Постулат Бертрана

Жозеф Луи Франсуа Бертран

Существование простого числа между любым числом и его двойником

В теории чисел постулат Бертрана — это теорема о том, что для любого целого числа существует по крайней мере одно простое число с ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Менее ограничительная формулировка такова: для каждого всегда существует по крайней мере одно простое число такое, что ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n.}$

Другая формулировка, где - -й простой, такова: для ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[1]

Это утверждение было впервые высказано в 1845 году Жозефом Бертраном ^[2] (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех целых чисел . ${\displaystyle 2\leq n\leq 3\,000\,000}$

Его гипотеза была полностью доказана Чебышевым (1821–1894) в 1852 году ^[3] , и поэтому постулат также называется теоремой Бертрана–Чебышёва или теоремой Чебышёва . Теорему Чебышёва можно также сформулировать как соотношение с , функцией подсчёта простых чисел (числом простых чисел , меньших или равных ): ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.}$

Теорема о простых числах

Теорема о простых числах (ТПЧ) подразумевает, что число простых чисел до x , π(x) , примерно равно x /log( x ), поэтому, если мы заменим x на 2 x, то мы увидим, что число простых чисел до 2 x асимптотически вдвое больше числа простых чисел до x (термины log(2 x ) и log( x ) асимптотически эквивалентны). Следовательно, число простых чисел между n и 2 n примерно равно n /log( n ), когда n велико, и поэтому, в частности, в этом интервале гораздо больше простых чисел , чем гарантируется постулатом Бертрана. Поэтому постулат Бертрана сравнительно слабее ТПЧ. Но ТПЧ — это глубокая теорема, в то время как Постулат Бертрана может быть сформулирован более запоминающимся и доказан более легко, а также содержит точные утверждения о том, что происходит при малых значениях n . (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до ТПЧ и поэтому представляет исторический интерес.)

Похожая и до сих пор не решенная гипотеза Лежандра спрашивает  , существует ли для каждого n ≥ 1 простое число p такое, что n ² < p < ( n  + 1) ² . Опять же, мы ожидаем, что будет не одно, а много простых чисел между n ² и ( n  + 1) ² , но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до x ² асимптотически равно x ² /log( x ² ), в то время как количество простых чисел до ( x  + 1) ² асимптотически равно ( x + 1  ) ² /log(( x  + 1) ² ), что асимптотически равно оценке для простых чисел до x ² . Таким образом, в отличие от предыдущего случая x и 2 x , мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра для больших n . Оценки погрешности в PNT недостаточны (и не могут быть достаточными) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале. Более подробно, ПНТ позволяет оценить границы для всех ε > 0 , существует S такое, что для x > S :

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;<\;\pi (x^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;,}$

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;<\;\pi ((x+1)^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;.}$

Соотношение между нижней границей π((x+1) ² ) и верхней границей π(x ² ) равно

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\log x}{\log(x+1)}}\cdot {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\;.}$

Обратите внимание, что поскольку при , для всех x > 0 и для фиксированного ε существует R такое, что указанное выше отношение меньше 1 для всех x > R . Таким образом, это не гарантирует, что существует простое число между π(x ² ) и π((x+1) ² ) . В более общем смысле, этих простых границ недостаточно, чтобы доказать, что существует простое число между π(x ⁿ ) и π((x+1) ⁿ ) для любого положительного целого числа n > 1 . ${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\frac {\log x}{\log(x+1)}}<1}$ ${\displaystyle {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}<1}$

Обобщения

В 1919 году Рамануджан (1887–1920) использовал свойства гамма-функции , чтобы дать более простое доказательство, чем у Чебышева. ^[4] Его короткая статья включала обобщение постулата, из которого позже возникло понятие простых чисел Рамануджана . Были также обнаружены дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

где p _{k —} k-е простое число, а R _{n —} n-е простое число Рамануджана.

Другие обобщения постулата Бертрана были получены с использованием элементарных методов. (В дальнейшем n пробегает множество положительных целых чисел.) В 1973 году Денис Хансон доказал, что существует простое число между 3 n и 4 n . ^[5] В 2006 году, по-видимому, не зная о результате Хансона, М. Эль-Бачрауи предложил доказательство того, что существует простое число между 2 n и 3 n . ^[6] Шевелев, Грейтхаус и Мозес (2013) обсуждают связанные результаты для подобных интервалов. ^[7]

Постулат Бертрана над гауссовыми целыми числами является расширением идеи распределения простых чисел, но в этом случае на комплексной плоскости. Таким образом, поскольку гауссовы простые числа простираются на плоскости, а не только вдоль линии, а удвоение комплексного числа — это не просто умножение на 2, а удвоение его нормы (умножение на 1+i), разные определения приводят к разным результатам, некоторые из них все еще являются гипотезами, некоторые — доказанными. ^[8]

Теорема Сильвестра

Постулат Бертрана был предложен для приложений к группам перестановок . Сильвестр (1814–1897) обобщил более слабое утверждение утверждением: произведение k последовательных целых чисел, больших k, делится на простое число , большее k . (Более слабый) постулат Бертрана следует из этого, если взять k  =  n и рассмотреть k чисел n  + 1, n  + 2, вплоть до n  +  k = 2 n , где n  > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из этих чисел имеет простой множитель, больший  k . Поскольку все эти числа меньше 2( k  + 1), число с простым множителем, большим  k, имеет только один простой множитель и, таким образом, является простым. Обратите внимание, что 2 n не является простым числом, и, таким образом, теперь мы действительно знаем, что существует простое число  p с n  <  p  < 2 n .

Теоремы Эрдёша

В 1932 году Эрдёш (1913–1996) также опубликовал более простое доказательство с использованием биномиальных коэффициентов и функции Чебышёва , определяемой как: ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\log(p)}$

где p ≤ x пробегает простые числа. Подробности см. в доказательстве постулата Бертрана . ^[9]

В 1934 году Эрдёш доказал, что для любого положительного целого числа k существует натуральное число N такое, что для всех n  >  N существует по крайней мере k простых чисел между n и 2 n . Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. Рамануджан простое число ).

Лучшие результаты

Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного числа существует такое , что для всех существует простое число такое, что . Можно показать, например, что ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}>0}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

что подразумевает, что стремится к бесконечности (и, в частности, больше 1 для достаточно больших ). ^[10] ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ ${\displaystyle n}$

Также были доказаны неасимптотические границы. В 1952 году Дзицуро Нагура доказал, что для всегда существует простое число между и . ^[11] ${\displaystyle n\geq 25}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n}$

В 1976 году Лоуэлл Шенфельд показал , что для всегда существует простое число в открытом интервале . ^[12] ${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n}$

В своей докторской диссертации 1998 года Пьер Дюсар улучшил приведенный выше результат, показав, что для , и в частности для , существует простое число в интервале . ^[13] ${\displaystyle k\geq 463}$ ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 3\,275}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{x}}}\right)x}$

В 2010 году Пьер Дюсар доказал, что для существует по крайней мере одно простое число в интервале . ^[14] ${\displaystyle x\geq 396\,738}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\log ^{2}{x}}}\right)x}$

В 2016 году Пьер Дюсар улучшил свой результат 2010 года, показав (Предложение 5.4), что если , то в интервале есть по крайней мере одно простое число . ^[15] Он также показывает (Следствие 5.5), что для , то в интервале есть по крайней мере одно простое число . ${\displaystyle x\geq 89\,693}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\log ^{3}{x}}}\right)x}$ ${\displaystyle x\geq 468\,991\,632}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\log ^{2}{x}}}\right)x}$

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что существует простое число в интервале для всех достаточно больших . ^[16] ${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

Дудек доказал , что для всех существует по крайней мере одно простое число между и . ^[17] ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$

Дудек также доказал, что гипотеза Римана подразумевает, что для всех существует простое число, удовлетворяющее ${\displaystyle x\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$^[18]

Последствия

• Последовательность простых чисел вместе с 1 является полной последовательностью ; любое положительное целое число можно записать в виде суммы простых чисел (и 1), используя каждое из них не более одного раза .
• Единственное гармоническое число , которое является целым числом, — это число 1. ^[19]

Смотрите также

• Гипотеза Оппермана
• Основной разрыв
• Доказательство постулата Бертрана
• Рамануджан премьер

Примечания

1. Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 181. ISBN 978-0-387-20169-6.
2. Бертран, Жозеф (1845), «Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme.», Journal de l'École Royale Polytechnique (на французском языке), 18 (Cahier 30) : 123–140.
3. Чебычев, П. (1852), «Mémoire sur les nombres premiers». (PDF) , Journal de mathématiques pures et appliquées , Série 1 (на французском языке): 366–390.. (Доказательство постулата: 371-382). См. также Чебычев П. (1854), «Mémoire sur les nombres premiers», Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (на французском языке), 7 : 15–33.
4. Рамануджан, С. (1919), «Доказательство постулата Бертрана», Журнал Индийского математического общества , 11 : 181–182
5. Хансон, Денис (1973), «О теореме Сильвестра и Шура», Канадский математический вестник , 16 (2): 195–199, doi : 10.4153/CMB-1973-035-3.
6. Эль Бахрауи, Мохамед (2006), «Простые числа в интервале [2n,3n]», Международный журнал современных математических наук , 1
7. Шевелев, Владимир; Грейтхаус, Чарльз Р.; Мозес, Питер Дж. К. (2013), «Об интервалах (kn, (k + 1)n), содержащих простое число для всех n > 1» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 16 (7), ISSN  1530-7638
8. Мадхупарна Дас (2019), Обобщение постулата Бертрана для гауссовых простых чисел , arXiv : 1901.07086v2
9. Эрдёш, П. (1932), "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" (PDF) , Acta Litt. наук. (Сегед) (на немецком языке), 5 (1930–1932): 194–198.
10. GH Hardy и EM Wright, Введение в теорию чисел , 6-е изд., Oxford University Press, 2008, стр. 494.
11. Нагура, Дж. (1952), «Об интервале, содержащем хотя бы одно простое число», Труды Японской академии, Серия A , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
12. Лоуэлл Шенфельд (апрель 1976 г.), «Более точные оценки функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ), II», Математика вычислений , 30 (134): 337–360, doi :10.2307/2005976, JSTOR  2005976
13. Дюсар, Пьер (1998), Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers (PDF) (докторская диссертация) (на французском языке)
14. Дюсарт, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442 [math.NT].
15. Дюсарт, Пьер (2016), «Явные оценки некоторых функций над простыми числами», The Ramanujan Journal , 45 : 227–251, doi :10.1007/s11139-016-9839-4, S2CID  125120533
16. Бейкер, RC; Харман, G.; Пинц, J. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II», Труды Лондонского математического общества , 83 (3): 532–562, CiteSeerX 10.1.1.360.3671 , doi :10.1112/plms/83.3.532, S2CID  8964027 
17. Дудек, Адриан (декабрь 2016 г.), «Явный результат для простых чисел между кубами», Funct. Approx. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3, S2CID  119143089
18. Дудек, Адриан В. (21 августа 2014 г.), «О гипотезе Римана и разнице между простыми числами», Международный журнал теории чисел , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D, doi : 10.1142/S1793042115500426, ISSN  1793-0421, S2CID  119321107
19. Рональд Л., Грэм; Дональд Э., Кнут; Орен, Паташник (1994). Конкретная математика: основа компьютерной науки . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55802-9.

Библиография

• П. Эрдёш (1934), «Теорема Сильвестра и Шура», Журнал Лондонского математического общества , 9 (4): 282–288, doi :10.1112/jlms/s1-9.4.282
• Дзицуро Нагура (1952), «Об интервале, содержащем хотя бы одно простое число», Proc. Japan Acad. , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
• Крис Колдуэлл, постулат Бертрана в глоссарии Prime Pages .
• H. Ricardo (2005), «Гипотеза Гольдбаха подразумевает постулат Бертрана», Amer. Math. Monthly , 112 : 492
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Т. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Press. С. 49. ISBN 978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009), «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана», Amer. Math. Monthly , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609

Внешние ссылки

• Сондов, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Постулат Бертрана». MathWorld .
• Доказательство слабой версии в системе Мицара : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Постулат Бертрана — доказательство слабой версии на www.dimostriamogoldbach.it/en/