exp ( x ) = e ^x – показательная функция, а Π обозначает умножение ( заглавная буква «пи» ). ${\displaystyle \,\gamma }$

Интегральное представление, которое можно вывести из связи с двойной гамма-функцией , равно

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

Как целая функция G имеет второй порядок и бесконечный тип . Это можно вывести из асимптотического разложения, приведенного ниже.

Функциональное уравнение и целочисленные аргументы

G -функция Барнса удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

с нормировкой G (1) = 1. Обратите внимание на сходство функционального уравнения G-функции Барнса и гамма- функции Эйлера :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

Функциональное уравнение подразумевает, что G принимает следующие значения при целочисленных аргументах:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

(в частности, ) и, таким образом, ${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

где обозначает гамма-функцию , а K обозначает K-функцию . Функциональное уравнение однозначно определяет G-функцию Барнса, если выполнено условие выпуклости ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

добавлен. ^[2] Кроме того, G-функция Барнса удовлетворяет формуле дублирования: ^[3]

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}$

Характеристика

Аналогично теореме Бора-Моллерупа для гамма-функции для константы имеем для ^[4] ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(x)=cG(x)}$

${\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)}$

и для ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}$

как . ${\displaystyle n\to \infty }$

Значение в размере 1/2

${\displaystyle {\begin{aligned}G\left({\tfrac {1}{2}}\right)&=2^{\frac {1}{24}}\,e^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\\&=2^{\frac {1}{24}}\,e^{\frac {1}{8}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,A^{-{\frac {3}{2}}},\end{aligned}}}$

где – константа Глейшера–Кинкелина . ^{[ нужна ссылка ] [ важность? ]} ${\displaystyle A}$

Формула отражения 1.0

Разностное уравнение для G-функции в сочетании с функциональным уравнением для гамма-функции можно использовать для получения следующей формулы отражения для G-функции Барнса (первоначально доказанной Германом Кинкелином ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

Интеграл логтангенса в правой части можно оценить через функцию Клаузена (порядка 2), как показано ниже:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Доказательство этого результата основано на следующей оценке котангенс-интеграла: введении обозначения логкокасательного интеграла и использовании того факта , что интегрирование по частям дает ${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$ ${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Выполнение интегральной замены дает ${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

Функция Клаузена второго порядка имеет интегральное представление

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Однако внутри интервала знак абсолютного значения в подынтегральном выражении можно опустить, поскольку внутри этого интервала функция «полусинусоида» в интеграле строго положительна и строго отлична от нуля. Сравнивая это определение с приведенным выше результатом для логтангенсного интеграла, очевидно, что имеет место следующее соотношение: ${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Таким образом, после небольшой перестановки членов доказательство завершено:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Использование соотношения и деление формулы отражения на коэффициент дает эквивалентную форму: ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$ ${\displaystyle \,2\pi }$

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Ссылка: см. Адамчика ниже, где приведена эквивалентная форма формулы отражения , но с другим доказательством.

Формула отражения 2.0

Замена z на (1/2) −  z'' в предыдущей формуле отражения дает после некоторого упрощения эквивалентную формулу, показанную ниже (с использованием полиномов Бернулли ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Расширение ряда Тейлора

По теореме Тейлора и с учетом логарифмических производных функции Барнса можно получить следующее разложение в ряд:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Это действительно для . Вот дзета - функция Римана : ${\displaystyle \,0<z<1}$ ${\displaystyle \,\zeta (x)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Возведение в степень обеих сторон разложения Тейлора дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Сравнение этого с формой произведения Вейерштрасса функции Барнса дает следующее соотношение:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Формула умножения

Как и гамма-функция, G-функция также имеет формулу умножения: ^[5]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

где константа, определяемая следующим образом: ${\displaystyle K(n)}$

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Здесь – производная дзета -функции Римана , – константа Глейшера–Кинкелина . ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$

Абсолютная величина

Это верно , таким образом . Из этого соотношения и представленной выше формы произведения Вейерштрасса можно показать, что ${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$ ${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Это соотношение справедливо для произвольных , и . Если , то вместо этого действительна приведенная ниже формула: ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

для произвольного действительного y .

Асимптотическое расширение

Логарифм G ( z + 1) имеет следующее асимптотическое разложение, установленное Барнсом :

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Здесь – числа Бернулли , – константа Глейшера –Кинкелина . (Обратите внимание, что во времена Барнса ^[6] число Бернулли несколько сбивало с толку , но это соглашение больше не актуально.) Это разложение справедливо для любого сектора, не содержащего отрицательную действительную ось с большим. ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{2k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$

Связь с интегралом логгаммы

Параметрическую логгамму можно оценить с помощью G-функции Барнса (ссылка: этот результат найден у Адамчика ниже, но сформулирован без доказательства):

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

Доказательство несколько косвенное и включает сначала рассмотрение логарифмической разности гамма-функции и G-функции Барнса:

${\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

где

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}}$

и – постоянная Эйлера–Машерони . ${\displaystyle \,\gamma }$

Логарифмирование форм произведения Вейерштрасса G-функции Барнса и гамма-функции дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}}$

Небольшое упрощение и изменение порядка терминов дает расширение ряда:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}}$

Наконец, возьмите логарифм произведения Вейерштрасса гамма - функции и проинтегрируйте его по интервалу, чтобы получить: ${\displaystyle \,[0,\,z]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}}$

Приравнивание двух оценок завершает доказательство:

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

И с тех пор, ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}$

Рекомендации

1. Э. У. Барнс, «Теория G-функции», Ежеквартальный журнал. Чистый и прикладной. Математика. 31 (1900), 264–314.
2. MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL ${\displaystyle (2,\mathbb {Z} )}$ , Asterisque 61 , 235–249 (1979).
3. Пак, Джунесанг (1996). «Формула дублирования двойной гамма-функции $Gamma_2$». Бюллетень Корейского математического общества . 33 (2): 289–294.
4. Маришаль, Жан Люк. Обобщение теоремы Бора-Моллерапа для выпуклых функций высшего порядка (PDF) . Спрингер. п. 218.
5. И. Варди, Определители лапласианов и множественные гамма-функции , SIAM J. Math. Анальный. 19 , 493–507 (1988).
6. ET Whittaker и GN Watson , « Курс современного анализа », CUP.

• Аски, РА; Рой, Р. (2010), «G-функция Барнса», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.

• Адамчик, Виктор С. (2003). «Вклад в теорию функции Барнса». arXiv : math/0308086 .