Бозе-газ

Идеальный бозе-газ — это квантово-механическая фаза вещества , аналогичная классическому идеальному газу . Он состоит из бозонов , которые имеют целое значение спина и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна . Статистическая механика бозонов была разработана Сатьендрой Нат Бозе для фотонного газа и распространена на массивные частицы Альбертом Эйнштейном , который понял, что идеальный газ бозонов будет образовывать конденсат при достаточно низкой температуре, в отличие от классического идеального газа. Этот конденсат известен как конденсат Бозе-Эйнштейна .

Введение и примеры

Бозоны — это квантово-механические частицы, которые следуют статистике Бозе-Эйнштейна или, что то же самое, обладают целым спином . Эти частицы можно отнести к элементарным: это бозон Хиггса , фотон , глюон , W/Z и гипотетический гравитон ; или составные элементы, такие как атом водорода , атом ¹⁶O , ядро дейтерия , мезоны и т. д. Кроме того, некоторые квазичастицы в более сложных системах также можно считать бозонами, такими как плазмоны (кванты волн зарядовой плотности ).

Первой моделью, рассматривавшей газ с несколькими бозонами, был фотонный газ , газ фотонов, разработанный Бозе . Эта модель ведет к лучшему пониманию закона Планка и излучения черного тела . Фотонный газ можно легко расширить до любого ансамбля безмассовых невзаимодействующих бозонов. Фононный газ , также известный как модель Дебая , является примером того, как нормальные моды колебаний кристаллической решетки металла можно рассматривать как эффективные безмассовые бозоны. Питер Дебай использовал модель фононного газа для объяснения поведения теплоемкости металлов при низкой температуре.

Интересным примером бозе-газа является ансамбль атомов гелия-4 . Когда система атомов ⁴ He охлаждается до температуры, близкой к абсолютному нулю , проявляется множество квантово-механических эффектов. При температуре ниже 2,17 К ансамбль начинает вести себя как сверхтекучая жидкость с почти нулевой вязкостью . Бозе-газ — самая простая количественная модель, объясняющая этот фазовый переход . В основном, когда газ бозонов охлаждается, он образует конденсат Бозе-Эйнштейна , состояние, в котором большое количество бозонов занимают наименьшую энергию, основное состояние , и квантовые эффекты макроскопически видны, как волновая интерференция .

Теория бозе-эйнштейновских конденсатов и бозе-газов также может объяснить некоторые особенности сверхпроводимости, когда носители заряда соединяются парами ( куперовские пары ) и ведут себя как бозоны. В результате сверхпроводники ведут себя так, как будто у них нет удельного электрического сопротивления при низких температурах.

Эквивалентная модель для полуцелых частиц (таких как электроны или атомы гелия-3 ), которая следует статистике Ферми – Дирака , называется ферми-газом (ансамблем невзаимодействующих фермионов ). При достаточно низкой плотности числа частиц и высокой температуре и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ . ^[1]

Макроскопический предел

Термодинамику идеального бозе-газа лучше всего рассчитывать с использованием большого канонического ансамбля . Огромный потенциал бозе-газа определяется следующим образом:

\Omega =-\ln({\mathcal {Z}})=\sum _{i}g_{i}\ln \left(1-ze^{-\beta \epsilon _{i}}\right).

где каждый член суммы соответствует определенному одночастичному уровню энергии ε _i ; g _i — число состояний с энергией ε _i ; z - абсолютная активность (или «фугитивность»), которую также можно выразить через химический потенциал μ , определив:

z(\beta ,\mu )=e^{\beta \mu }

и β определяются как:

\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}

где k _B — постоянная Больцмана , а T — температура . Все термодинамические величины могут быть получены из большого потенциала, и мы будем считать все термодинамические величины функциями только трех переменных z , β (или T ) и V. Все частные производные берутся по одной из этих трех переменных, а две другие остаются постоянными.

Допустимый диапазон z — от отрицательной бесконечности до +1, поскольку любое значение за пределами этого значения приведет к переходу бесконечного числа частиц в состояния с уровнем энергии 0 (предполагается, что уровни энергии смещены так, что самый низкий уровень энергии равен 0).

Макроскопический предел, результат для несконденсированной фракции

Следуя процедуре, описанной в статье о газе в коробке , мы можем применить приближение Томаса – Ферми , которое предполагает, что средняя энергия велика по сравнению с разницей энергий между уровнями, так что приведенную выше сумму можно заменить интегралом. Эта замена дает макроскопическую большую потенциальную функцию , которая близка к : $\Omega _{m}$ $\Omega$

\Omega _{\rm {m}}=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg\approx \Omega .

Вырождение dg может быть выражено для многих различных ситуаций общей формулой:

dg={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\,{\frac {E^{\,\alpha -1}}{E_{\rm {c}}^{\alpha }}}~dE

где α — константа, E _c — критическая энергия, а Γ — гамма-функция . Например, для массивного бозе-газа в ящике α = 3/2, а критическая энергия определяется выражением:

{\frac {1}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}

где Λ — тепловая длина волны , ^{[ необходимы пояснения ]} и f — коэффициент вырождения ( f = 1 для простых бесспиновых бозонов). Для массивного бозе- газа в гармонической ловушке α =3, а критическая энергия определяется выражением :

{\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}

где V(r)=mω ² r ² /2 – гармонический потенциал. Видно, что E _c является функцией только объема.

Это интегральное выражение для большого потенциала оценивается как:

\Omega _{\rm {m}}=-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{c}\right)^{\alpha }}},

где Li _s ( x ) — функция полилогарифма .

Проблема с этим приближением континуума для бозе-газа состоит в том, что основное состояние фактически игнорируется, что дает нулевое вырождение при нулевой энергии. Эта неточность становится серьезной при рассмотрении конденсата Бозе-Эйнштейна и будет рассмотрена в следующих разделах. Как будет видно, даже при низких температурах приведенный выше результат все еще полезен для точного описания термодинамики только несконденсированной части газа.

Ограничение количества частиц в несконденсированной фазе, критическая температура

Полное число частиц находится из большого потенциала по формуле

N_{\rm {m}}=-z{\frac {\partial \Omega _{m}}{\partial z}}={\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}.

Оно монотонно возрастает с ростом z (вплоть до максимального z = +1). Однако поведение при приближении к z = 1 решающим образом зависит от значения α (т. е. зависит от того, является ли газ 1D, 2D, 3D, находится ли он в плоской или гармонической потенциальной яме).

При α > 1 число частиц возрастает только до конечного максимального значения, т. е. конечно при z = 1: $N_{\rm {m}}$

N_{\rm {m,max}}={\frac {\zeta (\alpha )}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}},

где ζ ( α ) — дзета-функция Римана (с использованием Li _α ( 1 ) = ζ ( α )). Таким образом, для фиксированного числа частиц максимально возможное значение, которое может иметь β , является критическим значением β _c . Это соответствует критической температуре T _c =1/ k _Bβ _c , ниже которой приближение Томаса – Ферми нарушается (континуум состояний просто не может больше поддерживать такое количество частиц при более низких температурах). Приведенное выше уравнение можно решить для критической температуры: $N_{\rm {m}}$

T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{\zeta (\alpha )}}\right)^{1/\alpha }{\frac {E_{\rm {c}}}{k_{\rm {B}}}}

Например, для трехмерного бозе-газа в ящике ( и используя указанное выше значение ) мы получаем: $\alpha =3/2$ ${\textstyle E_{\rm {c}}}$

T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{Vf\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{\rm {B}}}}

Для α ≤ 1 не существует верхнего предела числа частиц ( расходится по мере того, как z приближается к 1), и, таким образом, например, для газа в одномерном или двумерном ящике ( и соответственно) не существует критической температуры. $N_{\rm {m}}$ $\alpha =1/2$ $\alpha =1$

Включение основного состояния

Вышеуказанная проблема поднимает вопрос для α > 1: что произойдет, если бозе-газ с фиксированным числом частиц опустится ниже критической температуры? Проблема здесь в том, что приближение Томаса–Ферми установило вырождение основного состояния равным нулю, что неверно. Не существует основного состояния, которое могло бы принять конденсат, и поэтому частицы просто «исчезают» из континуума состояний. Однако оказывается, что макроскопическое уравнение дает точную оценку числа частиц в возбужденных состояниях, и было бы неплохим приближением просто «прикрепить» член основного состояния, чтобы принять частицы, выпадающие из континуум:

N=N_{0}+N_{\rm {m}}=N_{0}+{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}

где N ₀ - число частиц в конденсате основного состояния.

Таким образом, в макроскопическом пределе, когда T < T _c , значение z привязано к 1, а N ₀ занимает остальную часть частиц. При T > T _c наблюдается нормальное поведение с N ₀ = 0. Этот подход дает долю конденсированных частиц в макроскопическом пределе:

{\frac {N_{0}}{N}}={\begin{cases}1-\left({\frac {T}{T_{\rm {c}}}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >1{\mbox{ and }}T<T_{\rm {c}},\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}

Ограничения макроскопической модели бозе-газа

Вышеупомянутая стандартная трактовка макроскопического бозе-газа проста, но включение основного состояния несколько неэлегантно. Другой подход состоит в том, чтобы явно включить основное состояние (вкладывая член в большой потенциал, как в разделе ниже), это приводит к нереалистичной флуктуационной катастрофе: число частиц в любом данном состоянии подчиняется геометрическому распределению , а это означает, что, когда конденсация происходит при Т < Т _с и большинство частиц находятся в одном состоянии, существует огромная неопределенность в общем количестве частиц. Это связано с тем, что сжимаемость становится неограниченной при T < T _c . Вместо этого расчеты можно выполнить в каноническом ансамбле , который фиксирует общее число частиц, однако расчеты не так просты. ^[2]

Однако на практике вышеупомянутый теоретический недостаток представляет собой второстепенную проблему, поскольку наиболее нереалистичным предположением является предположение о невзаимодействии между бозонами. Экспериментальные реализации бозонных газов всегда имеют существенные взаимодействия, т. е. являются неидеальными газами. Взаимодействия существенно меняют физику поведения конденсата бозонов: основное состояние расплывается, химический потенциал насыщается до положительного значения даже при нулевой температуре, исчезает флуктуационная проблема (сжимаемость становится конечной). ^[3] См. статью Конденсат Бозе–Эйнштейна.

Примерное поведение в небольших газах

Для меньших мезоскопических систем (например, содержащих всего лишь тысячи частиц) член основного состояния может быть более явно аппроксимирован путем добавления фактического дискретного уровня с энергией ε = 0 в большой потенциал:

\Omega =g_{0}\ln(1-z)+\Omega _{\rm {m}}

что дает вместо этого . Теперь поведение при пересечении критической температуры становится плавным, и z очень близко приближается к 1, но не достигает его. $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$

Теперь эту задачу можно решить вплоть до абсолютного нуля температуры. На рис. 1 показаны результаты решения этого уравнения для α =3/2, при k = ε _c =1, что соответствует газу бозонов в ящике . Сплошная черная линия — это доля возбужденных состояний 1-N ₀ /N для N = 10 000, а пунктирная черная линия — решение для N = 1000. Синие линии представляют долю конденсированных частиц N ₀ /N. Красные линии отображают отрицательные значения химического потенциала μ, а зеленые линии отображают соответствующие значения z . Горизонтальная ось — нормированная температура τ, определяемая формулой

\tau ={\frac {T}{T_{\rm {c}}}}

Видно, что каждый из этих параметров становится линейным по τα ^в пределе низкой температуры и, за исключением химического потенциала, линейным по 1/τα ^в пределе высокой температуры. По мере увеличения числа частиц конденсированная и возбужденная фракции стремятся к разрыву при критической температуре.

Уравнение для числа частиц можно записать через нормированную температуру как:

N={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}+N~{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{\zeta (\alpha )}}~\tau ^{\alpha }

Для заданных N и τ это уравнение можно решить относительно τ ^α , а затем найти решение ряда для z методом обращения рядов либо по степеням τ ^α , либо как асимптотическое разложение по обратным степеням τ ^α . Из этих разложений мы можем найти поведение газа вблизи T = 0 и в модели Максвелла – Больцмана, когда T приближается к бесконечности. В частности, нас интересует предел N , стремящийся к бесконечности, который можно легко определить из этих разложений.

Однако такой подход к моделированию небольших систем на самом деле может быть нереалистичным, поскольку дисперсия числа частиц в основном состоянии очень велика и равна числу частиц. Напротив, дисперсия числа частиц в нормальном газе равна только квадратному корню из числа частиц, поэтому ее обычно можно игнорировать. Такая высокая дисперсия обусловлена выбором использования большого канонического ансамбля для всей системы, включая состояние конденсата. ^[4]

Термодинамика

В развернутом виде великий потенциал таков:

\Omega =g_{0}\ln(1-z)-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{\rm {c}}\right)^{\alpha }}}

Все термодинамические свойства могут быть вычислены на основе этого потенциала. В следующей таблице перечислены различные термодинамические величины, рассчитанные в пределе низкой и высокой температуры, а также в пределе бесконечного числа частиц. Знак равенства (=) указывает на точный результат, а символ приближения указывает на то, что показаны только первые несколько членов ряда . $\tau ^{\alpha }$

Видно, что в пределе больших температур все величины приближаются к значениям для классического идеального газа. Приведенные выше значения можно использовать для расчета других термодинамических величин. Например, связь между внутренней энергией и произведением давления на объем такая же, как и для классического идеального газа при всех температурах:

U={\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}=\alpha PV

Аналогичная ситуация справедлива и для теплоемкости при постоянном объеме.

C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}}=k_{\rm {B}}(\alpha +1)\,U\beta

Энтропия определяется:

TS=U+PV-G\,

Заметим, что в пределе высоких температур имеем

TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha }}{\zeta (\alpha )}}\right)

что для α =3/2 является просто переформулировкой уравнения Сакура–Тетроде . В одном измерении бозоны с дельта-взаимодействием ведут себя как фермионы, они подчиняются принципу Паули . В одном измерении бозе-газ с дельта-взаимодействием может быть точно решен с помощью анзаца Бете . Объемную свободную энергию и термодинамические потенциалы рассчитал Чен-Нин Ян . В одномерном случае также оценивались корреляционные функции. ^[5] В одном измерении бозе-газ эквивалентен квантовому нелинейному уравнению Шрёдингера .

Смотрите также

Газ Тонкса – Жирардо