Распределение Вейбулла

Непрерывное распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике распределение Вейбулла / ˈ w aɪ b ʊ l / является непрерывным распределением вероятностей . Он моделирует широкий диапазон случайных величин, в основном таких как время до отказа или время между событиями. Примерами могут служить максимальное количество осадков за один день и время, которое пользователь проводит на веб-странице.

Распределение названо в честь шведского математика Валодди Вейбулла , который подробно описал его в 1939 году ^[1] , хотя впервые оно было идентифицировано Морисом Рене Фреше и впервые применено Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам .

Определение

Стандартная параметризация

Функция плотности вероятности случайной величины Вейбулла равна ^{[2] [3]}

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}}$

где k > 0 — параметр формы , а λ > 0 — параметр масштаба распределения. Его дополнительная кумулятивная функция распределения представляет собой растянутую экспоненциальную функцию . Распределение Вейбулла связано с рядом других распределений вероятностей; в частности, он интерполирует между экспоненциальным распределением ( k = 1) и распределением Рэлея ( k = 2 и ^[4] ). ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$

Если величина X представляет собой «время до отказа», распределение Вейбулла дает распределение, для которого интенсивность отказов пропорциональна степени времени. Параметр формы k равен этой степени плюс единица, поэтому этот параметр можно интерпретировать непосредственно следующим образом: ^[5]

• Значение указывает на то, что интенсивность отказов со временем уменьшается (как и в случае эффекта Линди , который, однако, соответствует распределениям Парето ^[6] , а не распределениям Вейбулла). Это происходит, если наблюдается значительная «детская смертность» или дефектные изделия выходят из строя рано, а частота отказов со временем снижается по мере того, как дефектные изделия отсеиваются из популяции. В контексте диффузии инноваций это означает негативную молву: функция риска представляет собой монотонно убывающую функцию доли усыновителей; ${\displaystyle k<1\,}$
• Значение указывает, что интенсивность отказов постоянна во времени. Это может означать, что случайные внешние события вызывают смертность или неудачу. Распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению; ${\displaystyle k=1\,}$
• Значение указывает на то, что интенсивность отказов увеличивается со временем. Это происходит, если существует процесс «старения» или детали, которые с большей вероятностью выходят из строя с течением времени. В контексте распространения инноваций это означает положительную молву: функция риска представляет собой монотонно возрастающую функцию доли последователей. Функция сначала выпуклая, затем вогнутая с точкой перегиба . ${\displaystyle k>1\,}$ ${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$

В области материаловедения параметр формы распределения сил известен как модуль Вейбулла . В контексте распространения инноваций распределение Вейбулла представляет собой «чистую» модель имитации/отвержения.

Альтернативные параметризации

Первая альтернатива

Приложения в медицинской статистике и эконометрике часто используют другую параметризацию. ^{[7] [8]} Параметр формы k такой же, как указано выше, а параметр масштаба равен . В этом случае для x ≥ 0 функция плотности вероятности равна ${\displaystyle b=\lambda ^{-k}}$

${\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},}$

кумулятивная функция распределения

${\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},}$

функция опасности

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}$

и среднее значение

${\displaystyle b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).}$

Вторая альтернатива

Также можно найти вторую альтернативную параметризацию. ^{[9] [10]} Параметр формы k такой же, как и в стандартном случае, а параметр масштаба λ заменяется параметром скорости β = 1/ λ . Тогда для x ≥ 0 функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}}$

кумулятивная функция распределения

${\displaystyle F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},}$

а функция опасности равна

${\displaystyle h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.}$

Во всех трех параметризациях опасность уменьшается при k < 1, увеличивается при k > 1 и остается постоянной при k = 1, и в этом случае распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению.

Характеристики

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла резко меняется с изменением значения k . При 0 < k < 1 функция плотности стремится к ∞ при приближении x к нулю сверху и строго убывает. При k = 1 функция плотности стремится к 1/ λ при приближении x к нулю сверху и строго убывает. При k > 1 функция плотности стремится к нулю по мере приближения x к нулю сверху, возрастает до своей моды и убывает после нее. Функция плотности имеет бесконечный отрицательный наклон при x = 0, если 0 < k < 1, бесконечный положительный наклон при x = 0, если 1 < k < 2, и нулевой наклон при x = 0, если k > 2. Для k = 1 плотность имеет конечный отрицательный наклон при x = 0. Для k = 2 плотность имеет конечный положительный наклон при x = 0. Когда k стремится к бесконечности, распределение Вейбулла сходится к дельта-распределению Дирака с центром в точке x = λ. При этом асимметрия и коэффициент вариации зависят только от параметра формы. Обобщением распределения Вейбулла является гиперболатическое распределение типа III .

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения для распределения Вейбулла равна

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

для x ≥ 0 и F ( x ; k ; λ) = 0 для x < 0.

Если x = λ, то F ( x ; k ; λ) = 1 −  e ⁻¹ ≈ 0,632 для всех значений  k . И наоборот: при F ( x ; k ; λ ) = 0,632 значение  x  ≈  λ .

Функция квантиля (обратного кумулятивного распределения) для распределения Вейбулла:

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

для 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h (или функция опасности) определяется выражением

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

Среднее время наработки на отказ составляет

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

Моменты

Моментная производящая функция логарифма распределенной случайной величины Вейбулла имеет вид [ ^11]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

где Γ – гамма-функция . Аналогично, характеристическая функция журнала X определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

В частности, n -й исходный момент X определяется выражением

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Среднее значение и дисперсия случайной величины Вейбулла можно выразить как

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

и

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

Асимметрия определяется

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}$

где , что также можно записать как ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

где среднее значение обозначается µ , а стандартное отклонение обозначается σ .

Избыточный эксцесс определяется выражением

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

где . Избыток эксцесса также можно записать как: ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}$

Функция генерации момента

Для производящей функции момента самого X доступно множество выражений . В качестве степенного ряда , поскольку исходные моменты уже известны, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Альтернативно можно попытаться разобраться непосредственно с интегралом

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Если параметр k предполагается рациональным числом, выраженным как k = p / q , где p и q — целые числа, то этот интеграл можно вычислить аналитически. ^[12] Заменив t на − t , получим

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

где G — G-функция Мейера .

Характеристическая функция также была получена Muraleedharan et al. (2007). Характеристическая функция и производящая момент функция трехпараметрического распределения Вейбулла также были получены Муралидхараном и Соаресом (2014) прямым подходом. harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help)

Минимумы

Пусть – независимые и одинаково распределенные случайные величины Вейбулла с параметром масштаба и параметром формы . Если минимум этих случайных величин равен , то кумулятивное распределение вероятностей, заданное формулой ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.}$

То есть также будет распределение Вейбулла с параметром масштаба и параметром формы . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n^{-1/k}\lambda }$ ${\displaystyle k}$

Трюки с репараметризацией

Исправьте некоторые . Пусть неотрицательны, а не все нули, и пусть независимые выборки , тогда ^[13] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$ ${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}$

• ${\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$
• ${\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)}$.

Энтропия Шеннона

Информационная энтропия определяется выражением

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

где – постоянная Эйлера–Машерони . Распределение Вейбулла — это максимальное распределение энтропии для неотрицательной действительной случайной величины с фиксированным ожидаемым значением x k ^, равным λ ^k , и фиксированным ожидаемым значением ln( x ^k ), равным ln( λ ^k ) −  . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Оценка параметров

Максимальная вероятность

Оценка максимального правдоподобия для данного параметра равна ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k})^{\frac {1}{k}}}$

Оценка максимального правдоподобия является решением для k следующего уравнения ^[14] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Это уравнение определяет только неявно, его обычно приходится решать численными методами. ${\displaystyle {\widehat {k}}}$ ${\displaystyle k}$

Когда самые большие наблюдаемые выборки из набора данных состоят из более чем выборок, тогда оценка максимального правдоподобия для данного параметра равна ^[14] ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

Также, учитывая это условие, оценка максимального правдоподобия для [ ^{нужна ссылка ]} ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

Опять же, поскольку это неявная функция, ее обычно приходится решать численными методами. ${\displaystyle k}$

Расхождение Кульбака – Лейблера

Расхождение Кульбака –Лейблера между двумя распределениями Вейбулла определяется выражением ^[15]

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

сюжет Вейбулла

сюжет Вейбулла

Соответствие распределения Вейбулла данным можно оценить визуально с помощью графика Вейбулла. ^[16] График Вейбулла представляет собой график эмпирической кумулятивной функции распределения данных по специальным осям в виде графика Q – Q. Оси против . Причиной такой замены переменных является то, что кумулятивную функцию распределения можно линеаризовать: ${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$ ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

которая, как можно видеть, имеет стандартную форму прямой линии. Следовательно, если данные получены из распределения Вейбулла, то на графике Вейбулла ожидается прямая линия.

Существуют различные подходы к получению эмпирической функции распределения на основе данных: один метод заключается в получении вертикальной координаты для каждой точки, используя где – ранг точки данных, а – количество точек данных. ^[17] ${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

Линейную регрессию также можно использовать для численной оценки согласия и оценки параметров распределения Вейбулла. Градиент напрямую информирует о параметре формы , также можно вывести параметр масштаба . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

Приложения

^{Используется} распределение ^{Вейбулла .}

Подобрано кумулятивное распределение Вейбулла для максимального количества осадков за один день с использованием CumFreq , см. также подбор распределения ^[18]

Подогнанные кривые для данных временных рядов добычи нефти ^[19]

• В анализе выживания
• В области проектирования надежности и анализа отказов
• В электротехнике для обозначения перенапряжения, возникающего в электрической системе.
• В промышленном проектировании для представления сроков производства и поставки .
• В теории экстремальных ценностей
• В прогнозировании погоды и ветроэнергетике для описания распределения скорости ветра , поскольку естественное распределение часто соответствует форме Вейбулла ^[20]
• В области проектирования систем связи
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемых сигналов, создаваемой некоторыми типами помех.
  • Для моделирования каналов замирания в беспроводной связи, поскольку модель замирания Вейбулла , по-видимому, хорошо подходит для экспериментальных измерений канала замирания.
• При поиске информации для моделирования времени пребывания на веб-страницах. ^[21]
• В общем страховании для моделирования размера претензий по перестрахованию и совокупного развития убытков от асбестоза .
• В прогнозировании технологических изменений (также известном как модель Шарифа-Ислама) ^[22]
• В гидрологии распределение Вейбулла применяется к экстремальным явлениям, таким как годовое максимальное количество осадков за один день и речной сток.
• При анализе кривой снижения для моделирования кривой дебита нефти из сланцевых скважин. ^[19]
• При описании размера частиц , образующихся в результате операций измельчения, измельчения и дробления , используется двухпараметрическое распределение Вейбулла, которое в этих приложениях иногда называют распределением Розина – Раммлера. ^[23] В этом контексте он предсказывает меньше мелких частиц, чем логарифмически нормальное распределение, и, как правило, наиболее точен для узких распределений частиц по размерам. ^[24] Интерпретация кумулятивной функции распределения заключается в том, что она представляет собой массовую долю частиц с диаметром менее , где – средний размер частиц и является мерой разброса размеров частиц. ${\displaystyle F(x;k,\lambda )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$
• При описании случайных облаков точек (например, положений частиц в идеальном газе): вероятность найти ближайшую соседнюю частицу на расстоянии от данной частицы определяется распределением Вейбулла, имеющим плотность частиц и равную ей. ^[25] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle \rho =1/\lambda ^{3}}$
• При расчете скорости радиационно-индуцированных одиночных эффектов на борту космического корабля используется четырехпараметрическое распределение Вейбулла для согласования экспериментально измеренных данных вероятности поперечного сечения устройства со спектром линейной передачи энергии частиц . ^[26] Подбор Вейбулла первоначально использовался из-за убеждения, что уровни энергии частиц соответствуют статистическому распределению, но позже это убеждение оказалось ложным ^{[ нужна цитация ]} , и подгонка Вейбулла продолжает использоваться из-за множества настраиваемых параметров, а не из-за множества настраиваемых параметров. чем продемонстрированная физическая основа. ^[27]

Связанные дистрибутивы

• Если , то переменная представляет собой Gumbel (минимум), распределенную с параметром местоположения и параметром масштаба . То есть, . ${\displaystyle W\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,k)}$ ${\displaystyle G=\log W}$ ${\displaystyle \mu =\log \lambda }$ ${\displaystyle \beta =1/k}$ ${\displaystyle G\sim \mathrm {Gumbel} _{\min }(\log \lambda ,1/k)}$
• Распределение Вейбулла — это обобщенное гамма-распределение , оба параметра формы которого равны k .
• Транслированное распределение Вейбулла (или трехпараметрическое распределение Вейбулла) содержит дополнительный параметр. ^[11] Он имеет функцию плотности вероятности

  ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,}$

  для и для , где параметр формы , параметр масштаба и параметр местоположения распределения . Значение устанавливает начальное время безотказной работы перед началом обычного процесса Вейбулла. При , это сводится к 2-параметрическому распределению. ${\displaystyle x\geq \theta }$ ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )=0}$ ${\displaystyle x<\theta }$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$
• Распределение Вейбулла можно охарактеризовать как такое распределение случайной величины, что случайная величина ${\displaystyle W}$

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}}$

  – стандартное экспоненциальное распределение с интенсивностью 1. ^[11]
• Это означает, что распределение Вейбулла также можно охарактеризовать с точки зрения равномерного распределения : если оно распределено равномерно на , то случайная величина является распределенной Вейбулла с параметрами и . Обратите внимание, что здесь эквивалентно приведенному выше. Это приводит к легко реализуемой численной схеме моделирования распределения Вейбулла. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle -\ln(U)}$ ${\displaystyle X}$
• Распределение Вейбулла интерполирует между экспоненциальным распределением интенсивности при и распределением Рэлея моды при . ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle k=2}$
• Распределение Вейбулла (обычно достаточное в технике надежности ) представляет собой частный случай возведенного в степень распределения Вейбулла с тремя параметрами , где дополнительный показатель степени равен 1. Возведенное в степень распределение Вейбулла учитывает унимодальную , ваннообразную ^[28] и монотонную интенсивность отказов .
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщенного распределения экстремальных значений . Именно в этой связи распределение было впервые идентифицировано Морисом Фреше в 1927 году. ^[29] Близко родственное распределение Фреше , названное в честь этой работы, имеет функцию плотности вероятности.

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}$

• Распределение случайной величины, определяемое как минимум из нескольких случайных величин, каждая из которых имеет различное распределение Вейбулла, является поли-распределением Вейбулла .
• Распределение Вейбулла было впервые применено Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам. Он широко используется в переработке полезных ископаемых для описания распределения частиц по размерам в процессах измельчения . В этом контексте кумулятивное распределение определяется выражением

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

  где
  • ${\displaystyle x}$размер частиц
  • ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$представляет собой 80-й процентиль распределения частиц по размерам.
  • ${\displaystyle m}$– параметр, описывающий разброс распределения
• Из-за своей доступности в электронных таблицах он также используется там, где основное поведение на самом деле лучше моделируется с помощью распределения Эрланга . ^[30]
• Если тогда ( Показательное распределение ) ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})}$
• При тех же значениях k гамма-распределение принимает схожие формы, но распределение Вейбулла более платикуртное .

• С точки зрения распределения стабильного количества его можно рассматривать как параметр устойчивости Леви. Распределение Вейбулла можно разложить до интеграла от плотности ядра, где ядро ​​представляет собой либо распределение Лапласа , либо распределение Рэлея : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(x;1,\lambda )}$ ${\displaystyle F(x;2,\lambda )}$

  ${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,F(x;1,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2,{\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{cases}}}$

  где – распределение стабильного количества , а – распределение стабильного объема . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$ ${\displaystyle V_{k}(s)}$

Смотрите также

• Дискретное распределение Вейбулла
• Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко.
• Логистическое распределение
• Распределение канифоли – Раммлера для анализа размеров частиц
• Распределение Рэлея
• Стабильное распределение количества

Рекомендации

1. Бауэрс и др. ал. (1997) Актуарная математика, 2-е изд. Общество актуариев.
2. Папулис, Афанасиос Папулис; Пиллаи, С. Унникришна (2002). Вероятность, случайные величины и случайные процессы (4-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-366011-6.
3. Кизилерсу, Айше; Крир, Маркус; Томас, Энтони В. (2018). «Распределение Вейбулла». Значение . 15 (2): 10–11. дои : 10.1111/j.1740-9713.2018.01123.x .
4. «Распределение Рэлея – MATLAB и Simulink – MathWorks Australia». www.mathworks.com.au .
5. Цзян, Р.; Мурти, DNP (2011). «Исследование параметра формы Вейбулла: свойства и значение». Проектирование надежности и системная безопасность . 96 (12): 1619–26. дои : 10.1016/j.ress.2011.09.003.
6. Элиазар, Иддо (ноябрь 2017 г.). «Закон Линди». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 486 : 797–805. Бибкод : 2017PhyA..486..797E. doi :10.1016/j.physa.2017.05.077. S2CID  125349686.
7. Коллетт, Дэвид (2015). Моделирование данных о выживаемости в медицинских исследованиях (3-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1439856789.
8. Кэмерон, AC; Триведи, ПК (2005). Микроэконометрика: методы и приложения . п. 584. ИСБН 978-0-521-84805-3.
9. Калбфляйш, JD; Прентис, Р.Л. (2002). Статистический анализ данных о времени отказа (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Дж. Уайли. ISBN 978-0-471-36357-6. ОСЛК  50124320.
10. Терно, Т. (2020). «Пакет для анализа выживания в R». Пакет R версии 3.1.
11. Джонсон, Коц и Балакришнан 1994 г.
12. См. (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) случай, когда k является целым числом, и (Sagias & Karagiannidis 2005) для рационального случая. harv error: no target: CITEREFChengTellamburaBeaulieu2004 (help)
13. Балог, Матей; Трипуранени, Нилеш; Гахрамани, Зубин; Веллер, Адриан (17 июля 2017 г.). «Потерянные родственники трюка с Гамбелем». Международная конференция по машинному обучению . ПМЛР: 371–379.
14. Сорнетт, Д. (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок ..
15. Баукхаге, Кристиан (2013). «Вычисление расхождения Кульбака-Лейблера между двумя распределениями Вейбулла». arXiv : 1310.3713 [cs.IT].
16. "1.3.3.30. График Вейбулла" . www.itl.nist.gov .
17. Уэйн Нельсон (2004) Прикладной анализ жизненных данных . ISBN Уайли-Блэквелла 0-471-64462-5 
18. «CumFreq, Подбор распределения вероятности, бесплатное программное обеспечение, кумулятивная частота» .
19. Ли, Се Юн; Маллик, Бани (2021). «Байесовское иерархическое моделирование: применение к результатам добычи в сланцах Игл Форд в Южном Техасе». Санкхья Б. 84 : 1–43. дои : 10.1007/s13571-020-00245-8 .
20. "Распределение скорости ветра Вейбулл - REUK.co.uk" . www.reuk.co.uk. _
21. Лю, Чао; Уайт, Райен В.; Дюмэ, Сьюзен (19 июля 2010 г.). Понимание поведения при просмотре веб-страниц посредством анализа времени пребывания по Вейбуллу . АКМ. стр. 379–386. дои : 10.1145/1835449.1835513. ISBN 9781450301534. S2CID  12186028.
22. Шариф, М. Наваз; Ислам, М.Назрул (1980). «Распределение Вейбулла как общая модель прогнозирования технологических изменений». Технологическое прогнозирование и социальные изменения . 18 (3): 247–56. дои : 10.1016/0040-1625(80)90026-8.
23. Вычислительная оптимизация двигателя внутреннего сгорания, стр. 49
24. Остин, LG; Климпель, Р.Р.; Лаки, ПТ (1984). Технология уменьшения габаритов . Хобокен, Нью-Джерси: ISBN Guinn Printing Inc. 0-89520-421-5.
25. Чандрашекар, С. (1943). «Стохастические проблемы физики и астрономии». Обзоры современной физики . 15 (1): 86.
26. ECSS-E-ST-10-12C - Методы расчета полученной радиации и ее последствий, а также политика расчетных пределов (Отчет). Европейское сотрудничество по космической стандартизации. 15 ноября 2008 г.
27. LD Эдмондс; CE Барнс; Л. З. Шейк (май 2000 г.). «8.3 Подгонка кривой». Введение в воздействие космического излучения на микроэлектронику (PDF) (Отчет). Лаборатория реактивного движения НАСА, Калифорнийский технологический институт. стр. 75–76.
28. «Эволюция системы и надежность систем». Сысев (Бельгия). 01.01.2010.
29. Монтгомери, Дуглас (19 июня 2012 г.). Введение в статистический контроль качества . [Sl]: Джон Уайли. п. 95. ИСБН 9781118146811.
30. Чатфилд, К.; Гудхардт, Дж.Дж. (1973). «Модель потребительских закупок с Эрлангом времени между покупками». Журнал Американской статистической ассоциации . 68 (344): 828–835. дои : 10.1080/01621459.1973.10481432.

Библиография

• Фреше, Морис (1927), «Sur la loi de probilité de l'écart max», Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie , 6 : 93–116.
• Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1994), Непрерывные одномерные распределения. Том. 1 , Серия Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная теория вероятности и статистика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, МР  1299979
• Манн, Нэнси Р .; Шафер, Рэй Э.; Сингпурвалла, Нозер Д. (1974), Методы статистического анализа надежности и данных о жизни , Ряды Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная вероятность и статистика (1-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-56737-0
• Муралидхаран, Г.; Рао, AD; Куруп, П.Г.; Наир, Н. Унникришнан; Синха, Мурани (2007), «Модифицированное распределение Вейбулла для моделирования и прогнозирования максимальной и значительной высоты волн», Coastal Engineering , 54 (8): 630–638, doi :10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
• Розин, П.; Раммлер, Э. (1933), «Законы, регулирующие крупность порошкообразного угля», Журнал Института топлива , 7 : 29–36..
• Сагиас, Северная Каролина; Карагианнидис, ГК (2005). «Многомерные распределения Вейбулла гауссова класса: теория и приложения в каналах затухания». Транзакции IEEE по теории информации . 51 (10): 3608–19. дои : 10.1109/TIT.2005.855598. MR  2237527. S2CID  14654176.
• Вейбулл, В. (1951), «Статистическая функция распределения широкой применимости» (PDF) , Journal of Applied Mechanics , 18 (3): 293–297, Бибкод : 1951JAM....18..293W, doi : 10.1115 /1,4010337.
• «Распределение Вейбулла». Справочник по инженерной статистике . Национальный институт стандартов и технологий . 2008.
• Нельсон-младший, Ральф (5 февраля 2008 г.). «Диспергирование порошков в жидкостях, Часть 1, Глава 6: Распределение частиц по объему» . Проверено 5 февраля 2008 г.

Внешние ссылки

• «Распределение Вейбулла», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathpages – анализ Вейбулла
• Распределение Вейбулла
• Анализ надежности с помощью Weibull
• Интерактивная графика: одномерные отношения распределения
• Онлайн-построение вероятностного графика Вейбулла