Вейвлет Добеши

Ортогональные вейвлеты

Добеши 20 2-мерный вейвлет (вейвлет Fn X масштабирование Fn)

Вейвлеты Добеши , основанные на работе Ингрид Добеши , представляют собой семейство ортогональных вейвлетов, определяющих дискретное вейвлет-преобразование и характеризующихся максимальным числом исчезающих моментов для некоторой заданной опоры . Для каждого типа вейвлета этого класса существует функция масштабирования (называемая родительским вейвлетом ), которая генерирует ортогональный анализ с множественным разрешением .

Характеристики

В общем, вейвлеты Добеши выбираются так, чтобы они имели наибольшее число A исчезающих моментов (это не подразумевает наилучшую гладкость) для заданной ширины опоры (количества коэффициентов) 2 A . ^[1] Используются две схемы именования: DN , использующая длину или количество отводов, и db A , обозначающее количество исчезающих моментов. Таким образом, D4 и db2 — это одно и то же вейвлет-преобразование.

Среди 2 ^{A −1} возможных решений алгебраических уравнений для моментных условий и условий ортогональности выбирается то, масштабирующий фильтр которого имеет экстремальную фазу. Вейвлет-преобразование также легко реализовать на практике с помощью быстрого вейвлет-преобразования . Вейвлеты Добеши широко используются при решении широкого круга задач, например, свойств самоподобия сигнала или фрактальных задач, разрывов сигнала и т. д.

Вейвлеты Добеши не определяются с точки зрения результирующих масштабирующих и вейвлет-функций; на самом деле их невозможно записать в закрытом виде . Графики ниже созданы с использованием каскадного алгоритма — числового метода, состоящего из обратного преобразования [1 0 0 0 0 ...] соответствующее количество раз.

Обратите внимание, что показанные здесь спектры представляют собой не частотную характеристику фильтров верхних и нижних частот, а скорее амплитуды непрерывных преобразований Фурье масштабирующей (синий) и вейвлет-функций (красный).

Ортогональные вейвлеты Добеши D2–D20 соответственно. db1–db10 обычно используются. Каждый вейвлет имеет количество нулевых моментов или исчезающих моментов, равное половине количества коэффициентов. Например, D2 имеет один исчезающий момент, D4 — два и т. д. Исчезающий момент ограничивает способность вейвлетов представлять полиномиальное поведение или информацию в сигнале. Например, D2 с одним исчезающим моментом легко кодирует полиномы с одним коэффициентом или постоянные составляющие сигнала. D4 кодирует полиномы с двумя коэффициентами, т.е. постоянными и линейными компонентами сигнала; и D6 кодирует 3-полиномы, т.е. постоянные, линейные и квадратичные компоненты сигнала. Эта способность кодировать сигналы, тем не менее, зависит от явления утечки масштаба и отсутствия инвариантности к сдвигу, которые возникают из-за операции дискретного сдвига (ниже) во время применения преобразования. Подпоследовательности, которые представляют линейные, квадратичные (например) компоненты сигнала, обрабатываются преобразованием по-разному в зависимости от того, совпадают ли точки с четными или нечетными местоположениями в последовательности. Отсутствие важного свойства инвариантности к сдвигу привело к разработке нескольких различных версий инвариантного к сдвигу (дискретного) вейвлет-преобразования .

Строительство

И масштабирующая последовательность (фильтр нижних частот), и вейвлет-последовательность (полосовой фильтр) (подробности этой конструкции см. в разделе «Ортогональный вейвлет» ) будут нормализованы так, чтобы иметь сумму, равную 2, и сумму квадратов, равную 2. В некоторых приложениях они нормализованы так, чтобы иметь sum , так что обе последовательности и все их сдвиги на четное число коэффициентов ортонормированы друг к другу. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Используя общее представление масштабирующей последовательности ортогонального дискретного вейвлет-преобразования с порядком аппроксимации A ,

${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z),}$

с N = 2 A , p с действительными коэффициентами, p (1) = 1 и deg( p ) =  A  − 1, можно записать условие ортогональности как

${\displaystyle a(Z)a\left(Z^{-1}\right)+a(-Z)a\left(-Z^{-1}\right)=4,}$

или так же, как

${\displaystyle (2-X)^{A}P(X)+X^{A}P(2-X)=2^{A}\qquad (*),}$

с полиномом Лорана

${\displaystyle X:={\frac {1}{2}}\left(2-Z-Z^{-1}\right)}$

генерирующая все симметричные последовательности и Далее, P ( X ) обозначает симметричный полином Лорана ${\displaystyle X(-Z)=2-X(Z).}$

${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right).}$

С

${\displaystyle X(e^{iw})=1-\cos(w)}$

${\displaystyle p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}}$

P принимает неотрицательные значения на отрезке [0,2].

Уравнение (*) имеет одно минимальное решение для каждого A , которое можно получить делением в кольце усеченных степенных рядов по X ,

${\displaystyle P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}{\binom {A+k-1}{A-1}}2^{-k}X^{k}.}$

Очевидно, это имеет положительные значения на (0,2).

Однородное уравнение для (*) антисимметрично относительно X = 1 и, следовательно, имеет общее решение

${\displaystyle X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right),}$

с R некоторый полином с действительными коэффициентами. что сумма

${\displaystyle P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right)}$

должно быть неотрицательным на интервале [0,2] преобразуется в набор линейных ограничений на коэффициенты R . Значения P на интервале [0,2] ограничены некоторой величиной, максимизирующей r , что приводит к линейной программе с бесконечным количеством условий неравенства. ${\displaystyle 4^{A-r},}$

Решать

${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right)}$

для p используется метод, называемый спектральной факторизацией, соответственно. Алгоритм Фейера-Рисса. Полином P ( X ) распадается на линейные множители

${\displaystyle P(X)=(X-\mu _{1})\cdots (X-\mu _{N}),\qquad N=A+1+2\deg(R).}$

Каждый линейный фактор представляет собой полином Лорана.

${\displaystyle X(Z)-\mu =-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}}$

это можно разложить на два линейных фактора. Можно присвоить p ( Z ) любой из двух линейных факторов, таким образом можно получить 2 ^N возможных решений. В качестве экстремальной фазы выбирают ту, которая имеет все комплексные корни из p ( Z ) внутри или на единичной окружности и, таким образом, является вещественной.

Для вейвлет-преобразования Добеши используется пара линейных фильтров. Каждый фильтр пары должен быть квадратурным зеркальным фильтром . Решение коэффициента линейного фильтра с использованием свойства фильтра квадратурного зеркала приводит к следующему решению для значений коэффициента для фильтра порядка 4. ${\displaystyle c_{i}}$

${\displaystyle c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}.}$

Масштабирующие последовательности низшего порядка аппроксимации

Ниже приведены коэффициенты масштабирующих функций для D2-20. Вейвлет-коэффициенты получаются путем изменения порядка коэффициентов масштабирующей функции и последующего изменения знака каждого второго из них (т. е. вейвлета D4 {-0,1830127, -0,3169873, 1,1830127, -0,6830127}). Математически это выглядит так: где k — индекс коэффициента, b — коэффициент вейвлет-последовательности, а a — коэффициент масштабирующей последовательности. N — индекс вейвлета, т. е. 2 для D2. ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}}$

Части конструкции также используются для получения биортогональных вейвлетов Коэна – Добеши – Фово (CDF).

Выполнение

Хотя программное обеспечение, такое как Mathematica, напрямую поддерживает вейвлеты Добеши ^[2], базовая реализация возможна в MATLAB (в данном случае Добеши 4). Эта реализация использует периодизацию для решения проблемы сигналов конечной длины. Доступны и другие, более сложные методы, но часто в их использовании нет необходимости, поскольку они влияют только на самые концы преобразованного сигнала. Периодизация выполняется в прямом преобразовании непосредственно в векторной записи MATLAB и обратном преобразовании с помощью функции circshift():

Преобразование, D4

Предполагается, что S , вектор-столбец с четным числом элементов, был заранее определен как анализируемый сигнал. Обратите внимание, что коэффициенты D4 равны [1 +  √ 3 , 3 +  √ 3 , 3 −  √ 3 , 1 −  √ 3 ]/4.

N = длина ( S ); sqrt3 = sqrt ( 3 ); s_odd = S ( 1 : 2 : N - 1 ); s_even = S ( 2 : 2 : N );        s = ( sqrt3 + 1 ) * s_odd + ( 3 + sqrt3 ) * s_even + ( 3 - sqrt3 ) * [ s_odd ( 2 : N / 2 ); s_odd ( 1 )] + ( 1 - sqrt3 ) * [ s_even ( 2 : N / 2 ); s_even ( 1 )]; d = ( 1 - sqrt3 ) * [ s_odd ( N / 2 ); s_odd ( 1 : N / 2 - 1 )] + ( sqrt3 - 3 ) * [ s_even ( N / 2 ); s_even ( 1 : N / 2 - 1 )] + ( 3 + sqrt3 ) * s_odd + ( - 1 - sqrt3 ) * s_even s = s / ( 4 * sqrt ( 2 )); d = d / ( 4 * sqrt ( 2 ));                        

Обратное преобразование, D4

d1 = d * (( sqrt ( 3 ) - 1 ) / sqrt ( 2 )); s2 = s * (( sqrt ( 3 ) + 1 ) / sqrt ( 2 )); s1 = s2 + замыкание ( d1 , - 1 ); S ( 2 : 2 : N ) = d1 + sqrt ( 3 ) / 4 * s1 + ( sqrt ( 3 ) - 2 ) / 4 * круговой сдвиг ( s1 , 1 ); S ( 1 : 2 : N - 1 ) = s1 - sqrt ( 3 ) * S ( 2 : 2 : N );                                               

Биномиальный-QMF

В 1990 году Али Акансу показал, что биномиальный банк квадратурных зеркальных фильтров (биномиальный QMF) идентичен вейвлет-фильтру Добеши, и его характеристики были причислены к числу известных подпространственных решений с точки зрения обработки сигналов в дискретном времени. ^{[3] [4]} Это было расширение предыдущей работы по биномиальному коэффициенту и полиномам Эрмита , которое привело к разработке Модифицированного преобразования Эрмита (MHT) в 1987 году. ^{[5] [6]} Функции квадрата величины биномиального-QMF фильтры — это уникальные максимально плоские функции в формулировке конструкции двухполосной идеальной реконструкции QMF (PR-QMF), которая связана с регулярностью вейвлета в непрерывной области. ^{[7] [8]}

Приложения

• Применение вейвлет-преобразования Добеши в качестве схемы водяных знаков доказало свою эффективность. Этот подход работает в эффективной частотной области с различным разрешением, что позволяет включать зашифрованный цифровой логотип в формате QR-кодов. ^[9]

• Вейвлет-приближение Добеши можно использовать для анализа поведения трещин Гриффитса при распространении нелокальной магнитоупругой волны горизонтального сдвига (SH) внутри бесконечно длинной однородной изотропной полосы конечной толщины. ^[10]

• Кепстральные коэффициенты вейвлетов Добеши могут быть полезны в контексте обнаружения болезни Паркинсона. Вейвлеты Добеши, известные своим эффективным анализом с несколькими разрешениями, используются для извлечения кепстральных характеристик из данных голосового сигнала. Эти вейвлет-коэффициенты могут действовать как отличительные признаки для точного выявления закономерностей, указывающих на болезнь Паркинсона, предлагая новый подход к диагностическим методологиям. ^[11]

• Когда дело доходит до анализа и выявления внебольничной пневмонии (ВП), комплексные вейвлеты Добеши можно использовать для выявления сложных деталей пораженных ВП областей в инфицированных легких для получения точных результатов. ^[12]

• Задача эластогидродинамической смазки предполагает исследование режимов смазки, при которых деформация контактирующих поверхностей существенно влияет на смазочную пленку. Вейвлеты Добеши могут решить проблемы, связанные с точным моделированием таких сложных явлений смазки. Вейвлеты Добеши позволяют более детально и точно исследовать взаимодействие между смазкой и контактирующими поверхностями. ^[13]

• Daubechies Wavelet может извлекать сложные детали и особенности из виброакустических сигналов, предлагая комплексный диагностический подход для оценки состояния и производительности дизельных двигателей зерноуборочных комбайнов. Вейвлет-спектр Добеши служит мощным аналитическим инструментом, позволяющим исследователям выявлять закономерности, аномалии и характерные признаки сигналов, связанных с различными состояниями двигателя. Этот подробный спектральный анализ помогает повысить точность диагностических оценок, позволяя более детально понять вибрационные и акустические характеристики, указывающие на исправность двигателя или потенциальные проблемы. ^[14]

• На практике вейвлеты Добеши облегчают точное исследование временных и пространственных характеристик динамических волн в упругих материалах. Этот подход позволяет более детально понять, как упругие твердые тела реагируют на меняющиеся динамические условия с течением времени. Интеграция вейвлетов Добеши в метод конечной вейвлет-области, вероятно, способствует созданию более универсальной и надежной аналитической основы для изучения переходных динамических волн в упругих твердых телах. ^[15]

• Задачу брахистохроны можно сформулировать и выразить как вариационную задачу, подчеркивая важность поиска оптимальной кривой, минимизирующей время спуска. Вводя вейвлеты Добеши в математическую структуру, функции масштабирования, связанные с этими вейвлетами, могут построить аппроксимацию оптимальной кривой. Вейвлеты Добеши с их способностью улавливать как высокочастотные, так и низкочастотные компоненты функции играют важную роль в достижении детального представления кривой брахистохроны. ^[16]

Смотрите также

• Быстрое вейвлет-преобразование

Рекомендации

1. И. Добеши, Десять лекций по вейвлетам, SIAM, 1992, стр. 194.
2. Вейвлет Добеши в Mathematica. Обратите внимание, что здесь n равно n/2 из текста.
3. А.Н. Акансу, Эффективная структура QMF-вейвлета (биномиальные вейвлеты Добеши-QMF), Proc. 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам, апрель 1990 г.
4. А.Н. Акансу, Р.А. Хаддад и Х. Чаглар, Биномиальное QMF-вейвлет-преобразование с идеальной реконструкцией, Proc. SPIE Визуальные коммуникации и обработка изображений, стр. 609–618, том. 1360, Лозанна, сентябрь 1990 г.
5. А.Н. Акансу, Статистическое адаптивное преобразование кодирования речевых сигналов. Кандидат наук. Тезис. Политехнический университет, 1987.
6. Р. А. Хаддад и А. Н. Акансу, «Новое ортогональное преобразование для кодирования сигналов», Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, том 36, № 9, стр. 1404-1411, сентябрь 1988 г.
7. Х. Чаглар и А.Н. Акансу, Обобщенный параметрический метод проектирования PR-QMF, основанный на полиномиальной аппроксимации Бернштейна, IEEE Trans. Signal Process., стр. 2314–2321, июль 1993 г.
8. О. Херрманн, О проблеме аппроксимации при проектировании нерекурсивных цифровых фильтров, IEEE Trans. Теория цепей, том CT-18, вып. 3, стр. 411–413, май 1971 г.
9. Умер, Азиз Вакас; Маджид, Хан; Сайеда, Ирам Батул (18 декабря 2019 г.). «Новая схема нанесения водяных знаков, основанная на вейвлете Добеши и хаотической карте для изображений кода быстрого ответа». Мультимедийные инструменты и приложения . 79 (9–10): 6891–6914. дои : 10.1007/s11042-019-08570-5.
10. Джотирмой, Мули; Нанту, Саркар; Сумен, Де (5 января 2023 г.). «Анализ трещин Гриффитса в нелокальной магнитоупругой полосе с использованием вейвлетов Добеши». Волны в случайных и сложных средах : 1–19. дои : 10.1080/17455030.2022.2163060.
11. Сумайя, Зайрит; Тауфик, Белхуссин Дрисси; Абделькрим, Аммуму (2020). «Вейвлет-кепстральные коэффициенты Добеши для обнаружения болезни Паркинсона» (PDF) . Сложные системы .
12. Нацина, Хуанита SRF; Надин, Сюзанна С.Р.Ф.; Шоджаа, Айед Альджасар; Юбин, Сюй; Мухаммад, Сакиб (2020). «Анализ и обнаружение внебольничной пневмонии с использованием PSPNET со сложными вейвлетами Добеши». Индийский журнал компьютерных наук и инженерии (IJCSE) .
13. СК, Ширалашетти; СИ, Ханаджи; Шарада, С.Нарегал (28 июля 2020 г.). «Численный метод Добеши, основанный на вейвлетах, для решения задачи консистентной эластогидродинамической смазки». Международная конференция по математическим наукам и приложениям .
14. Л.Л., Титова; Ю, М Черник; Ю О, Гуменюк; ММ, Коробко (2020). «Исследование вейвлет-спектра Добеши виброакустических сигналов для диагностики дизельных двигателей зерноуборочных комбайнов». Серия конференций IOP: Науки о Земле и окружающей среде . 548 : 032030. doi : 10.1088/1755-1315/548/3/032030 .
15. Христос, В.Настос; Димитрис, А. Сараванос (7 сентября 2021 г.). «Многоразрешительный метод Добеши в конечной вейвлет-области для анализа нестационарных динамических волн в упругих твердых телах». Международный журнал численных методов в технике . 122 (23): 7078–7100. дои : 10.1002/nme.6822.
16. Азад, Касназани; Амджад, АлиПана (2021). «Решение проблемы брахистохроны с помощью масштабирующих функций вейвлетов Добеши». Вычислительные методы решения дифференциальных уравнений .

Внешние ссылки

• Ингрид Добеши: Десять лекций по вейвлетам , SIAM, 1992.
• Учеб. 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам, поддиапазонам и преобразованиям, апрель 1990 г.
• Акансу, Али Н.; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
• А.Н. Акансу, Банки фильтров и вейвлеты в обработке сигналов: критический обзор, Учеб. Видеосвязь SPIE и PACS для медицинских приложений (приглашенный доклад), стр. 330-341, том. 1977 г., Берлин, октябрь 1993 г.
• Карлос Кабрелли, Урсула Молтер: «Обобщенное самоподобие», Журнал математического анализа и приложений , 230: 251–260, 1999.
• Аппаратная реализация вейвлетов
• «Вейвлеты Добеши», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994].
• И. Каплан, «Вейвлет-преобразование Добеши D4».
• Дженсен; ла Кур-Арбо (2001). Пульсации в математике. Берлин: Шпрингер. стр. 157–160. ISBN 3-540-41662-5. Архивировано из оригинала 2 декабря 2008 г. Проверено 10 декабря 2008 г.
• Цзяньхун (Джеки) Шен и Гилберт Стрэнг , Прикладной и вычислительный гармонический анализ , 5 (3), Асимптотика фильтров Добеши, масштабирующие функции и вейвлеты.