stringtranslate.com

фрактал

Установка Мандельброта на левой границе кардиоиды
Множество Мандельброта : его граница представляет собой фрактальную кривую с размерностью Хаусдорфа 2. (Обратите внимание, что цветные участки изображения на самом деле не являются частью множества Мандельброта, а скорее основаны на том, насколько быстро расходится функция, которая его производит.)
Набор Мандельброта с 12 окружениями

Увеличение масштаба границы множества Мандельброта

В математике фрактал — это геометрическая фигура, содержащая детальную структуру в сколь угодно малых масштабах, обычно имеющая фрактальную размерность, строго превышающую топологическую размерность . Многие фракталы кажутся похожими в разных масштабах, как показано на последовательном увеличении множества Мандельброта . [1] [2] [3] [4] Такое проявление подобных закономерностей во все более меньших масштабах называется самоподобием , также известным как расширяющаяся симметрия или разворачивающаяся симметрия; если эта репликация совершенно одинакова в каждом масштабе, как в губке Менгера , форма называется аффинно -самоподобной. [5] Фрактальная геометрия относится к математическому разделу теории меры .

Одним из отличий фракталов от конечных геометрических фигур является то, как они масштабируются . Удвоение длины ребра заполненного многоугольника умножает его площадь на четыре, что равно двум (отношение длины новой стороны к старой), возведенному в степень двойки (обычный размер заполненного многоугольника). Аналогично, если радиус заполненной сферы увеличивается вдвое, ее объем увеличивается на восемь, что составляет два (отношение нового радиуса к старому) в степени три (обычный размер заполненной сферы). Однако, если все одномерные длины фрактала удваиваются, пространственное содержание фрактала масштабируется в степени, которая не обязательно является целым числом и обычно превышает его обычный размер. [1] Эта мощность называется фрактальной размерностью геометрического объекта, чтобы отличить ее от обычного измерения (которое формально называется топологическим измерением ). [6]

С аналитической точки зрения многие фракталы нигде не дифференцируемы . [1] [4] Бесконечную фрактальную кривую можно представить как извивающуюся в пространстве, иначе, чем обычную линию – хотя она по-прежнему топологически одномерна , ее фрактальная размерность указывает на то, что она локально заполняет пространство более эффективно, чем обычная линия. [1] [6]

Ковер Серпинского (до уровня 6), фрактал с топологической размерностью 1 и размерностью Хаусдорфа 1,893.
Отрезок линии подобен собственной части самого себя, но вряд ли является фракталом .

Начиная с 17 века с представлениями о рекурсии , фракталы прошли через все более строгую математическую обработку к изучению непрерывных , но не дифференцируемых функций, в 19 веке благодаря основополагающим работам Бернара Больцано , Бернхарда Римана и Карла Вейерштрасса [7 ] и к появлению слова «фрактал» в 20 веке с последующим ростом интереса к фракталам и компьютерному моделированию в 20 веке. [8] [9]

Среди математиков существуют некоторые разногласия по поводу того, как следует формально определять понятие фрактала. Сам Мандельброт охарактеризовал это как «красивое, чертовски сложное и все более полезное. Это фракталы». [10] Более формально, в 1982 году Мандельброт определил фрактал следующим образом: «Фрактал — это по определению множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность ». [11] Позже, посчитав это слишком ограничительным, он упростил и расширил определение до следующего: «Фрактал — это грубая или фрагментированная геометрическая форма , которую можно разделить на части, каждая из которых представляет собой (по крайней мере приблизительно) уменьшенного размера». копия целого». [1] Еще позже Мандельброт предложил «использовать фрактал без педантического определения, использовать фрактальную размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам». [12]

Математики сходятся во мнении, что теоретические фракталы представляют собой бесконечно самоподобные повторяющиеся и подробные математические конструкции, многие примеры которых были сформулированы и изучены. [1] [2] [3] Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени. [5] [4] [13] [14] [15] [16] Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия были визуализированы или изучены в визуальных, физических и слуховых средах [17] и обнаружены в природе, [18] ] [19] [20] [21] технологии, [22] [23] [24] [25] искусство, [26] [27] и архитектура . [28] Фракталы имеют особое значение в области теории хаоса , поскольку они проявляются в геометрических изображениях большинства хаотических процессов (обычно либо как аттракторы, либо как границы между бассейнами притяжения). [29]

Этимология

Термин «фрактал» был придуман математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. [30] Мандельброт основал его на латинском frāctus , что означает «сломанный» или «сломанный», и использовал его для распространения концепции теоретических дробных размерностей на геометрические модели в природа . [1] [31] [32]

Введение

Простое фрактальное дерево
Фрактальное «дерево» до одиннадцати итераций

Слово «фрактал» часто имеет разные коннотации для непрофессионала, в отличие от математиков, где публика, скорее всего, знакома с фрактальным искусством , чем с математической концепцией. Математическое понятие сложно определить формально даже для математиков, но ключевые особенности можно понять, обладая небольшой математической подготовкой.

Например, свойство «самоподобия» легко понять по аналогии с увеличением с помощью объектива или другого устройства, которое увеличивает цифровые изображения, чтобы раскрыть более тонкую, ранее невидимую новую структуру. Однако если это сделать на фракталах, никаких новых деталей не появится; ничего не меняется, и один и тот же узор повторяется снова и снова, а в некоторых фракталах почти один и тот же узор повторяется снова и снова. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди размышляли о самоподобии неформально, например, в бесконечном регрессе в параллельных зеркалах или гомункулусе , маленьком человечке внутри головы маленького человечка внутри головы...) . Отличие фракталов в том, что воспроизводимый узор должен быть детальным. [1] : 166, 18  [2] [31]

Идея детализации связана с еще одной особенностью, которую можно понять без особой математической подготовки: например, наличие фрактального измерения, превышающего его топологическое измерение, относится к тому, как фрактал масштабируется по сравнению с тем, как обычно воспринимаются геометрические фигуры . Например, прямую линию принято считать одномерной; если такую ​​фигуру разложить на части по 1/3 длины оригинала, то всегда найдутся три равные части. Сплошной квадрат считается двумерным; если такую ​​фигуру разложить на части, каждая из которых уменьшена на коэффициент 1/3 в обоих измерениях, всего получится 3 2 = 9 частей.

Мы видим, что для обычных самоподобных объектов n-мерность означает, что при разбиении их на части, каждая из которых уменьшена на масштабный коэффициент 1/ r , всего получается r n частей. Теперь рассмотрим кривую Коха . Его можно разбить на четыре подкопии, каждая из которых будет уменьшена на масштабный коэффициент 1/3. Итак, строго по аналогии, мы можем рассматривать «размерность» кривой Коха как единственное действительное число D , удовлетворяющее условию 3 D = 4. Это число называется фрактальной размерностью кривой Коха; это не традиционно воспринимаемый размер кривой. В общем, ключевым свойством фракталов является то, что фрактальное измерение отличается от традиционно понимаемого измерения (формально называемого топологическим измерением).

3D компьютерный фрактал

Это также приводит к пониманию третьей особенности: фракталы как математические уравнения «нигде не дифференцируемы ». В конкретном смысле это означает, что фракталы невозможно измерить традиционными способами. [1] [4] [33] Чтобы уточнить, пытаясь найти длину волнистой нефрактальной кривой, можно было найти прямые сегменты некоторого измерительного инструмента, достаточно маленького, чтобы положить конец к концу над волнами, где части могли бы становится достаточно маленьким, чтобы его можно было считать соответствующим кривой при обычном измерении с помощью рулетки. Но при измерении бесконечно «волнистой» фрактальной кривой, такой как снежинка Коха, никогда не удастся найти достаточно маленький прямой сегмент, соответствующий кривой, потому что зубчатый узор всегда будет появляться снова, в сколь угодно малых масштабах, по сути, немного притягивая больше рулетки к общей длине, измеряемой каждый раз, когда кто-то пытался прикрепить ее все плотнее и плотнее к кривой. В результате, чтобы идеально покрыть всю кривую, нужна бесконечная лента, т. е. снежинка имеет бесконечный периметр. [1]

История

Снежинка Коха — это фрактал, который начинается с равностороннего треугольника, а затем заменяет среднюю треть каждого отрезка парой отрезков, образующих равносторонний выступ.
Канторовое (троичное) множество

История фракталов прослеживает путь от преимущественно теоретических исследований к современным приложениям в компьютерной графике , при этом несколько известных людей внесли свой вклад в создание канонических фрактальных форм. [8] [9] Общей темой в традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, при котором небольшие части структуры имеют тенденцию выглядеть похожими на более крупные части, такие как круглая деревня, состоящая из круглых домов. [34] Согласно Пиковеру , математика, лежащая в основе фракталов, начала формироваться в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц размышлял о рекурсивном самоподобии (хотя он допустил ошибку, полагая, что в этом случае самоподобной является только прямая линия) . смысл). [35]

В своих сочинениях Лейбниц использовал термин «дробные показатели», но сетовал на то, что «геометрия» о них еще не знала. [1] : 405  Действительно, согласно различным историческим данным, после этого лишь немногие математики занимались этими проблемами, а работы тех, кто это делал, оставались неясными в основном из-за сопротивления таким незнакомым возникающим концепциям, которые иногда называли математическими «монстрами». . [33] [8] [9] Таким образом, только по прошествии двух столетий 18 июля 1872 года Карл Вейерштрасс представил первое определение функции с графиком , который сегодня можно было бы считать фракталом, имеющим неинтуитивный свойство быть всюду непрерывным , но нигде не дифференцируемым в Королевской прусской академии наук. [8] : 7  [9]

Кроме того, разность частных становится сколь угодно большой по мере увеличения индекса суммирования. [36] Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор , посещавший лекции Вейерштрасса, [9] опубликовал примеры подмножеств вещественной прямой, известных как множества Кантора , которые обладали необычными свойствами и теперь признаны фракталами. [8] : 11–24  Также во второй половине того же столетия Феликс Кляйн и Анри Пуанкаре ввели категорию фракталов, которую стали называть «самоинверсными» фракталами. [1] : 166 

Множество Жюлиа — фрактал, родственный множеству Мандельброта.
Прокладку Серпинского можно создать с помощью фрактального дерева.

Одна из следующих вех наступила в 1904 году, когда Хельге фон Кох , расширяя идеи Пуанкаре и недовольный абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение, включающее нарисованные от руки изображения аналогичной функции, которую теперь называют снежинкой Коха . [8] : 25  [9] Еще одна веха произошла десять лет спустя, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник , а год спустя - ковер . К 1918 году два французских математика, Пьер Фату и Гастон Жюли , хотя и работали независимо, по существу одновременно пришли к результатам, описывающим то, что сейчас рассматривается как фрактальное поведение, связанное с отображением комплексных чисел и итерационных функций и приводящее к дальнейшим идеям об аттракторах и отталкивателях (т. е. точки, которые притягивают или отталкивают другие точки), которые стали очень важными при изучении фракталов. [4] [8] [9]

Вскоре после того, как эта работа была представлена, к марту 1918 года, Феликс Хаусдорф расширил определение «размерности», что значительно повлияло на эволюцию определения фракталов, чтобы позволить множествам иметь нецелые измерения. [9] Идея самоподобных кривых была развита Полем Леви , который в своей статье 1938 года « Плоские или пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому» , описал новую фрактальную кривую, кривую Леви C. [примечания 1]

Странный аттрактор , демонстрирующий мультифрактальное масштабирование
Равномерный фрактал треугольника с центром масс
2 рекурсивных IFS по 120 градусов

Различные исследователи постулировали, что без помощи современной компьютерной графики первые исследователи были ограничены тем, что они могли изобразить в рисунках, нарисованных вручную, поэтому им не хватало средств, чтобы визуализировать красоту и оценить некоторые последствия многих обнаруженных ими закономерностей ( Например, набор Джулии можно было визуализировать только через несколько итераций в виде очень простых рисунков). [1] : 179  [33] [9] Однако ситуация изменилась в 1960-х годах, когда Бенуа Мандельброт начал писать о самоподобии в таких статьях, как « Какова длина побережья Британии?» Статистическая самоподобность и дробная размерность , [37] [38] , основанная на более ранней работе Льюиса Фрая Ричардсона .

В 1975 году [31] Мандельброт укрепил сотни лет мысли и математического развития, придумав слово «фрактал», и проиллюстрировал свое математическое определение поразительными компьютерными визуализациями. Эти изображения, такие как его каноническое множество Мандельброта , захватили воображение народа; многие из них были основаны на рекурсии, что привело к популярному значению термина «фрактал». [39] [33] [8] [35]

В 1980 году Лорен Карпентер выступил с презентацией на SIGGRAPH , где представил свое программное обеспечение для создания и рендеринга фрактально сгенерированных ландшафтов. [40]

Определение и характеристики

Одно из часто цитируемых описаний, опубликованных Мандельбротом для описания геометрических фракталов, представляет собой «грубую или фрагментированную геометрическую форму , которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) уменьшенной копией целого»; [1] В целом это полезно, но ограничено. Авторы расходятся во мнениях относительно точного определения фрактала , но чаще всего подробно останавливаются на основных идеях самоподобия и необычных отношениях фракталов с пространством, в котором они встроены. [1] [5] [2] [4] [41]

Один из согласованных моментов заключается в том, что фрактальные узоры характеризуются фрактальными размерностями , но хотя эти числа количественно определяют сложность (т.е. изменение деталей с изменением масштаба), они не описывают однозначно и не определяют детали того, как создавать конкретные фрактальные узоры. [42] В 1975 году, когда Мандельброт придумал слово «фрактал», он сделал это для обозначения объекта, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого больше, чем его топологическая размерность . [31] Однако этому требованию не отвечают кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта . [примечания 2]

Из-за трудностей, связанных с поиском единого определения фракталов, некоторые утверждают, что фракталы вообще не следует давать строгого определения. По мнению Фальконера , фракталы должны характеризоваться лишь совокупностью следующих особенностей; [2]

  • Точное самоподобие: идентично во всех масштабах, например, снежинка Коха.
  • Квазисамоподобие: аппроксимирует один и тот же образец в разных масштабах; может содержать уменьшенные копии всего фрактала в искаженных и вырожденных формах; например, спутники множества Мандельброта являются приближениями всего множества, но не точными копиями.
  • Статистическое самоподобие: повторяет закономерность стохастически , поэтому числовые или статистические показатели сохраняются в разных масштабах; например, случайно сгенерированные фракталы, подобные хорошо известному примеру береговой линии Британии, для которого нельзя было бы ожидать найти сегмент, масштабированный и повторяющийся так же аккуратно, как повторяющаяся единица, определяющая фракталы, такие как снежинка Коха. [4]
  • Качественное самоподобие: как во временном ряду [13]
  • Мультифрактальное масштабирование: характеризуется более чем одним фрактальным измерением или правилом масштабирования.

В совокупности эти критерии образуют рекомендации по исключению определенных случаев, например тех, которые могут быть самоподобными, но не иметь других типично фрактальных особенностей. Например, прямая линия самоподобна, но не фрактальна, поскольку ей не хватает деталей, и ее легко описать на евклидовом языке без необходимости рекурсии. [1] [4]

Общие методы создания фракталов

Самоподобный паттерн ветвления, смоделированный in silico с использованием принципов L-систем [21]

Изображения фракталов могут быть созданы с помощью программ, генерирующих фракталы . Из-за эффекта бабочки небольшое изменение одной переменной может иметь непредсказуемый результат.

Фрактал, порожденный конечным правилом деления чередующегося звена .

Приложения

Моделирование фракталов

Фрактальные модели широко моделировались, хотя и в пределах диапазона масштабов, а не бесконечности, из-за практических ограничений физического времени и пространства. Модели могут моделировать теоретические фракталы или природные явления с фрактальными характеристиками. Результатами процесса моделирования могут быть высокохудожественные изображения, результаты исследований или эталоны фрактального анализа . Некоторые конкретные применения фракталов в технологии перечислены в других местах. Изображения и другие результаты моделирования обычно называются «фракталами», даже если они не имеют строго фрактальных характеристик, например, когда можно увеличить область фрактального изображения, которая не проявляет каких-либо фрактальных свойств. Кроме того, они могут включать артефакты вычислений или отображения , которые не являются характеристиками настоящих фракталов.

Моделируемыми фракталами могут быть звуки, [17] цифровые изображения, электрохимические закономерности, циркадные ритмы , [49] и т. д. Фрактальные узоры реконструируются в физическом трёхмерном пространстве [24] :10  и виртуально, часто называемом моделированием « in silico ». [46] Модели фракталов обычно создаются с использованием программного обеспечения, генерирующего фракталы , которое реализует методы, подобные описанным выше. [4] [13] [24] Например, деревья, папоротники, клетки нервной системы, [21] кровеносная и легочная сосудистая система, [46] и другие структуры ветвления в природе могут быть смоделированы на компьютере с использованием рекурсивных алгоритмов . и методы L-систем . [21]

Рекурсивная природа некоторых закономерностей очевидна на некоторых примерах: ветка дерева или ветка папоротника являются миниатюрной копией целого: не идентичной, но схожей по своей природе . Точно так же случайные фракталы использовались для описания/создания многих весьма нерегулярных объектов реального мира, таких как береговые линии и горы. Ограничением моделирования фракталов является то, что сходство фрактальной модели с природным явлением не доказывает, что моделируемое явление формируется в результате процесса, аналогичного алгоритмам моделирования.

Природные явления с фрактальными особенностями

Приблизительные фракталы, встречающиеся в природе, демонстрируют самоподобие в расширенных, но конечных диапазонах масштабов. Например, связь между фракталами и листьями в настоящее время используется для определения количества углерода, содержащегося в деревьях. [50] К явлениям, имеющим фрактальные черты, относятся:

Фракталы в клеточной биологии

Фракталы часто появляются в сфере живых организмов, где они возникают в результате ветвящихся процессов и формирования других сложных структур. Ян Вонг и его коллеги показали, что мигрирующие клетки могут образовывать фракталы путем кластеризации и разветвления . [70] Нервные клетки функционируют посредством процессов на поверхности клетки, причем явления усиливаются за счет значительного увеличения соотношения поверхности к объему. Как следствие, нервные клетки часто образуют фрактальные узоры. [71] Эти процессы имеют решающее значение в физиологии клеток и различных патологиях . [72]

Также обнаружено, что множественные субклеточные структуры собираются во фракталы. Диего Крапф показал, что посредством процессов ветвления актиновые нити в клетках человека собираются во фрактальные узоры. [57] Аналогичным образом Маттиас Вайс показал, что эндоплазматическая сеть демонстрирует фрактальные особенности. [73] В настоящее время считается, что фракталы широко распространены в клеточной биологии, от белков до органелл и целых клеток.

В творческих работах

С 1999 года многочисленные научные группы провели фрактальный анализ более чем 50 картин Джексона Поллока, наливая краску прямо на горизонтальные холсты. [74] [75] [76]

Недавно фрактальный анализ был использован для достижения 93% успеха в различении настоящего минтая от имитации. [77] Когнитивные нейробиологи показали, что фракталы Поллока вызывают такое же снижение стресса у наблюдателей, как фракталы, созданные компьютером, и фракталы природы. [78]

Декалькомания , техника, используемая такими художниками, как Макс Эрнст , может создавать фрактальные узоры. [79] Он включает в себя вдавливание краски между двумя поверхностями и их разрывание.

Кибернетик Рон Эглаш предположил, что фрактальная геометрия и математика преобладают в африканском искусстве , играх, гадании , торговле и архитектуре. Круглые дома появляются в виде кругов из кругов, прямоугольные дома в виде прямоугольников из прямоугольников и так далее. Подобные чешуйчатые узоры также можно найти в африканском текстиле, скульптуре и даже в прическах с косичками. [27] [80] Хокки Ситунгкир также предположил аналогичные свойства индонезийского традиционного искусства, батика и орнаментов, встречающихся в традиционных домах. [81] [82]

Этномаматик Рон Эглаш обсудил запланированную планировку города Бенина, взяв за основу фракталы, не только в самом городе и деревнях, но даже в комнатах домов. Он прокомментировал: «Когда европейцы впервые приехали в Африку, они считали архитектуру очень дезорганизованной и, следовательно, примитивной. Им никогда не приходило в голову, что африканцы могли использовать форму математики, которую они еще даже не открыли». [83]

В интервью 1996 года Майклу Сильверблатту Дэвид Фостер Уоллес объяснил , что структура первого варианта « Бесконечной шутки», которую он дал своему редактору Майклу Питчу, была вдохновлена ​​фракталами, в частности треугольником Серпинского (также известным как прокладка Серпинского), но что отредактированный роман «больше похоже на однобокую прокладку Серпинского». [26]

Некоторые работы голландского художника MC Escher , такие как Circle Limit III , содержат повторяющиеся до бесконечности формы, которые становятся все меньше и меньше по мере приближения к краям, образуя узор, который всегда будет выглядеть одинаково при увеличении масштаба.

Эстетика и психологический эффект фрактального дизайна: [84] Широко распространенные в природе фрактальные узоры обладают самоподобными компонентами, которые повторяются в различных масштабах. Включение этих природных закономерностей может повлиять на восприятие среды, созданной человеком. Предыдущая работа продемонстрировала устойчивые тенденции в предпочтениях и оценках сложности фрактальных моделей. Однако о влиянии других визуальных суждений собрано ограниченное количество информации. Здесь мы исследуем эстетический и перцептивный опыт фрактальных конструкций «глобального леса», уже установленных в созданных человеком пространствах, и демонстрируем, как компоненты фрактальных узоров связаны с положительным психологическим опытом, который можно использовать для повышения благополучия обитателей. Эти конструкции представляют собой составные фрактальные узоры, состоящие из отдельных фрактальных «семен деревьев», которые в совокупности создают «глобальный фрактальный лес». Локальные модели «семян деревьев», глобальная конфигурация мест расположения семян деревьев и общие результирующие модели «глобального леса» обладают фрактальными качествами. Эти конструкции охватывают несколько сред, но все они предназначены для снижения стресса у пассажиров без ущерба для функциональности и общего дизайна пространства. В этой серии исследований мы сначала установили различные отношения между различными визуальными атрибутами: сложность шаблона, предпочтения и рейтинги вовлеченности увеличиваются с увеличением фрактальной сложности по сравнению с рейтингами освежения и расслабления, которые остаются неизменными или уменьшаются с увеличением сложности. Впоследствии мы определяем, что локальные составляющие фрактальные («семена дерева») паттерны способствуют восприятию общего фрактального дизайна, и решаем, как сбалансировать эстетические и психологические эффекты (например, индивидуальный опыт воспринимаемого взаимодействия и расслабления) во фрактальном дизайне. установки. Этот набор исследований показывает, что фрактальное предпочтение обусловлено балансом между повышенным возбуждением (желанием к участию и сложности) и пониженным напряжением (желанием расслабиться или освежиться). Инсталляции этих составных моделей «глобального леса» средней и высокой сложности, состоящих из компонентов «деревьев», уравновешивают эти контрастирующие потребности и могут служить практической реализацией биофильных моделей в созданной человеком среде для повышения благополучия жителей.

Физиологические реакции

Люди, по-видимому, особенно хорошо приспособлены к обработке фрактальных узоров с фрактальной размерностью от 1,3 до 1,5. [85] Когда люди рассматривают фрактальные узоры с фрактальной размерностью от 1,3 до 1,5, это имеет тенденцию снижать физиологический стресс. [86] [87]

Приложения в технике

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Оригинальная статья, Леви, Поль (1938). «Плоскости Курбов или мешки и поверхности, составленные из партий, похожих на все». Журнал Политехнической школы : 227–247, 249–291., переведено в «Эдгаре», страницы 181–239.
  2. ^ Карта кривой Гильберта не является гомеоморфизмом , поэтому она не сохраняет топологическую размерность. Топологическая размерность и Хаусдорфова размерность образа отображения Гильберта в R 2 равны 2. Однако обратите внимание, что топологическая размерность графика отображения Гильберта (множества в R 3 ) равна 1.

Рекомендации

  1. ^ abcdefghijklmnop Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы. Макмиллан. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. ^ abcde Фальконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Джон Уайли и сыновья. XXV. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. ^ аб Бриггс, Джон (1992). Фракталы: закономерности хаоса . Лондон: Темза и Гудзон. п. 148. ИСБН 978-0-500-27693-8.
  4. ^ abcdefghij Вичек, Тамаш (1992). Явления фрактального роста . Сингапур/Нью-Джерси: World Scientific. стр. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
  5. ^ abc Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж/Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. ^ abc Мандельброт, Бенуа Б. (2004). Фракталы и хаос . Берлин: Шпрингер. п. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. Фрактальное множество — это множество, у которого фрактальная размерность (Хаусдорфа-Безиковича) строго превышает топологическую размерность.
  7. ^ Сигал, SL (июнь 1978 г.). «Продолжение примера Римана с непрерывной« недифференцируемой »функцией». Математический интеллект . 1 (2): 81–82. дои : 10.1007/BF03023065. S2CID  120037858.
  8. ^ abcdefgh Эдгар, Джеральд (2004). Классика о фракталах . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  9. ^ abcdefghi Троше, Холли (2009). «История фрактальной геометрии». MacTutor История математики . Архивировано из оригинала 12 марта 2012 года.
  10. ^ Мандельброт, Бенуа. «24/7 Лекция о фракталах». Шнобелевская премия 2006 года . Невероятное исследование. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года.
  11. ^ Мандельброт, BB: Фрактальная геометрия природы. WH Freeman and Company, Нью-Йорк (1982); п. 15.
  12. ^ Эдгар, Джеральд (2007). Мера, топология и фрактальная геометрия. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-0-387-74749-1.
  13. ^ abc Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-13938-6.
  14. ^ Крапивский, ПЛ; Бен-Наим, Э. (1994). «Мультимасштабирование в стохастических фракталах». Буквы по физике А. 196 (3–4): 168. Бибкод : 1994PhLA..196..168K. дои : 10.1016/0375-9601(94)91220-3.
  15. ^ Хасан, МК; Роджерс, Дж.Дж. (1995). «Модели фрагментации и стохастические фракталы». Буквы по физике А. 208 (1–2): 95. Бибкод : 1995PhLA..208...95H. дои : 10.1016/0375-9601(95)00727-к.
  16. ^ Хасан, МК; Павел, Н.И.; Пандит, РК; Куртс, Дж. (2014). «Диадическое множество Кантора и его кинетический и стохастический аналог». Хаос, солитоны и фракталы . 60 : 31–39. arXiv : 1401.0249 . Бибкод : 2014CSF....60...31H. дои :10.1016/j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
  17. ^ ab Brothers, Харлан Дж. (2007). «Структурное масштабирование в Сюите для виолончели № 3 Баха». Фракталы . 15 (1): 89–95. дои : 10.1142/S0218348X0700337X.
  18. ^ Аб Тан, Кан Озан; Коэн, Майкл А.; Экберг, Дуэйн Л.; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства изменчивости периодов сердца человека: физиологические и методологические последствия». Журнал физиологии . 587 (15): 3929–41. doi : 10.1113/jphysical.2009.169219. ПМК 2746620 . ПМИД  19528254. 
  19. ^ Аб Лю, Цзин Цз.; Чжан, Лу Д.; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальное измерение мозжечка человека, измеренное с помощью магнитно-резонансной томографии». Биофизический журнал . 85 (6): 4041–4046. Бибкод : 2003BpJ....85.4041L. дои : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6. ПМК 1303704 . ПМИД  14645092. 
  20. ^ аб Карпериен, Одри Л.; Елинек, Герберт Ф.; Бьюкен, Аластер М. (2008). «Анализ форм микроглии с помощью подсчета ящиков при шизофрении, болезни Альцгеймера и аффективном расстройстве». Фракталы . 16 (2): 103. дои :10.1142/S0218348X08003880.
  21. ^ abcde Елинек, Герберт Ф.; Карпериен, Одри; Корнфорт, Дэвид; Сезар, Роберто; Леандро, Хорхе де Хесус Гомес (2002). «MicroMod-L-системный подход к нейронному моделированию». В Саркере, Рухул (ред.). Материалы семинара: Шестой совместный семинар Австралии и Японии по интеллектуальным и эволюционным системам, Университетский дом, АНУ. Университет Нового Южного Уэльса. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC  224846454 . Проверено 3 февраля 2012 г. Место проведения: Канберра, Австралия.
  22. ^ Аб Ху, Сёгенг; Ченг, Цюмин; Ван, Ле; Се, Шуюнь (2012). «Мультифрактальная характеристика цены городской жилой земли в пространстве и времени». Прикладная география . 34 : 161–170. doi :10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
  23. ^ аб Карпериен, Одри; Елинек, Герберт Ф.; Леандро, Хорхе де Хесус Гомес; Соарес, Жуан В.Б.; Сезар-младший, Роберто М.; Лаки, Алан (2008). «Автоматическое выявление пролиферативной ретинопатии в клинической практике». Клиническая офтальмология . 2 (1): 109–122. дои : 10.2147/OPTH.S1579 . ПМК 2698675 . ПМИД  19668394. 
  24. ^ abcd Лоса, Габриэле А.; Нонненмахер, Тео Ф. (2005). Фракталы в биологии и медицине. Спрингер. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  25. ^ abc Ваннукки, Паола; Леони, Лоренцо (2007). «Структурная характеристика декольте Коста-Рики: свидетельства сейсмически вызванных пульсаций жидкости». Письма о Земле и планетологии . 262 (3–4): 413. Бибкод : 2007E&PSL.262..413V. дои : 10.1016/j.epsl.2007.07.056. hdl : 2158/257208 . S2CID  128467785.
  26. ↑ Аб Уоллес, Дэвид Фостер (4 августа 2006 г.). «Книжный червь на KCRW». Kcrw.com. Архивировано из оригинала 11 ноября 2010 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  27. ^ аб Эглаш, Рон (1999). «Африканские фракталы: современные вычисления и дизайн коренных народов». Нью-Брансуик: Издательство Университета Рутгерса. Архивировано из оригинала 3 января 2018 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  28. ^ ab Оствальд, Майкл Дж., и Воган, Жозефина (2016) Фрактальное измерение архитектуры Бирхаузер, Базель. дои : 10.1007/978-3-319-32426-5.
  29. ^ Барангер, Майкл. «Хаос, сложность и энтропия: разговор о физике для нефизиков» (PDF) .
  30. ^ Бенуа Мандельброт, Фракталы Объектов , 1975, с. 4
  31. ^ abcd Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Джеральд Л. (2008). «Бенуа Мандельброт: Своими словами». Математические люди: анкеты и интервью . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. п. 214. ИСБН 978-1-56881-340-0.
  32. ^ «фрактал» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
  33. ^ abcd Гордон, Найджел (2000). Знакомство с фрактальной геометрией. Даксфорд: Значок. п. 71. ИСБН 978-1-84046-123-7.
  34. ^ Эглаш, Рон (1999). Африканские фракталы. Современные вычисления и дизайн коренных народов . Издательство Университета Рутгерса. ISBN 978-0-8135-2613-3.
  35. ^ аб Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики. Стерлинг. п. 310. ИСБН 978-1-4027-5796-9.
  36. ^ «Фрактальная геометрия». www-history.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 11 апреля 2017 г.
  37. ^ Мандельброт, Б. (1967). «Какова длина побережья Британии?». Наука . 156 (3775): 636–638. Бибкод : 1967Sci...156..636M. дои : 10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 19 октября 2021 года . Проверено 31 октября 2020 г.
  38. ↑ Бэтти, Майкл (4 апреля 1985 г.). «Фракталы – геометрия между измерениями». Новый учёный . 105 (1450): 31.
  39. ^ Расс, Джон К. (1994). Фрактальные поверхности. Том. 1. Спрингер. п. 1. ISBN 978-0-306-44702-0. Проверено 5 февраля 2011 г.
  40. ^ "Vol Libre, потрясающий компьютерный фильм 1980 года" . kottke.org . Проверено 12 февраля 2023 г.
  41. ^ Эдгар, Джеральд (2008). Мера, топология и фрактальная геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 1. ISBN 978-0-387-74748-4.
  42. ^ Карпериен, Одри (2004). Определение морфологии микроглии: форма, функция и фрактальное измерение . Университет Чарльза Стерта. дои : 10.13140/2.1.2815.9048.
  43. ^ Спенсер, Джон; Томас, Майкл С.К.; Макклелланд, Джеймс Л. (2009). На пути к единой теории развития: переосмысление коннекционизма и теории динамических систем . Оксфорд/Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-530059-8.
  44. ↑ Фрейм, Ангус (3 августа 1998 г.). «Итерированные функциональные системы». В Пиковере, Клиффорд А. (ред.). Хаос и фракталы: путешествие в компьютерной графике: десятилетний сборник передовых исследований. Эльзевир. стр. 349–351. ISBN 978-0-444-50002-1. Проверено 4 февраля 2012 г.
  45. ^ "Ковер Хафермана". Вольфрам Альфа . Проверено 18 октября 2012 г.
  46. ^ abcd Хан, Хорст К.; Георг, Манфред; Пейтген, Хайнц-Отто (2005). «Фрактальные аспекты трехмерной сосудистой конструктивной оптимизации». В Лосе, Габриэле А.; Нонненмахер, Тео Ф. (ред.). Фракталы в биологии и медицине. Спрингер. стр. 55–66. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  47. ^ Дж. В. Кэннон, У. Дж. Флойд, У. Р. Парри. Правила конечного подразделения . Конформная геометрия и динамика, том. 5 (2001), стр. 153–196.
  48. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (2000). Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике. Всемирная научная. ISBN 978-981-02-3792-9.
  49. ^ Фатхаллах-Шейх, Хасан М. (2011). «Фрактальное измерение циркадных часов дрозофилы». Фракталы . 19 (4): 423–430. дои : 10.1142/S0218348X11005476.
  50. ^ «Охота на скрытое измерение». Нова . ПБС. WPMB-Мэриленд. 28 октября 2008 г.
  51. ^ Садег, Саназ (2017). «Плазменная мембрана разделена самоподобной кортикальной актиновой сеткой». Физический обзор X . 7 (1): 011031. arXiv : 1702.03997 . Бибкод : 2017PhRvX...7a1031S. doi : 10.1103/PhysRevX.7.011031. ПМК 5500227 . ПМИД  28690919. 
  52. ^ Фальконер, Кеннет (2013). Фракталы, очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета.
  53. ^ Лавджой, Шон (1982). «Соотношение площади и периметра для областей дождя и облаков». Наука . 216 (4542): 185–187. Бибкод : 1982Sci...216..185L. дои : 10.1126/science.216.4542.185. PMID  17736252. S2CID  32255821.
  54. ^ Кэннон, Джеймс В.; Флойд, Уильям Дж.; Перри, Уолтер Р. (2000). «Рост кристаллов, рост биологических клеток и геометрия». В Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (ред.). Формирование закономерностей в биологии, зрении и динамике . Всемирная научная. стр. 65–82. ISBN 978-981-02-3792-9.
  55. ^ Сингх, Чамкор; Мацца, Марко (2019), «Электрификация в гранулированных газах приводит к ограниченному фрактальному росту», Scientific Reports , Nature Publishing Group, 9 (1): 9049, arXiv : 1812.06073 , Bibcode : 2019NatSR...9.9049S, doi : 10.1038/ с41598-019-45447-х , ПМК 6588598 , ПМИД  31227758 
  56. ^ Сорнетт, Дидье (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: понятия и инструменты . Спрингер. стр. 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6.
  57. ^ abc Sweet, Д.; Отт, Э.; Йорк, Дж. А. (1999), «Сложная топология хаотического рассеяния: лабораторное наблюдение», Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S, doi : 10.1038/20573, S2CID  4361904
  58. ^ Д. Сикелл; Б. Сил; Э. Линдмарк; П. Быстром (2021). «Отношения фрактального масштабирования для притоков рек и озер». Письма о геофизических исследованиях . 48 (9): e2021GL093366. Бибкод : 2021GeoRL..4893366S. дои : 10.1029/2021GL093366. ISSN  0094-8276. S2CID  235508504.
  59. ^ Д. Сикелл; МЛ Пейс; Эл Джей Транвик; К. Верпоортер (2013). «Фрактальный подход к распределению озер по размерам» (PDF) . Письма о геофизических исследованиях . 40 (3): 517–521. Бибкод : 2013GeoRL..40..517S. дои : 10.1002/grl.50139. S2CID  14482711.
  60. ^ BB Сил; Д.А. Сикелл (2016). «Распределение озер Земли по размерам». Научные отчеты . 6 : 29633. Бибкод : 2016NatSR...629633C. дои : 10.1038/srep29633. ПМЦ 4937396 . ПМИД  27388607. 
  61. ^ Аддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс. ЦРК Пресс. стр. 44–46. ISBN 978-0-7503-0400-9. Проверено 5 февраля 2011 г.
  62. ^ Энрайт, Мэтью Б.; Лейтнер, Дэвид М. (27 января 2005 г.). «Массовая фрактальная размерность и компактность белков». Физический обзор E . 71 (1): 011912. Бибкод : 2005PhRvE..71a1912E. doi : 10.1103/PhysRevE.71.011912. ПМИД  15697635.
  63. ^ Такеда, Т; Исикава, А; Отомо, К; Кобаяши, Ю; Мацуока, Т. (февраль 1992 г.). «Фрактальная размерность дендритного дерева клетки Пуркинье мозжечка в процессе онто- и филогенетического развития». Неврологические исследования . 13 (1): 19–31. дои : 10.1016/0168-0102(92)90031-7. PMID  1314350. S2CID  4158401.
  64. ^ Такаясу, Х. (1990). Фракталы в физических науках. Манчестер: Издательство Манчестерского университета. п. 36. ISBN 978-0-7190-3434-3.
  65. ^ Джун, Ли; Остоя-Старжевски, Мартин (1 апреля 2015 г.). «Края колец Сатурна фрактальны». СпрингерПлюс . 4, 158: 158. doi : 10.1186/s40064-015-0926-6 . ПМК 4392038 . ПМИД  25883885. 
  66. ^ Мейер, Ив; Рокес, Сильви (1993). Прогресс в вейвлет-анализе и приложениях: материалы Международной конференции «Вейвлеты и приложения», Тулуза, Франция – июнь 1992 г. Atlantica Séguier Frontières. п. 25. ISBN 978-2-86332-130-0. Проверено 5 февраля 2011 г.
  67. ^ Ожован М.И., Дмитриев И.Е., Батюхнова О.Г. Фрактальная структура пор глинистой почвы. Атомная энергия, 74, 241–243 (1993).
  68. ^ Шринивасан, КР; Менево, К. (1986). «Фрактальные грани турбулентности». Журнал механики жидкости . 173 : 357–386. Бибкод : 1986JFM...173..357S. дои : 10.1017/S0022112086001209. S2CID  55578215.
  69. ^ де Сильва, CM; Филип, Дж.; Чаухан, К.; Менево, К.; Марусич, И. (2013). «Многомасштабная геометрия и масштабирование границы турбулентность-нетурбулентность в пограничных слоях с высоким числом Рейнольдса». Физ. Преподобный Летт . 111 (6039): 192–196. Бибкод : 2011Sci...333..192A. дои : 10.1126/science.1203223. PMID  21737736. S2CID  22560587.
  70. ^ Леггетт, Сьюзен Э.; Неронья, Закари Дж.; Бхаскар, Дхананджай; Сим, Джи Юн; Пердикари, Теодора Мирто; Вонг, Ян Ю. (27 августа 2019 г.). «Ограниченная подвижностью агрегация эпителиальных клеток молочной железы во фракталоподобные кластеры». Труды Национальной академии наук . 116 (35): 17298–17306. Бибкод : 2019PNAS..11617298L. дои : 10.1073/pnas.1905958116 . ISSN  0027-8424. ПМК 6717304 . ПМИД  31413194. 
  71. ^ Елинек, Герберт Ф; Фернандес, Эдуардо (июнь 1998 г.). «Нейроны и фракталы: насколько надежны и полезны расчеты фрактальных размерностей?». Журнал методов нейробиологии . 81 (1–2): 9–18. дои : 10.1016/S0165-0270(98)00021-1. PMID  9696304. S2CID  3811866.
  72. ^ Кросс, Саймон С. (1997). «Фракталы в патологии». Журнал патологии . 182 (1): 1–8. doi : 10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1<1::AID-PATH808>3.0.CO;2-B . ISSN  1096-9896. PMID  9227334. S2CID  23274235.
  73. ^ Спекнер, Константин; Стадлер, Лоренц; Вайс, Матиас (9 июля 2018 г.). «Аномальная динамика сети эндоплазматического ретикулума». Физический обзор E . 98 (1): 012406. Бибкод : 2018PhRvE..98a2406S. doi : 10.1103/PhysRevE.98.012406. ISSN  2470-0045. PMID  30110830. S2CID  52010780.
  74. ^ Тейлор, РП; и другие. (1999). «Фрактальный анализ капельных картин Поллока». Природа . 399 (6735): 422. Бибкод : 1999Natur.399..422T. дои : 10.1038/20833 . S2CID  204993516.
  75. ^ Тейлор, РП; и другие. (2006). «Фрактальный анализ: возвращение к картинам Поллока (Ответ)». Природа . 444 (7119): E10–11. Бибкод : 2006Natur.444E..10T. дои : 10.1038/nature05399. S2CID  31353634.
  76. ^ Ли, С.; Олсен, С.; Гуч, Б. (2007). «Моделирование и анализ картин Джексона Поллока». Журнал математики и искусств . 1 (2): 73–83. CiteSeerX 10.1.1.141.7470 . дои : 10.1080/17513470701451253. S2CID  8529592. 
  77. ^ Шамар, Л. (2015). «Что делает минтай: подход машинного зрения» (PDF) . Международный журнал искусств и технологий . 8 : 1–10. CiteSeerX 10.1.1.647.365 . дои : 10.1504/IJART.2015.067389. Архивировано из оригинала (PDF) 25 октября 2017 года . Проверено 24 октября 2017 г. 
  78. ^ Тейлор, РП; Спехар, Б.; Ван Донкелаар, П.; Хагерхолл, CM (2011). «Перцептивные и физиологические реакции на фракталы Джексона Поллока». Границы человеческой неврологии . 5 : 1–13. дои : 10.3389/fnhum.2011.00060 . ПМК 3124832 . ПМИД  21734876. 
  79. ^ Фрейм, Майкл; и Мандельброт, Бенуа Б.; Панорама фракталов и их использования. Архивировано 23 декабря 2007 г. в Wayback Machine.
  80. ↑ Нельсон, Брин (23 февраля 2000 г.). «Сложная математика, лежащая в основе дизайна африканских деревень / Фрактальные узоры используют повторение в больших и малых масштабах». СФГЕЙТ . Проверено 12 февраля 2023 г.
  81. ^ Ситунгкир, Хокки; Дахлан, Ролан (2009). Физика батика: реализация творческих решений, фрактал пада батик, секара вычислений . Джакарта: Грамедиа Пустака Утама. ISBN 978-979-22-4484-7 
  82. ↑ Рулистия, Новия Д. (6 октября 2015 г.). «Приложение отображает историю батика нации». Джакарта Пост . Проверено 25 сентября 2016 г.
  83. ↑ Кутонин, Мавуна (18 марта 2016 г.). «История городов № 5: Бенин-Сити, могучая средневековая столица, теперь бесследно потерянная». Проверено 2 апреля 2018 г.
  84. ^ Роблес, Келли Э.; Робертс, Мишель; Вьенгкхэм, Кэтрин; Смит, Джулиан Х.; Роуленд, Конор; Мослехи, Саба; Стадлобер, Сабрина; Лесяк, Анастасия; Лесяк, Мартин; Тейлор, Ричард П.; Спехар, Бранка; Серено, Маргарет Э. (2021). «Эстетика и психологические эффекты фрактального дизайна». Границы в психологии . 12 . дои : 10.3389/fpsyg.2021.699962 . ISSN  1664-1078. ПМЦ 8416160 . ПМИД  34484047. 
  85. ^ Тейлор, Ричард П. (2016). «Фрактальная беглость: тесная связь между мозгом и обработкой фрактальных стимулов». В Ди Иева, Антонио (ред.). Фрактальная геометрия мозга . Серия Спрингера по вычислительной нейронауке. Спрингер. стр. 485–496. ISBN 978-1-4939-3995-4.
  86. ^ Тейлор, Ричард П. (2006). «Снижение физиологического стресса с помощью фрактального искусства и архитектуры». Леонардо . 39 (3): 245–251. дои : 10.1162/leon.2006.39.3.245. S2CID  8495221.
  87. ^ Для дальнейшего обсуждения этого эффекта см. Taylor, Richard P.; Спехар, Бранка; Донкелаар, Пол Ван; Хагерхолл, Кэролайн М. (2011). «Перцептивные и физиологические реакции на фракталы Джексона Поллока». Границы человеческой неврологии . 5 : 60. дои : 10.3389/fnhum.2011.00060 . ПМК 3124832 . ПМИД  21734876. 
  88. ^ Холфельд, Роберт Г.; Коэн, Натан (1999). «Самоподобие и геометрические требования частотной независимости антенн». Фракталы . 7 (1): 79–84. дои : 10.1142/S0218348X99000098.
  89. ^ Райнер, Ричард; Вальтерайт, Патрик; Бенхелифа, Фуад; Мюллер, Стефан; Уолчер, Герберт; Вагнер, Сандрин; Набережная, Рюдигер; Шлехтвег, Майкл; Амбахер, Оливер; Амбахер, О. (2012). «Фрактальные структуры для низкоомных силовых транзисторов AlGaN/GaN большой площади». 2012 24-й Международный симпозиум по силовым полупроводниковым приборам и ИС . стр. 341–344. дои : 10.1109/ISPSD.2012.6229091. ISBN 978-1-4577-1596-9. S2CID  43053855.{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
  90. ^ Живэй Хуан; Юнхо Хван; Викрант Ауте; Рейнхард Радермахер (2016). «Обзор фрактальных теплообменников» (PDF) Международная конференция по охлаждению и кондиционированию воздуха . Бумага 1725 г.{{cite web}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
  91. ^ Чен, Янгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределения городов по размерам с использованием корреляционных функций». ПЛОС ОДИН . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Бибкод : 2011PLoSO...624791C. дои : 10.1371/journal.pone.0024791 . ПМК 3176775 . ПМИД  21949753. 
  92. ^ «Приложения». Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Проверено 21 октября 2007 г.
  93. ^ Азуа-Бустос, Армандо; Вега-Мартинес, Кристиан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение «жизни, какой мы ее не знаем» с помощью фрактального анализа»». Международный журнал астробиологии . 12 (4): 314–320. дои : 10.1017/S1473550413000177. hdl : 11336/26238 . S2CID  122793675.
  94. ^ Смит, Роберт Ф.; Мор, Дэвид Н.; Торрес, Висенте Э.; Оффорд, Кеннет П.; Мелтон III, Л. Джозеф (1989). «Почечная недостаточность у внебольничных пациентов с легкой бессимптомной микрогематурией». Труды клиники Мэйо . 64 (4): 409–414. дои : 10.1016/s0025-6196(12)65730-9. ПМИД  2716356.
  95. ^ Ландини, Габриэль (2011). «Фракталы в микроскопии». Журнал микроскопии . 241 (1): 1–8. дои : 10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x. PMID  21118245. S2CID  40311727.
  96. ^ Ченг, Цюмин (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология . 29 (7): 919–932. дои : 10.1023/А: 1022355723781. S2CID  118918429.
  97. ^ Чен, Янгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределения городов по размерам с использованием корреляционных функций». ПЛОС ОДИН . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Бибкод : 2011PLoSO...624791C. дои : 10.1371/journal.pone.0024791 . ПМК 3176775 . ПМИД  21949753. 
  98. ^ Беркл-Элизондо, Херардо; Вальдес-Сепеда, Рикардо Давид (2006). «Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни . 10 (1): 105–122. ПМИД  16393505.
  99. ^ Браун, Клиффорд Т.; Витчи, Уолтер РТ; Либович, Ларри С. (2005). «Разбитое прошлое: фракталы в археологии». Журнал археологического метода и теории . 12 : 37–78. doi : 10.1007/s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
  100. ^ Саиди, Пантеха; Соренсен, Сорен А. (2009). «Алгоритмический подход к созданию тестовых полей после стихийного бедствия для поисково-спасательных агентов» (PDF) . Материалы Всемирного инженерного конгресса 2009 : 93–98. ISBN 978-988-17-0125-1.
  101. ^ «Внутреннее устройство графического процессора» (PDF) .
  102. ^ «патенты Sony».
  103. ^ «Описание swizzled и гибридных плиточных текстур».
  104. ^ «US8773422B1 - Система, метод и компьютерный программный продукт для группировки линейно упорядоченных примитивов» . Гугл Патенты . 4 декабря 2007 года . Проверено 28 декабря 2019 г.
  105. ^ «US20110227921A1 - Обработка данных трехмерной компьютерной графики с помощью нескольких механизмов затенения» . Гугл Патенты . 15 декабря 2010 года . Проверено 27 декабря 2019 г.
  106. ^ "База данных турбулентности Джона Хопкинса" .
  107. ^ Ли, Ю.; Перлман, Э.; Ван, М.; Ян, да; Менево, К.; Бернс, Р.; Чен, С.; Салай, А.; Эйинк, Г. (2008). «Кластер общедоступных баз данных о турбулентности и приложения для изучения лагранжевой эволюции приращения скорости в турбулентности». Журнал турбулентности . 9 : N31. arXiv : 0804.1703 . Бибкод : 2008JTurb...9...31L. дои : 10.1080/14685240802376389. S2CID  15768582.

дальнейшее чтение

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с фракталом.
В Wikibooks есть книга на тему: Фракталы.