Вентилятор расширения Прандтля–Майера

Явление в динамике жидкости

Когда сверхзвуковой поток встречает выпуклый угол, он образует веер расширения, состоящий из бесконечного числа волн расширения с центром в углу. На рисунке показан один из таких идеальных вееров расширения.

Сверхзвуковой веер расширения, технически известный как веер расширения Прандтля–Майера , двумерная простая волна , представляет собой центрированный процесс расширения, который происходит, когда сверхзвуковой поток поворачивает вокруг выпуклого угла. Веер состоит из бесконечного числа волн Маха , расходящихся от острого угла. Когда поток поворачивает вокруг гладкого и круглого угла, эти волны могут быть расширены назад, чтобы встретиться в точке.

Каждая волна в вентиляторе расширения поворачивает поток постепенно (небольшими шагами). Физически невозможно, чтобы поток повернулся через одну «ударную» волну, поскольку это нарушило бы второй закон термодинамики . ^[1]

Поперек вентилятора расширения поток ускоряется (скорость увеличивается), а число Маха увеличивается, в то время как статическое давление , температура и плотность уменьшаются. Поскольку процесс является изоэнтропическим , свойства стагнации (например, полное давление и полная температура) остаются постоянными поперек вентилятора.

Теория была описана Теодором Мейером в его диссертации в 1908 году вместе со своим научным руководителем Людвигом Прандтлем , который уже обсуждал эту проблему годом ранее. ^{[2] [3]}

Свойства потока

Веер расширения состоит из бесконечного числа волн расширения или линий Маха . ^[4] Первая линия Маха находится под углом по отношению к направлению потока, а последняя линия Маха находится под углом по отношению к конечному направлению потока. Поскольку поток поворачивает на малые углы и изменения поперек каждой волны расширения малы, весь процесс является изоэнтропическим. ^[1] Это значительно упрощает расчеты свойств потока. Поскольку поток является изоэнтропическим, свойства стагнации , такие как давление стагнации ( ), температура стагнации ( ) и плотность стагнации ( ), остаются постоянными. Окончательные статические свойства являются функцией конечного числа Маха потока ( ) и могут быть связаны с начальными условиями потока следующим образом, где - отношение теплоемкости газа (1,4 для воздуха): ${\displaystyle \mu _{1}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{1}}}\right)}$ ${\displaystyle \mu _{2}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{2}}}\right)}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)\\[3pt]{\frac {p_{2}}{p_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\\[3pt]{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}.\end{aligned}}}$

Число Маха после поворота ( ) связано с начальным числом Маха ( ) и углом поворота ( ) соотношением, ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =\nu (M_{2})-\nu (M_{1})\,}$

где, — функция Прандтля–Майера . Эта функция определяет угол, на который должен повернуть звуковой поток ( M = 1), чтобы достичь определенного числа Маха (M). Математически, ${\displaystyle \nu (M)\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\left(M^{2}-1\right)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}.\\\end{aligned}}}$

По соглашению, ${\displaystyle \nu (1)=0.\,}$

Таким образом, зная начальное число Маха ( ), можно вычислить и, используя угол поворота, найти . Из значения можно получить конечное число Маха ( ) и другие свойства потока. Поле скорости в веере расширения, выраженное в полярных координатах, задается выражением ^[5] ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \nu (M_{1})\,}$ ${\displaystyle \nu (M_{2})\,}$ ${\displaystyle \nu (M_{2})\,}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle v_{r}={\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}},\quad v_{\phi }=c,\quad {\text{where}}\quad \phi =-\int {\frac {d(\rho c)}{\rho {\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}}}},}$

${\displaystyle h}$— удельная энтальпия, — удельная энтальпия стагнации. ${\displaystyle h_{0}}$

Максимальный угол поворота

Существует ограничение на максимальный угол ( ), на который может повернуть сверхзвуковой поток. ${\displaystyle \theta _{\text{max}}}$

Поскольку число Маха изменяется от 1 до , принимает значения от 0 до , где ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \nu \,}$ ${\displaystyle \nu _{\text{max}}\,}$

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}\left({\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1\right).}$

Это накладывает ограничение на то, насколько может повернуться сверхзвуковой поток, при этом максимальный угол поворота определяется по формуле:

${\displaystyle \theta _{\text{max}}=\nu _{\text{max}}-\nu (M_{1}).\,}$

Можно также посмотреть на это следующим образом. Поток должен поворачиваться так, чтобы он мог удовлетворять граничным условиям. В идеальном потоке есть два вида граничных условий, которым поток должен удовлетворять,

1. Граничное условие скорости, которое предписывает, чтобы компонент скорости потока, нормальный к стенке, был равен нулю. Также известно как граничное условие непроникновения.
2. Граничное условие давления, которое гласит, что внутри потока не может быть разрыва статического давления (поскольку в потоке нет скачков уплотнения).

Если поток поворачивается достаточно, чтобы стать параллельным стенке, нам не нужно беспокоиться о граничном условии давления. Однако по мере поворота потока его статическое давление уменьшается (как описано ранее). Если для начала недостаточно давления, поток не сможет завершить поворот и не будет параллелен стенке. Это отображается как максимальный угол, на который поток может повернуть. Чем меньше число Маха для начала (т. е. мало ), тем больше максимальный угол, на который поток может повернуть. ${\displaystyle M_{1}}$

Линия тока , разделяющая конечное направление потока и стенку, называется скользящим потоком (показана на рисунке пунктирной линией). Поперек этой линии происходит скачок температуры, плотности и тангенциальной составляющей скорости (нормальная составляющая равна нулю). За пределами скользящего потока поток становится неподвижным (что автоматически удовлетворяет граничному условию скорости на стенке). В случае реального потока вместо скользящего потока наблюдается сдвиговой слой из-за дополнительного граничного условия отсутствия скольжения .

Примечания

1. 

   Процесс расширения посредством одного «удара» невозможен, поскольку он нарушит второй закон термодинамики.

   Невозможность расширения потока через одну "ударную" волну: Рассмотрим сценарий, показанный на соседнем рисунке. При повороте сверхзвукового потока нормальная составляющая скорости увеличивается ( ), а тангенциальная составляющая остается постоянной ( ). Соответствующее изменение энтропии ( ) можно выразить следующим образом: ${\displaystyle w_{2}>w_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}}$ ${\displaystyle \Delta s=s_{2}-s_{1}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta s}{R}}&=\ln \left[\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}\right]\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left({\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}\right)^{3}\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left[{\frac {\rho _{1}w_{1}^{2}}{p_{1}}}\left(1-{\frac {w_{2}}{w_{1}}}\right)\right]^{3}\end{aligned}}}$

   где, - универсальная газовая постоянная, - отношение удельных теплоемкостей, - статическая плотность, - статическое давление, - энтропия, - компонента скорости потока, нормальная к "скачку уплотнения". Суффиксы "1" и "2" относятся к начальным и конечным условиям соответственно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle w}$

   Поскольку , это означало бы, что . Поскольку это невозможно, это означает, что невозможно повернуть поток через одну ударную волну. Аргумент может быть расширен далее, чтобы показать, что такой процесс расширения может произойти, только если мы рассмотрим поворот через бесконечное число волн расширения в пределе . Соответственно, процесс расширения является изоэнтропическим процессом . ${\displaystyle w_{2}>w_{1}}$ ${\displaystyle \Delta s<0}$ ${\displaystyle \Delta s\rightarrow 0}$

2. Мейер, Т. (1908). Über zweidimensione Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Георга-Августа, Геттинген. ОСЛК  77709738.
3. Прандтль, Л. (1907). «Neue Untersuchungen über die Strömende Bewegung der Gase und Dämpfe». Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 8 : 23–30.Перепечатано в Riegels, FW, изд. (1961). Людвиг Прандтль Gesammelte Abhandlungen . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-11836-8_78.

4. 

   Для объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью ( ) из точки A в B (расстояние u·t), возмущения, возникающие в точке A, проходят расстояние c·t. Соответствующий угол известен как угол Маха, а линии, охватывающие возмущенную область, известны как линии Маха (в двумерном случае) или конус Маха (в трехмерном случае). ${\displaystyle u>c}$

   Линии Маха (конус) и угол Маха:

   Линии Маха — это концепция, обычно встречающаяся в двумерных сверхзвуковых потоках (т.е. ). Они представляют собой пару ограничивающих линий, которые отделяют область возмущенного потока от невозмущенной части потока. Эти линии встречаются парами и ориентированы под углом ${\displaystyle M\geq 1}$

   ${\displaystyle \mu =\arcsin \left({\frac {c}{u}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)}$

   относительно направления движения (также известного как угол Маха ). В случае трехмерного поля потока эти линии образуют поверхность, известную как конус Маха , с углом Маха как половиной угла конуса.

   Чтобы лучше понять концепцию, рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Мы знаем, что когда объект движется в потоке, он вызывает возмущения давления (которые распространяются со скоростью звука, также известные как волны Маха ). На рисунке показан объект, движущийся из точки A в B по линии AB со сверхзвуковой скоростью ( ). К тому времени, когда объект достигает точки B, возмущения давления из точки A прошли расстояние c·t и теперь находятся на окружности круга (с центром в точке A). Существует бесконечное множество таких кругов с центром на линии AB, каждый из которых представляет собой местоположение возмущений, вызванных движением объекта. Линии, распространяющиеся наружу из точки B и касательные ко всем этим кругам, известны как линии Маха. ${\displaystyle u>c}$

   Примечание: Эти понятия имеют физический смысл только для сверхзвуковых течений ( ). В случае дозвуковых течений возмущения будут распространяться быстрее источника и аргумент функции будет больше единицы. ${\displaystyle u\geq c}$ ${\displaystyle \arcsin()}$

5. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, том 6 (т. 6). Elsevier.

Смотрите также

• Газовая динамика
• волна Маха
• Косой скачок уплотнения
• Ударная волна
• Техника теневой фотографии
• Шлирен-фотография
• Звуковой удар

Ссылки

• Липманн, Ганс В.; Рошко, А. (2001) [1957]. Элементы газодинамики . Dover Publications . ISBN 0-486-41963-0.
• Фон Мизес, Ричард (2004) [1958]. Математическая теория течения сжимаемой жидкости . Dover Publications . ISBN 0-486-43941-0.
• Курант, Ричард; Фридрихс, КО (1999) [1948]. Сверхзвуковой поток и ударные волны . Springer Science+Business Media . ISBN 0387902325.
• Андерсон, Джон Д. младший (январь 2001 г.) [1984]. Основы аэродинамики (3-е изд.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 0-07-237335-0.
• Шапиро, Эшер Х. (1953). Динамика и термодинамика потока сжимаемой жидкости, том 1. Рональд Пресс. ISBN 978-0-471-06691-0.

Внешние ссылки

• Расширительный вентилятор ( НАСА )
• Калькулятор вентилятора расширения Прандтля-Майера ( Java-апплет ).