Релятивистское распределение Брейта-Вигнера

Резонанс релятивистских частиц и расширение линии распада.

Релятивистское распределение Брейта-Вигнера (по формуле ядерного резонанса 1936 года ^[1] Грегори Брейта и Юджина Вигнера ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей со следующей функцией плотности вероятности , ^[2]

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

где k — константа пропорциональности, равная

${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~}$   с   ${\displaystyle ~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.}$

(Это уравнение записано с использованием натуральных единиц , ħ = c = 1. )

Чаще всего он используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий . В этом случае E — энергия центра масс , которая производит резонанс, M — масса резонанса, а Γ — ширина резонанса (или ширина распада ), связанная с его средним временем жизни согласно τ = 1/Γ . (С учетом единиц формула имеет вид τ = ħ /Γ .)

Использование

Вероятность создания резонанса при заданной энергии E пропорциональна f ( E ) , так что график скорости создания нестабильной частицы как функции энергии вычерчивает форму релятивистского распределения Брейта-Вигнера. Обратите внимание, что для значений E вне максимума при M, таких, что | E ²  −  M ² | = M Γ , (следовательно, | E  −  M | = Γ/2 для M  ≫ Γ ), распределение f ослабляется до половины своего максимального значения, что оправдывает название для Γ, ширина на половине максимума .

В пределе исчезающей ширины, Γ → 0, частица становится устойчивой, поскольку распределение Лоренца f бесконечно обостряется до 2 Mδ ( E ²  −  M ² ) .

В общем случае Γ также может быть функцией E ; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мала по сравнению с M и необходимо учитывать зависимость ширины от фазового пространства . (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов . ) Множитель M ² , который умножает Γ ^{2 ,} также следует заменить на E ² (или E ⁴ / M ² и т. д.), когда резонанс широкий. ^[3]

Форма релятивистского распределения Брейта-Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы, ^[4] который имеет знаменатель вида p ² − M ² + iM Γ . (Здесь p ² — квадрат четырехимпульса, переносимого этой частицей в задействованной древовидной диаграмме Фейнмана.) Тогда пропагатор в своей системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде распада, используемого для восстановления этого резонанса,

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.}$

Полученное распределение вероятностей пропорционально абсолютному квадрату амплитуды, поэтому для функции плотности вероятности справедливо приведенное выше релятивистское распределение Брейта–Вигнера.

Форма этого распределения похожа на амплитуду решения классического уравнения движения для ведомого гармонического осциллятора, затухающего и ведомого синусоидальной внешней силой. Она имеет стандартную резонансную форму распределения Лоренца или Коши , но включает релятивистские переменные s  =  p ² , здесь =  E ² . Распределение является решением дифференциального уравнения для квадрата амплитуды относительно энергии (частоты) в таком классическом ведомом осцилляторе,

${\displaystyle f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,}$

с

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~}$

Гауссово уширение

В эксперименте падающий луч, который производит резонанс, всегда имеет некоторое распределение энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово/нормальное распределение . Результирующая форма резонанса в этом случае задается сверткой распределения Брейта-Вигнера и гауссова распределения,

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}$

Эту функцию можно упростить ^[5], введя новые переменные,

${\displaystyle t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}$

чтобы получить

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$

где релятивистская функция уширения линии ^[5] имеет следующее определение:

${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}$

${\displaystyle H_{2}}$является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии ^[6] для профиля Фойгта, используемого в спектроскопии (см. также раздел 7.19 ^[7] ).

Ссылки

1. Брейт, Г.; Вигнер, Э. (1936). «Захват медленных нейтронов». Physical Review . 49 (7): 519. Bibcode : 1936PhRv...49..519B. doi : 10.1103/PhysRev.49.519.
2. См. Pythia 6.4 Physics and Manual (стр. 98 и далее) для обсуждения ширины частиц в руководстве PYTHIA . Обратите внимание, что это распределение обычно представляется как функция квадрата энергии.
3. Бом, А.; Сато, И. (2005). «Релятивистские резонансы: их массы, ширина, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Physical Review D. 71 ( 8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Bibcode : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018. S2CID  119417992.
4. Браун, Л. С. (1994). Квантовая теория поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0521469463 , Глава 6.3. 
5. Kycia, Radosław A.; Jadach, Stanisław (2018-07-15). «Релятивистский профиль Фойгта для нестабильных частиц в физике высоких энергий». Журнал математического анализа и приложений . 463 (2): 1040–1051. arXiv : 1711.09304 . doi : 10.1016/j.jmaa.2018.03.065. ISSN  0022-247X. S2CID  78086748.
6. Финн, ГД; Магглстоун, Д. (1965-02-01). "Таблицы функции уширения линии H(a,v)". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 129 (2): 221–235. doi : 10.1093/mnras/129.2.221 . ISSN  0035-8711.
7. Справочник NIST по математическим функциям. Олвер, Фрэнк У. Дж., 1924-, Национальный институт стандартов и технологий (США). Кембридж: Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-19225-5. OCLC  502037224.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )