Винеровский процесс

Случайный процесс, обобщающий броуновское движение

Единственная реализация одномерного винеровского процесса

Единая реализация трехмерного винеровского процесса

В математике винеровский процесс — это действительный случайный процесс с непрерывным временем , названный в честь американского математика Норберта Винера за его исследования математических свойств одномерного броуновского движения. ^[1] Его часто также называют броуновским движением из-за его исторической связи с одноименным физическим процессом, первоначально наблюдавшимся шотландским ботаником Робертом Брауном . Это один из самых известных процессов Леви ( случайные процессы со стационарными независимыми приращениями ), который часто встречается в чистой и прикладной математике , экономике , количественных финансах , эволюционной биологии и физике .

Винеровский процесс играет важную роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике винеровский процесс дал начало изучению мартингалов с непрерывным временем . Это ключевой процесс, с помощью которого можно описать более сложные случайные процессы. По существу, он играет жизненно важную роль в стохастическом исчислении , диффузионных процессах и даже теории потенциала . Это движущий процесс эволюции Шрамма-Лёвнера . В прикладной математике винеровский процесс используется для представления интеграла гауссовского процесса белого шума и поэтому полезен в качестве модели шума в электронной технике (см. Броуновский шум ), ошибок приборов в теории фильтрации и возмущений в теории управления .

Винеровский процесс находит применение во всех математических науках. В физике он используется для изучения броуновского движения , диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, и других типов диффузии с помощью уравнений Фоккера-Планка и Ланжевена . Он также формирует основу для строгой формулировки квантовой механики с использованием интеграла по траекториям ( по формуле Фейнмана-Каца решение уравнения Шредингера может быть представлено в терминах процесса Винера) и изучения вечной инфляции в физической космологии . Это также заметно в математической теории финансов , в частности в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза .

Характеристики винеровского процесса

Винеровский процесс характеризуется следующими свойствами: ^[2] ${\displaystyle W_{t}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ почти наверняка
2. ${\displaystyle W}$имеет независимые приращения : для каждого будущие приращения не зависят от прошлых значений , ${\displaystyle t>0,}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t},}$ ${\displaystyle u\geq 0,}$ ${\displaystyle W_{s}}$ ${\displaystyle s<t.}$
3. ${\displaystyle W}$имеет гауссово приращение: обычно распределяется со средним значением и дисперсией , ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).}$
4. ${\displaystyle W}$почти наверняка имеет непрерывные пути: почти наверняка непрерывен в . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Наличие независимых приращений процесса означает, что если 0 ⩽ s ₁ < t ₁ ⩽ s ₂ < t ₂ , то W _{t 1} − W _{s 1} и W _{t 2} − W _{s 2} являются независимыми случайными величинами, и аналогичное условие выполняется для n приращения.

Альтернативной характеристикой процесса Винера является так называемая характеристика Леви , которая гласит, что процесс Винера представляет собой почти наверняка непрерывный мартингал с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией [ W _t , W _t ] = t (что означает, что W _t ² − t также является мартингалом).

Третья характеристика состоит в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются независимыми N (0, 1) случайными величинами. Это представление можно получить с помощью теоремы Карунена–Лоэва .

Другой характеристикой винеровского процесса является определенный интеграл (от нулевого времени до момента t ) нулевого среднего, единичной дисперсии, дельта-коррелированного («белого») гауссовского процесса . ^[3]

Винеровский процесс можно построить как масштабный предел случайного блуждания или других случайных процессов с дискретным временем и стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Как и случайное блуждание, винеровский процесс рекуррентен в одном или двух измерениях (это означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не является рекуррентным в измерениях три и выше (где многомерный винеровский процесс представляет собой процесс такой, что его координаты являются независимыми винеровскими процессами). ^[4] В отличие от случайного блуждания, оно масштабно-инвариантно , что означает, что

$${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$$

αВинеравероятностный законнепрерывных функций gg (0) = 0,интегралом Винера

Винеровский процесс как предел случайного блуждания

Пусть это iid случайные величины со средним значением 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите случайный процесс с непрерывным временем. ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$

$${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}$$

близкаТеорема Донскера^[5] ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$ ${\displaystyle N(0,t-s)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle W_{n}}$

Свойства одномерного винеровского процесса

Пять выбранных процессов, ожидаемое стандартное отклонение выделено серым цветом.

Основные свойства

Безусловная функция плотности вероятности следует нормальному распределению со средним значением = 0 и дисперсией = t в фиксированный момент времени t :

$${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

Ожидание равно нулю:

$${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

Дисперсия , если использовать вычислительную формулу, равна t :

$${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

Эти результаты непосредственно следуют из определения, что приращения имеют нормальное распределение с центром в нуле. Таким образом

$${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$

Ковариация и корреляция

Ковариация и корреляция ( где ): ${\displaystyle s\leq t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

Эти результаты следуют из определения, что непересекающиеся приращения независимы, и используется только то свойство, что они некоррелированы. Предположим, что . ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

Замена

$${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

Поскольку и независимы, ${\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

Таким образом

$${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

Следствие, полезное для моделирования, состоит в том, что мы можем написать для t ₁ < t ₂ :

$${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$

Z

Винерское представительство

Винер (1923) также дал представление броуновского пути в виде случайного ряда Фурье . Если — независимые гауссовы переменные со средним нулем и дисперсией единица, то ${\displaystyle \xi _{n}}$

$${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$$

$${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$

${\displaystyle [0,1]}$

$${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$

теорему Карунена–Лёва ${\displaystyle [0,c]}$

Беговой максимум

Совместное распределение бегающего максимума

$${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$

W _t

$${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

Чтобы получить безусловное распределение , проинтегрируйте по −∞ < w ≤ m : ${\displaystyle f_{M_{t}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

функция плотности вероятности полунормального распределения . Ожидание ^[6 ]

$${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

Если в момент времени винеровский процесс имеет известное значение , то можно вычислить условное распределение вероятностей максимума на интервале (см. Распределение вероятностей экстремумов винеровского стохастического процесса ). Кумулятивная функция распределения вероятностей максимального значения, обусловленная известным значением , равна: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle W_{t}}$

$${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

Самоподобие

Демонстрация броуновского масштабирования, показывающая уменьшение c . Обратите внимание, что средние характеристики функции не изменяются при увеличении масштаба, и обратите внимание, что по горизонтали она увеличивается в квадрате быстрее, чем по вертикали. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Броуновское масштабирование

Для каждого c > 0 процесс является другим винеровским процессом. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Обращение времени

Процесс для 0 ≤ t ≤ 1 распределяется как W _t для 0 ≤ t ≤ 1 . ${\displaystyle V_{t}=W_{1}-W_{1-t}}$

Инверсия времени

Это еще один винеровский процесс. ${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$

Проективная инвариантность

Рассмотрим винеровский процесс , , обусловленный так (что выполняется почти наверняка) и как обычно . Тогда все винеровские процессы представляют собой следующие (Takenaka 1988): ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }tW(t)=0}$ ${\displaystyle W(0)=0}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{1,s}(t)&=&W(t+s)-W(s),\quad s\in \mathbb {R} \\W_{2,\sigma }(t)&=&\sigma ^{-1/2}W(\sigma t),\quad \sigma >0\\W_{3}(t)&=&tW(-1/t).\end{array}}}$$

PSL(2,R)действие ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle W_{g}(t)=(ct+d)W\left({\frac {at+b}{ct+d}}\right)-ctW\left({\frac {a}{c}}\right)-dW\left({\frac {b}{d}}\right),}$ ${\displaystyle (W_{g})_{h}=W_{gh}.}$

Конформная инвариантность в двух измерениях

Пусть – двумерный винеровский процесс, рассматриваемый как комплексный процесс с . Пусть — открытое множество, содержащее 0, и ему соответствует марковское время: ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle W(0)=0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{D}}$

$${\displaystyle \tau _{D}=\inf\{t\geq 0|W(t)\not \in D\}.}$$

голоморфная функция ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(W_{t})}$ ${\displaystyle f(D)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S(t)}$

$${\displaystyle Y(t)=f(W(\sigma (t)))}$$

$${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{t}|f'(W(s))|^{2}\,ds}$$

$${\displaystyle \sigma (t)=S^{-1}(t):\quad t=\int _{0}^{\sigma (t)}|f'(W(s))|^{2}\,ds.}$$

Класс броуновских мартингалов.

Если многочлен p ( x , t ) удовлетворяет уравнению в частных производных

$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$

$${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$

мартингейл

Пример: мартингал, показывающий, что квадратичная вариация W на [0, t ] равна t . Отсюда следует, что ожидаемое время первого выхода W из (− c , c ) равно c ² . ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

В более общем смысле, для каждого многочлена p ( x , t ) следующий случайный процесс является мартингалом:

$${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$

а

$${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

Пример: процесс ${\displaystyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$

$${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$

t ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

$${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

О функциях p ( xa , t ), более общих, чем полиномы, см. локальные мартингалы .

Некоторые свойства примеров путей

Множество всех функций w с этими свойствами имеет полную винеровскую меру. То есть путь (выборочная функция) винеровского процесса почти наверняка обладает всеми этими свойствами.

Качественные свойства

• Для каждого ε > 0 функция w принимает как (строго) положительные, так и (строго) отрицательные значения на (0, ε).
• Функция w непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема (как и функция Вейерштрасса ).
• Для любого , почти наверняка не -непрерывен по Гёльдеру и почти наверняка -непрерывен по Гёльдеру. ^[7] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}+\epsilon )}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}-\epsilon )}$
• Точки локального максимума функции w представляют собой плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум является острым в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в точке t , то
  $${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$$
  То же самое справедливо и для локальных минимумов.
• Функция w не имеет точек локального возрастания, то есть ни один t > 0 не удовлетворяет следующему условию для некоторого ε из (0, t ): во-первых, w ( s ) ≤ w ( t ) для всех s из ( t − ε, t ) и, во-вторых, w ( s ) ≥ w ( t ) для всех s в ( t , t + ε). (Локальное увеличение является более слабым условием, чем условие увеличения w на ( t − ε , t + ε ).) То же самое справедливо и для локального убывания.
• Функция w имеет неограниченную вариацию на каждом интервале.
• Квадратичная вариация w на [0, t ] равна t .
• Нули функции w представляют собой нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерности Хаусдорфа 1/2 (следовательно, несчетное).

Количественные свойства

Закон повторного логарифма

$${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}$$

Модуль непрерывности

Локальный модуль непрерывности:

$${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Глобальный модуль непрерывности (Леви):

$${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Теорема об удвоении размерности

Теоремы об удвоении размерности говорят, что размерность Хаусдорфа множества при броуновском движении почти наверняка удваивается.

Местное время

Образ меры Лебега на [0, t ] при отображении w ( мера прямого действия ) имеет плотность L _t . Таким образом,

$${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$$

fL _tL _txлокальным временемxwtxababwtxxt , оно все еще непрерывно. txсингулярной функциейнеатомарнойw

Эти свойства непрерывности довольно нетривиальны. Учтите, что местное время также можно определить (как плотность прямой меры) для гладкой функции. Однако тогда плотность разрывна, если только данная функция не монотонна. Другими словами, существует конфликт между хорошим поведением функции и хорошим поведением ее локального времени. В этом смысле непрерывность локального времени винеровского процесса является еще одним проявлением негладкости траектории.

Информационная скорость

Информационная скорость винеровского процесса относительно квадрата расстояния ошибки, т.е. его квадратичная функция искажения скорости , определяется выражением ^[8]

$${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}$$

кодбитдвоичный кодсреднеквадратическая ошибка ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle TR(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2^{TR(D)}}$ ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle D-\varepsilon }$

Во многих случаях невозможно закодировать винеровский процесс без предварительной его выборки . Когда винеровский процесс дискретизируется через определенные промежутки времени перед применением двоичного кода для представления этих выборок, оптимальный компромисс между скоростью кода и ожидаемой среднеквадратической ошибкой (при оценке винеровского процесса с непрерывным временем) следует параметрическому представлению ^[9] ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle R(T_{s},D)}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$

$${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$

${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$ ${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$ ${\displaystyle T_{s}/6}$

Связанные процессы

Винеровские процессы со сносом ( синий ) и без сноса ( красный ).

2D винеровские процессы со сносом ( синий ) и без сноса ( красный ).

Генератор броуновского движения в 1/2 раза превышает оператор Лапласа -Бельтрами . На изображении выше изображено броуновское движение на специальном многообразии: поверхности сферы.

Случайный процесс, определяемый

$${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$$

винеровским процессом со сносом µ²процессы Леви

Два случайных процесса на временном интервале [0, 1] возникают, грубо говоря, при условии, что винеровский процесс обращается в нуль на обоих концах [0,1]. Без каких-либо дополнительных условий этот процесс принимает как положительные, так и отрицательные значения на [0, 1] и называется броуновским мостом . При условии сохранения положительного значения (0, 1) этот процесс называется броуновским отклонением . ^[10] В обоих случаях строгий подход включает предельную процедуру, поскольку формула P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B ) не применима, когда P ( B ) = 0.

Геометрическое броуновское движение можно записать

$${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$$

Это стохастический процесс, который используется для моделирования процессов, которые никогда не могут принимать отрицательные значения, например, стоимость акций.

Случайный процесс

$${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$$

процессу Орнштейна–Уленбека ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$

Время попадания винеровского процесса в одну точку x > 0 является случайной величиной с распределением Леви . Семейство этих случайных величин (индексированных всеми положительными числами x ) представляет собой непрерывную слева модификацию процесса Леви . Непрерывная справа модификация этого процесса задается моментами первого выхода из отрезков [0, x ].

Локальное время L = ( L ^x _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} броуновского движения описывает время, которое процесс проводит в точке x . Формально

$${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$$

δдельта-функция Диракатеоремами Рэя–Найта

Броуновские мартингалы

Пусть A — событие, связанное с винеровским процессом (более формально: множество, измеримое относительно меры Винера в пространстве функций), а X _{t —} условная вероятность A при заданном винеровском процессе на интервале времени [0 , t ] (более формально: мера Винера множества траекторий, конкатенация которых с данной частичной траекторией на [0, t ] принадлежит A ). Тогда процесс X _t является непрерывным мартингалом. Его мартингальное свойство непосредственно следует из определений, но его непрерывность — это совершенно особый факт — частный случай общей теоремы, утверждающей, что все броуновские мартингалы непрерывны. Броуновский мартингал по определению является мартингалом, адаптированным к броуновской фильтрации; а броуновская фильтрация по определению является фильтрацией , порождаемой винеровским процессом.

Интегрированное броуновское движение

Интеграл по времени винеровского процесса

$${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$

интегрированным броуновским движениеминтегрированным винеровским процессомNt ^3[11][12] ${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$

Для общего случая процесса, определенного формулой

$${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$

${\displaystyle a>0}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$

$${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$

${\displaystyle V_{f}(t)}$ ${\displaystyle V_{f}(t+a)}$ ${\displaystyle V_{f}(t)}$

$${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$

Z

$${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$

$${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$

изометрии Ито-формулой Коши для повторного интегрирования ${\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$ ${\displaystyle f(t)=t}$ ${\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$

Изменение времени

Каждый непрерывный мартингал (начиная с начала координат) представляет собой изменяющийся во времени винеровский процесс.

Пример: 2 W _t = V (4 t ), где V — другой винеровский процесс (отличный от W , но распределенный так же, как W ).

Пример. где и V — еще один винеровский процесс. ${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$ ${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

В общем, если M — непрерывный мартингал, то где A (t) — квадратичная вариация M на [ 0 , t ] , а V — винеровский процесс. ${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$

Следствие. (См. также теоремы Дуба о сходимости мартингала .) Пусть M _t — непрерывный мартингал и

$${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$

$${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

Тогда возможны только следующие два случая:

$${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$

$${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$$

${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$ ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$

В частности, неотрицательный непрерывный мартингал почти наверняка имеет конечный предел (при t → ∞).

Все сказанное (в этом подразделе) для мартингалов справедливо и для локальных мартингалов .

Изменение меры

Широкий класс непрерывных семимартингалов (особенно диффузионных процессов ) связан с винеровским процессом через комбинацию изменения времени и изменения меры .

Используя этот факт, изложенные выше качественные свойства винеровского процесса можно обобщить на широкий класс непрерывных семимартингалов. ^{[13] [14]}

Комплексный винеровский процесс

Комплексный винеровский процесс можно определить как комплексный случайный процесс вида где и – независимые винеровские процессы (действительнозначные). ^[15] ${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

Самоподобие

Броуновское масштабирование, обращение времени, инверсия времени: то же, что и в вещественном случае.

Инвариантность вращения: для каждого комплексного числа, такого, что процесс является другим винеровским процессом с комплексным знаком. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|=1}$ ${\displaystyle c\cdot Z_{t}}$

Изменение времени

Если — целая функция , то процесс представляет собой комплексный винеровский процесс с изменением во времени. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$

Пример: где ${\displaystyle Z_{t}^{2}=\left(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2}\right)+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$

$${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$$

${\displaystyle U}$

В отличие от случая с действительным значением, комплексный мартингейл обычно не является изменяемым во времени комплексным винеровским процессом. Например, мартингала нет (здесь и есть независимые винеровские процессы, как и раньше). ${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

Броуновский лист

Броуновский лист — это многопараметрическое обобщение. Определение варьируется от авторов: некоторые определяют броуновский лист как двумерный параметр времени, в то время как другие определяют его для общих размеров. ${\displaystyle t}$

Смотрите также

Примечания

1. Собрание сочинений Н. Винера, том 1
2. Дарретт, Рик (2019). "Броуновское движение". Вероятность: теория и примеры (5-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781108591034.
3. Хуанг, Стил Т.; Камбанис, Стаматис (1978). «Стохастические и кратные винеровские интегралы для гауссовских процессов». Анналы вероятности . 6 (4): 585–614. дои : 10.1214/aop/1176995480 . ISSN  0091-1798. JSTOR  2243125.
4. "Константы случайного блуждания Полии" . Вольфрам Математический мир .
5. Стивен Лэлли, Математические финансы 345 Лекция 5: Броуновское движение (2001)
6. Шрив, Стивен Э (2008). Стохастическое исчисление в финансах II: модели непрерывного времени . Спрингер. п. 114. ИСБН 978-0-387-40101-0.
7. Мёртерс, Питер; Перес, Юваль; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2010). Броуновское движение . Кембриджские серии по статистической и вероятностной математике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-76018-8.
8. Т. Бергер, «Скорость информации винеровских процессов», в IEEE Transactions on Information Theory, vol. 16, нет. 2, стр. 134–139, март 1970 г. doi: 10.1109/TIT.1970.1054423.
9. Кипнис А., Голдсмит А.Дж. и Эльдар Ю.К., 2019. Функция скорости искажения выборочных винеровских процессов. Транзакции IEEE по теории информации, 65 (1), стр. 482–499.
10. Верваат, В. (1979). «Связь между Броуновским мостом и Броуновской экскурсией». Анналы вероятности . 7 (1): 143–149. дои : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR  2242845.
11. «Вопросы для интервью VII: Интегрированное броуновское движение - Квантопия» . www.quantopia.net . Проверено 14 мая 2017 г.
12. Форум, «Вариация интегрированного винеровского процесса», 2009.
13. Ревуз Д. и Йор М. (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (т. 293). Спрингер.
14. Дуб, JL (1953). Случайные процессы (т. 101). Уайли: Нью-Йорк.
15. Наварро-морено, Дж.; Эстудильо-Мартинес, доктор медицины; Фернандес-Алькала, РМ; Руис-молина, Дж. К. (2009), «Оценка неправильных комплексных случайных сигналов в цветном шуме с использованием теории гильбертового пространства», IEEE Transactions on Information Theory , 55 (6): 2859–2867, doi : 10.1109/TIT. 2009.2018329, S2CID  5911584

Рекомендации

• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(также доступно онлайн: PDF-файлы)
• Лоулер, Грег (2005), Конформно-инвариантные процессы на плоскости , AMS.
• Старк, Генри; Вудс, Джон (2002). Вероятность и случайные процессы с применением к обработке сигналов (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0-13-020071-9.
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1994). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Второе изд.). Спрингер-Верлаг.
• Такенака, Сигео (1988), «О траекторной проективной инвариантности броуновского движения», Proc Japan Acad , 64 : 41–44..

Внешние ссылки

• Броуновское движение для школьника
• Броуновское движение, «разнообразное и волнообразное»
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
• «Предсказание Эйнштейна, наконец, стало свидетелем столетие спустя»: тест для наблюдения за скоростью броуновского движения
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах».