Вложенные интервалы

4 члена последовательности вложенных интервалов

В математике последовательность вложенных интервалов можно интуитивно понимать как упорядоченную коллекцию интервалов на числовой прямой с натуральными числами в качестве индекса. Для того чтобы последовательность интервалов считалась вложенной, должны быть выполнены два условия: ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

1. Каждый интервал в последовательности содержится в предыдущем ( всегда является подмножеством ). ${\displaystyle I_{n+1}}$ ${\displaystyle I_{n}}$
2. Длина интервалов становится произвольно малой (то есть длина падает ниже каждого возможного порогового значения после определенного индекса ). ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$

Другими словами, левая граница интервала может только увеличиваться ( ), а правая граница может только уменьшаться ( ). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n+1}\leq b_{n}}$

Исторически — задолго до того, как кто-либо определил вложенные интервалы в учебнике — люди неявно строили такие вложения для конкретных расчетных целей. Например, древние вавилоняне открыли метод вычисления квадратных корней чисел. Напротив, знаменитый Архимед построил последовательности многоугольников, которые вписывали и описывали единичную окружность , чтобы получить нижнюю и верхнюю границу для окружности — которая является числом окружности Пи ( ). ${\displaystyle \pi }$

Центральный вопрос, который необходимо поставить, — это природа пересечения по всем натуральным числам, или, иначе говоря, множество чисел, которые находятся в каждом интервале (таким образом, для всех ) . В современной математике вложенные интервалы используются как метод построения действительных чисел (чтобы завершить поле рациональных чисел). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Историческая мотивация

Как указано во введении, исторические пользователи математики открыли вложенность интервалов и тесно связанных с ними алгоритмов как методов для конкретных вычислений. Некоторые вариации и современные интерпретации этих древних методов будут представлены здесь:

Вычисление квадратных корней

При попытке найти квадратный корень числа можно быть уверенным, что , что дает первый интервал , в котором нужно найти. Если знать следующий более высокий полный квадрат , можно получить еще лучшего кандидата для первого интервала: . ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle 1\leq {\sqrt {x}}\leq x}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k^{2}>x}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,k]}$

Другие интервалы теперь можно определить рекурсивно , посмотрев на последовательность средних точек . Учитывая, что интервал уже известен (начиная с ), можно определить ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}\leq x\\\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}>x\end{matrix}}\right.}$

Чтобы выразить это словами, можно сравнить среднюю точку с , чтобы определить, меньше или больше средняя точка . Если средняя точка меньше, можно установить ее как нижнюю границу следующего интервала , а если средняя точка больше, можно установить ее как верхнюю границу следующего интервала. Это гарантирует, что . При такой конструкции интервалы вложены, и их длина уменьшается вдвое на каждом шаге рекурсии. Следовательно, можно получить нижнюю и верхнюю границы для с произвольно хорошей точностью (при достаточном вычислительном времени). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle I_{n+1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}\in I_{n+1}}$ ${\displaystyle |I_{n}|}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Можно также вычислить , когда . В этом случае , и алгоритм может быть использован путем установки и вычисления обратной величины после того, как будет достигнут желаемый уровень точности. ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle 0<y<1}$ ${\displaystyle 1/y>1}$ ${\displaystyle x:=1/y}$

Пример

Чтобы продемонстрировать этот алгоритм, вот пример того, как его можно использовать для нахождения значения . Обратите внимание, что поскольку , первый интервал для алгоритма можно определить как , поскольку обязательно должно быть найдено в этом интервале. Таким образом, используя этот интервал, можно перейти к следующему шагу алгоритма, вычислив среднюю точку интервала, определив, больше или меньше квадрат средней точки 19, и соответственно установив границы следующего интервала перед повторением процесса: ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle 1^{2}<19<5^{2}}$ ${\displaystyle I_{1}:=[1,5]}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\dfrac {1+5}{2}}=3&&\Rightarrow \;m_{1}^{2}=9\leq 19&&\Rightarrow \;I_{2}=[3,5]\\m_{2}&={\dfrac {3+5}{2}}=4&&\Rightarrow \;m_{2}^{2}=16\leq 19&&\Rightarrow \;I_{3}=[4,5]\\m_{3}&={\dfrac {4+5}{2}}=4.5&&\Rightarrow \;m_{3}^{2}=20.25>19&&\Rightarrow \;I_{4}=[4,4.5]\\m_{4}&={\dfrac {4+4.5}{2}}=4.25&&\Rightarrow \;m_{4}^{2}=18.0625\leq 19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.5]\\m_{5}&={\dfrac {4.25+4.5}{2}}=4.375&&\Rightarrow \;m_{5}^{2}=19.140625>19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.375]\\&\vdots &&\end{aligned}}}$

Каждый раз, когда вычисляется новая средняя точка, диапазон возможных значений для может быть сужен таким образом, чтобы значения, которые остаются в пределах интервала, были все ближе и ближе к фактическому значению . То есть каждое последующее изменение границ интервала, в котором должно находиться , позволяет оценить значение с большей точностью, либо увеличивая нижние границы интервала, либо уменьшая верхние границы интервала. ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}=4.35889894\dots }$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$

Эту процедуру можно повторять столько раз, сколько необходимо для достижения желаемого уровня точности. Теоретически, повторяя шаги бесконечно, можно прийти к истинному значению этого квадратного корня.

Метод Геронса

Вавилонский метод использует еще более эффективный алгоритм, который дает точные приближения для еще более быстрого. Современное описание с использованием вложенных интервалов похоже на алгоритм выше, но вместо использования последовательности средних точек используется последовательность, заданная как ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n+1}:={\frac {1}{2}}\cdot \left(c_{n}+{\frac {x}{c_{n}}}\right)}$.

Это приводит к последовательности интервалов, заданных и , где , обеспечит точные верхние и нижние границы для очень быстрого. На практике, необходимо рассмотреть только , который сходится к (как, конечно, и нижняя граница интервала). Этот алгоритм является частным случаем метода Ньютона . ${\displaystyle I_{n+1}:=\left[{\frac {x}{c_{n}}},c_{n}\right]}$ ${\displaystyle I_{1}=[0,k]}$ ${\displaystyle k^{2}>x}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Измерение окружности Архимеда

Число π можно оценить, вычислив периметры описанных и вписанных многоугольников.

Как показано на рисунке, нижняя и верхняя границы для окружности круга могут быть получены с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников. При рассмотрении круга с диаметром окружность равна (по определению числа Пи) числу окружности . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pi }$

Около 250 г. до н.э. Архимед из Сиракуз начал с правильных шестиугольников , длины сторон которых (и, следовательно, окружность) можно напрямую вычислить из диаметра круга. Более того, можно найти способ вычисления длины стороны правильного -угольника из предыдущего -угольника, начиная с правильного шестиугольника ( -угольник). Последовательно удваивая количество ребер до достижения 96-сторонних многоугольников, Архимед достиг интервала с . Верхняя граница все еще часто используется как грубое, но прагматичное приближение . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {\tfrac {223}{71}}<\pi <{\tfrac {22}{7}}}$ ${\displaystyle 22/7\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi }$

Около 1600 года нашей эры метод Архимеда все еще был золотым стандартом для вычисления числа Пи и использовался голландским математиком Людольфом ван Кейленом для вычисления более тридцати цифр числа , что заняло у него десятилетия. Вскоре после этого были найдены более мощные методы для вычисления. ${\displaystyle \pi }$

Другие реализации

Раннее использование последовательностей вложенных интервалов (или их можно описать таковыми с помощью современной математики) можно найти у предшественников исчисления ( дифференцирование и интегрирование ). В информатике последовательности вложенных интервалов используются в алгоритмах для численных вычислений. То есть метод деления пополам может быть использован для вычисления корней непрерывных функций . В отличие от математически бесконечных последовательностей, прикладной вычислительный алгоритм заканчивается в некоторой точке, когда искомый ноль найден или достаточно хорошо приближен .

Построение действительных чисел

В математическом анализе вложенные интервалы предоставляют один из методов аксиоматического введения действительных чисел как завершения рациональных чисел , что является необходимостью для обсуждения концепций непрерывности и дифференцируемости . Исторически открытие дифференциального и интегрального исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 1600-х годов создало огромную проблему для математиков, пытающихся строго доказать свои методы; несмотря на их успехи в физике , технике и других науках. Аксиоматическое описание вложенных интервалов (или эквивалентная аксиома) стало важной основой для современного понимания исчисления.

В контексте данной статьи, в сочетании с и является архимедовым упорядоченным полем , то есть выполняются аксиомы порядка и архимедово свойство . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

Определение[1]

Пусть — последовательность замкнутых интервалов типа , где обозначает длину такого интервала. Последовательность вложенных интервалов можно назвать , если ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle |I_{n}|:=b_{n}-a_{n}}$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

1. ${\displaystyle \quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}}$
2. ${\displaystyle \quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\;|I_{N}|<\varepsilon }$.

Говоря словами, свойство 1 означает, что интервалы вложены в соответствии с их индексом. Второе свойство формализует представление о том, что размеры интервалов становятся произвольно малыми; это означает, что для произвольной константы всегда можно найти интервал (с индексом ) с длиной, строго меньшей этого числа . Стоит также отметить, что свойство 1 немедленно подразумевает, что каждый интервал с индексом должен также иметь длину . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |I_{n}|<\varepsilon }$

Замечание

Обратите внимание, что некоторые авторы называют такие интервальные последовательности, удовлетворяющие обоим свойствам выше, сокращающимися вложенными интервалами . В этом случае последовательность вложенных интервалов относится к последовательности, которая удовлетворяет только свойству 1.

Аксиома полноты

Если есть последовательность вложенных интервалов, то всегда существует действительное число, которое содержится в каждом интервале . В формальной записи эта аксиома гарантирует, что ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :\;x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$.

Теорема

Пересечение каждой последовательности вложенных интервалов содержит ровно одно действительное число . ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x}$

Доказательство: Это утверждение легко проверяется от противного. Предположим, что существуют два различных числа . Из этого следует, что они отличаются на Поскольку оба числа должны содержаться в каждом интервале, то следует, что для всех . Это противоречит свойству 2 из определения вложенных интервалов; следовательно, пересечение может содержать не более одного числа . Аксиома полноты гарантирует, что такое действительное число существует. ${\displaystyle x,y\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |x-y|>0.}$ ${\displaystyle |I_{n}|\geq |x-y|}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \;\square }$

Примечания

• Эта аксиома является фундаментальной в том смысле, что последовательность вложенных интервалов не обязательно содержит рациональное число — то есть это могло бы дать , если бы рассматривались только рациональные числа. ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle \emptyset }$
• Аксиома эквивалентна существованию инфимума и супремума (доказательство ниже), сходимости последовательностей Коши и теореме Больцано–Вейерштрасса . Это означает, что одно из четырех должно быть введено аксиоматически, в то время как остальные три могут быть последовательно доказаны.

Прямые следствия аксиомы

Наличие корней

Обобщая алгоритм, показанный выше для квадратных корней, можно доказать, что в действительных числах уравнение всегда можно решить для . Это означает, что существует единственное действительное число , такое что . Сравнивая с разделом выше, можно получить последовательность вложенных интервалов для -го корня из , а именно , проверив, является ли середина -го интервала меньше или равна или больше . ${\displaystyle x=y^{j},\;j\in \mathbb {N} ,x>0}$ ${\displaystyle y={\sqrt[{j}]{x}}=x^{1/j}}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle x=y^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{n}^{k}}$

Существование инфимума и супремума в ограниченных множествах

Определение

Если имеет верхнюю границу, т.е. существует число , такое, что для всех , можно назвать число супремумом , если ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\leq b}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle s=\sup(A)}$ ${\displaystyle A}$

1. число является верхней границей , то есть ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x\in A:\;x\leq s}$
2. ${\displaystyle s}$является наименьшей верхней границей , что означает ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall \sigma <s:\;\exists x\in A:\;x>\sigma }$

Может существовать только одно такое число . Аналогично можно определить инфимум ( ) множества , ограниченного снизу, как наибольшую нижнюю границу этого множества. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \inf(B)}$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$

Теорема

Каждое множество имеет супремум (инфинум), если оно ограничено сверху (снизу). ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$

Доказательство: Без потери общности можно рассмотреть множество , имеющее верхнюю границу. Теперь можно построить последовательность вложенных интервалов , которая имеет следующие два свойства: ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$

1. ${\displaystyle b_{n}}$является верхней границей для всех ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle a_{n}}$никогда не является верхней границей для любого . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Построение следует рекурсии, начиная с любого числа , которое не является верхней границей (например , , где и произвольная верхняя граница ) . При наличии некоторого можно вычислить среднюю точку и определить ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}=c-1}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{n}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is an upper bound of}}\;A\\\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is not an upper bound}}\end{matrix}}\right.}$

Обратите внимание, что эта последовательность интервалов четко определена и, очевидно, по построению является последовательностью вложенных интервалов.

Теперь пусть будет числом в каждом интервале (существование которого гарантируется аксиомой). является верхней границей , в противном случае существует число , такое что . Кроме того, это означало бы существование интервала с , из которого следует, поскольку также является элементом . Но это противоречит свойству 1 супремума (значению для всех ). Поэтому на самом деле является верхней границей . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x>s}$ ${\displaystyle I_{m}=[a_{m},b_{m}]}$ ${\displaystyle b_{m}-a_{m}<x-s}$ ${\displaystyle b_{m}-s<x-s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle b_{m}<s}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Предположим, что существует нижняя верхняя граница . Поскольку — последовательность вложенных интервалов, то длины интервалов становятся произвольно малыми; в частности, существует интервал с длиной, меньшей . Но из получаем и, следовательно , . Следуя правилам этого построения, должна была бы быть верхняя граница , что противоречит свойству 2 всех последовательностей вложенных интервалов. ${\displaystyle \sigma <s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle s-\sigma }$ ${\displaystyle s\in I_{n}}$ ${\displaystyle s-a_{n}<s-\sigma }$ ${\displaystyle a_{n}>\sigma }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$

В два этапа было показано, что является верхней границей и что нижняя верхняя граница не может существовать. Следовательно, является супремумом по определению. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Замечание

Как было замечено, существование супремумов и инфимумов ограниченных множеств является следствием полноты . По сути, эти два понятия эквивалентны, что означает, что любое из них может быть введено аксиоматически. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Доказательство: Пусть с — последовательность вложенных интервалов. Тогда множество ограничено сверху, где каждое — верхняя граница. Это означает, что наименьшая верхняя граница выполняется для всех . Поэтому для всех , соответственно . ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle A:=\{a_{1},a_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle s=\sup(A)}$ ${\displaystyle a_{n}\leq s\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in I_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$

Дальнейшие последствия

После формального определения сходимости последовательностей и точек накопления последовательностей можно также доказать теорему Больцано–Вейерштрасса с использованием вложенных интервалов. В дальнейшем может быть доказан тот факт, что последовательности Коши являются сходящимися (и что все сходящиеся последовательности являются последовательностями Коши). Это, в свою очередь, позволяет доказать свойство полноты выше, показывая их эквивалентность.

Дальнейшее обсуждение связанных аспектов

Без какого-либо уточнения того, что подразумевается под интервалом, все, что можно сказать о пересечении по всем натуральным числам (т. е. множестве всех точек, общих для каждого интервала), это то, что это либо пустое множество , либо точка на числовой прямой (называемая синглетоном ), либо некоторый интервал. ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{x\}}$

Возможность пустого перекрестка можно проиллюстрировать, рассмотрев последовательность открытых интервалов . ${\displaystyle I_{n}=\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :0<x<{\frac {1}{n}}\right\}}$

В этом случае пустое множество получается из пересечения . Этот результат исходит из того факта, что для любого числа существует некоторое значение (а именно любое ), такое, что . Это задается архимедовым свойством действительных чисел. Поэтому, независимо от того, насколько мал , всегда можно найти интервалы в последовательности, такие, что подразумевая, что пересечение должно быть пустым. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n>1/x}$ ${\displaystyle 1/n<x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x\notin I_{n},}$

Ситуация иная для закрытых интервалов . Если изменить ситуацию выше, посмотрев на закрытые интервалы типа , то это можно увидеть очень ясно. Теперь для каждого всегда можно найти интервалы, не содержащие указанное , но для , свойство справедливо для любого . Можно заключить, что в этом случае . ${\displaystyle I_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\right\}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{0\}}$

Можно также рассмотреть дополнение каждого интервала, записанное как - которое в нашем последнем примере равно . По законам Де Моргана дополнение пересечения является объединением двух непересекающихся открытых множеств . По связности действительной прямой между ними должно быть что-то. Это показывает, что пересечение (даже несчетного числа) вложенных, замкнутых и ограниченных интервалов непусто. ${\displaystyle (-\infty ,a_{n})\cup (b_{n},\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (1/n,\infty )}$

Более высокие измерения

В двух измерениях есть похожий результат: вложенные замкнутые диски на плоскости должны иметь общее пересечение. Этот результат был показан Германом Вейлем для классификации сингулярного поведения некоторых дифференциальных уравнений .

Смотрите также

• Бисекция
• Теорема Кантора о пересечении

Ссылки

1. Кенигсбергер, Конрад (2004). Анализ 1 . Спрингер. п. 11. ISBN 354040371X.

• Фриди, JA (2000), "3.3 Теорема о вложенных интервалах", Вводный анализ: Теория исчисления, Academic Press, стр. 29, ISBN 9780122676550.
• Шилов, Георгий Э. (2012), «1.8 Принцип вложенных интервалов», Элементарный действительный и комплексный анализ, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 21–22, ISBN 9780486135007.
• Сохраб, Хаушанг Х. (2003), «Теорема 2.1.5 (Теорема о вложенных интервалах)», Basic Real Analysis, Springer, стр. 45, ISBN 9780817642112.
• Кенигсбергер, Конрад (2003), «2.3 Die Vollständigkeit von R (полнота действительных чисел)», Анализ 1, 6. Auflage (6-е издание), Springer-Lehrbuch, Springer, стр. 10–15, номер домена : 10.1007/978-3-642-18490-1, ISBN 9783642184901