Бесплатная презентация

В алгебре — модуль над кольцом.

В алгебре свободным представлением модуля M над коммутативным кольцом R называется точная последовательность R -модулей :

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.}$

Обратите внимание, что изображение под g стандартного базиса порождает M. В частности, если J конечно, то M является конечно порожденным модулем . Если I и J являются конечными множествами, то представление называется конечным представлением ; модуль называется конечно представленным, если он допускает конечное представление.

Поскольку f является гомоморфизмом модулей между свободными модулями , его можно визуализировать как (бесконечную) матрицу с элементами в R и M в качестве ее коядра .

Свободное представление всегда существует: любой модуль является частным свободного модуля: , но тогда ядро ​​g снова является частным свободного модуля: . Комбинация f и g является свободным представлением M . Теперь, очевидно, можно продолжать «разрешать» ядра таким образом; результат называется свободным разрешением . Таким образом , свободное представление является ранней частью свободного разрешения. ${\displaystyle F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0}$ ${\displaystyle F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0}$

Представление полезно для вычислений. Например, поскольку тензорное преобразование является точным справа , тензорное преобразование вышеприведенного представления с модулем, скажем, N , дает:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

Это говорит о том, что является коядром . Если N также является кольцом (и, следовательно, R -алгеброй ), то это представление N -модуля ; то есть представление расширяется относительно расширения базы. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f\otimes 1}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Для левоточных функторов существует, например,

Предложение  —  Пусть F , G — точные слева контравариантные функторы из категории модулей над коммутативным кольцом R в абелевы группы и θ — естественное преобразование из F в G . Если — изоморфизм для каждого натурального числа n , то — изоморфизм для любого конечно представленного модуля M . ${\displaystyle \theta :F(R^{\oplus n})\to G(R^{\oplus n})}$ ${\displaystyle \theta :F(M)\to G(M)}$

Доказательство: Применение F к конечному представлению приводит к ${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0}$

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Это можно тривиально расширить до

${\displaystyle 0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

То же самое справедливо и для . Теперь применим лемму о пяти . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Последовательный модуль
• Конечно-связанный модуль
• Идеально подходит
• Квазикогерентный пучок

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 .