Обратное распределение

В теории вероятностей и статистике обратное распределение — это распределение обратной величины случайной величины. Обратные распределения возникают, в частности, в байесовском контексте априорных распределений и апостериорных распределений масштабных параметров . В алгебре случайных величин обратные распределения — это частные случаи класса распределений отношений , в которых случайная величина в числителе имеет вырожденное распределение .

Отношение к оригинальному дистрибутиву

В общем, учитывая распределение вероятностей случайной величины X со строго положительной поддержкой, можно найти распределение обратной величины Y = 1/ X . Если распределение X непрерывно с функцией плотности f ( x ) и кумулятивной функцией распределения F ( x ), то кумулятивная функция распределения G ( y ) обратной величины находится, отмечая, что

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Тогда функция плотности Y находится как производная кумулятивной функции распределения:

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Примеры

Взаимное распределение

Обратное распределение имеет функцию плотности вида ^[1]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,}$

где означает «пропорционально» . Отсюда следует, что обратное распределение в этом случае имеет вид ${\displaystyle \propto \!\,}$

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

что снова является взаимным распределением.

Обратное равномерное распределение

Если исходная случайная величина X равномерно распределена на интервале ( a , b ), где a >0, то обратная переменная Y = 1/ X имеет обратное распределение, принимающее значения в диапазоне ( b ⁻¹ , a ⁻¹ ), а функция плотности вероятности в этом диапазоне равна

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},}$

и равен нулю в другом месте.

Кумулятивная функция распределения обратной величины в том же диапазоне равна

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.}$

Например, если X равномерно распределен на интервале (0,1), то Y = 1/ X имеет плотность и кумулятивную функцию распределения, когда ${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ ${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$ ${\displaystyle y>1.}$

Обратное t- распределение

Пусть X — t распределенная случайная величина с k степенями свободы . Тогда его функция плотности равна

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Плотность Y = 1/ X равна

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

При k = 1 распределения X и 1/  X идентичны ( X тогда является распределением Коши (0,1)). Если k > 1, то распределение 1/  X является бимодальным . ^{[ нужна цитата ]}

Взаимное нормальное распределение

Если переменная подчиняется нормальному распределению , то обратная или обратная величина следует обратному нормальному распределению: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

График плотности обратного стандартного нормального распределения

Если переменная X следует стандартному нормальному распределению , то Y  = 1/ X следует обратному стандартному нормальному распределению , тяжелохвостому и бимодальному , ^[2] с модами при и плотности ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

и моментов первого и более высокого порядка не существует. ^[2] Для таких обратных распределений и для распределений отношений все еще могут быть определены вероятности для интервалов, которые можно вычислить либо с помощью моделирования Монте-Карло , либо, в некоторых случаях, с помощью преобразования Гири – Хинкли. ^[3]

Однако в более общем случае смещенной обратной функции для следования общему нормальному распределению статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом и средним значением является вещественной. Среднее значение этой преобразованной случайной величины ( обратно сдвинутое нормальное распределение ) действительно является масштабированной функцией Доусона : ^[4] ${\displaystyle 1/(p-B)}$ ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

Напротив, если сдвиг является чисто комплексным, среднее значение существует и представляет собой масштабированную функцию Фаддеевой , точное выражение которой зависит от знака мнимой части . В обоих случаях дисперсия является простой функцией среднего значения. ^[5] Таким образом, дисперсия должна рассматриваться в смысле главного значения, если она действительна, тогда как она существует, если мнимая часть не равна нулю. Обратите внимание, что эти средние значения и дисперсии являются точными, поскольку они не возвращаются при линеаризации отношения. Точно так же доступна точная ковариация двух отношений с парой разных полюсов . ^[6] Случай обратной комплексной нормальной переменной , сдвинутой или нет, демонстрирует различные характеристики. ^[4] ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$ ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle B}$

Обратное экспоненциальное распределение

Если – экспоненциально распределенная случайная величина с параметром скорости , то имеет следующую кумулятивную функцию распределения: для . Обратите внимание, что ожидаемого значения этой случайной величины не существует. Взаимное экспоненциальное распределение находит применение при анализе затухания систем беспроводной связи. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle Y=1/X}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$ ${\displaystyle y>0}$

Обратное распределение Коши

Если X — случайная величина , распределенная Коши ( μ , σ ), то 1 / X — случайная величина Коши ( μ / C , σ / C ), ^где C = μ2 ⁺ σ2 .

Обратное F-распределение

Если X является распределенной случайной величиной F ( ν ₁ , ν ₂ ), то 1 / X является случайной величиной F ( ν ₂ , ν _{1 ).}

Обратная величина биномиального распределения

Если распределено в соответствии с биномиальным распределением с количеством попыток и вероятностью успеха, то закрытая форма обратного распределения неизвестна. Однако мы можем вычислить среднее значение этого распределения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

Известна асимптотическая аппроксимация нецентральных моментов обратного распределения. ^[7]

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

где O() и o() — большие и маленькие функции порядка o и являются действительным числом. ${\displaystyle a}$

Обратно треугольному распределению

Для треугольного распределения с нижним пределом a , верхним пределом b и режимом c , где a  <  b и a  ≤  c  ≤  b , среднее обратное определяется выражением

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}$

и дисперсия на

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$.

Оба момента обратной величины определяются только тогда, когда треугольник не пересекает ноль, т. е. когда a , b и c либо все положительные, либо все отрицательные.

Другие обратные распределения

Другие обратные распределения включают

распределение обратного хи-квадрата

обратное гамма-распределение

обратное распределение Уишарта

обратная матрица гамма-распределения

Приложения

Обратные распределения широко используются в качестве априорных распределений в байесовском выводе для параметров масштаба.

Смотрите также

• Гармоническое среднее
• Распределение соотношения
• Самообратные распределения

Рекомендации

1. Хэмминг Р.В. (1970) «О распределении чисел», Технический журнал Bell System 49 (8) 1609–1625.
2. Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1 . Уайли. п. 171. ИСБН 0-471-58495-9.
3. Хайя, Джек ; Армстронг, Дональд; Грессис, Николя (июль 1975 г.). «Заметка о соотношении двух нормально распределенных переменных». Наука управления . 21 (11): 1338–1341. дои : 10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR  2629897.
4. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибрации . 332 (11): 2750–2776. дои : 10.1016/j.jsv.2012.12.009.
5. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибрации . 332 (11). Раздел (4.1.1). дои : 10.1016/j.jsv.2012.12.009.
6. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибрации . 332 (11). Уравнения (39)–(40). дои : 10.1016/j.jsv.2012.12.009.
7. Крибари-Нето Ф, Лопес Гарсия Н, Васконселлос КЛП (2000) Примечание об обратных моментах биномиальных переменных. Бразильский обзор эконометрики 20 (2)