Матрица единиц

Матрица, в которой каждая запись равна единице

В математике матрица единиц или матрица всех единиц — это матрица , в которой каждая запись равна единице . ^[1] Ниже приведены примеры стандартных обозначений:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Некоторые источники называют матрицу «все единицы» единичной матрицей ^[2] , но этот термин может также относиться к единичной матрице , другому типу матрицы.

Вектор единиц или вектор всех единиц представляет собой матрицу единиц, имеющую форму строки или столбца ; его не следует путать с единичными векторами .

Характеристики

Для матрицы размера n  ×  n из единиц J выполняются следующие свойства:

• След J равен n , [ ^3] и определитель равен 0 для n ≥ 2, но равен 1, если n = 1. ^[a]
• Характеристический полином J равен . _ ${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• Минимальный полином J равен . _ ${\displaystyle x^{2}-nx}$
• Ранг J равен 1, а собственные значения равны n с кратностью 1 и 0 с кратностью n − 1 . ^[4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$для ^[5] ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$
• J — нейтральный элемент произведения Адамара . ^[6]

Когда J рассматривается как матрица над действительными числами , сохраняются следующие дополнительные свойства:

• J — положительная полуопределенная матрица .
• Матрица идемпотентна . _ ^[5] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$
• Матричная экспонента J равна _ ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}$

Приложения

Матрица «все единицы» возникает в математической области комбинаторики , особенно в связи с применением алгебраических методов к теории графов . Например, если A — матрица смежности n - вершинного неориентированного графа G , а J — матрица, состоящая из одних единиц того же измерения, то G — регулярный граф тогда и только тогда, когда AJ  =  JA . ^[7] В качестве второго примера, матрица появляется в некоторых линейно-алгебраических доказательствах формулы Кэли , которая дает количество остовных деревьев полного графа , используя теорему о матричном дереве .

Смотрите также

• Нулевая матрица — матрица, в которой все элементы равны нулю.
• Однозаходная матрица

Рекомендации

1. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2012), «0.2.8 Матрица и вектор, состоящие из одних единиц», Матричный анализ, Cambridge University Press, стр. 8, ISBN 9780521839402.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Единичная матрица». Математический мир .
3. Стэнли, Ричард П. (2013), Алгебраическая комбинаторика: прогулки, деревья, таблицы и многое другое, Спрингер, Лемма 1.4, стр. 4, ISBN 9781461469988.
4. Стэнли (2013); Хорн и Джонсон (2012), с. 65.
5. Тимм, Нил Х. (2002), Прикладной многомерный анализ, Тексты Springer в статистике, Springer, стр. 30, ISBN 9780387227719.
6. Смит, Джонатан Д.Х. (2011), Введение в абстрактную алгебру, CRC Press, стр. 77, ISBN 9781420063721.
7. Годсил, Крис (1993), Алгебраическая комбинаторика, CRC Press, Лемма 4.1, стр. 25, ISBN 9780412041310.

1. Можно также рассмотреть случай n = 0, и в этом случае пустая матрица является пустой матрицей, состоящей из всех единиц, также с определителем 1. ^{[ нужна ссылка ]}