Теорема Больцано – Вейерштрасса

Ограниченная последовательность в конечномерном евклидовом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность

В математике , особенно в реальном анализе , теорема Больцано-Вейерштрасса , названная в честь Бернара Больцано и Карла Вейерштрасса , является фундаментальным результатом о сходимости в конечномерном евклидовом пространстве . Теорема утверждает, что каждая бесконечная ограниченная последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность . ^[1] Эквивалентная формулировка состоит в том, что подмножество секвенциально компактно тогда и только тогда , когда оно замкнуто и ограничено . ^[2] Эту теорему иногда называют теоремой секвенциальной компактности . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

История и значение

Теорема Больцано-Вейерштрасса названа в честь математиков Бернара Больцано и Карла Вейерштрасса . Фактически это было впервые доказано Больцано в 1817 году как лемма при доказательстве теоремы о промежуточном значении . Примерно пятьдесят лет спустя этот результат был признан значимым сам по себе и снова доказан Вейерштрассом. С тех пор это стало важной теоремой анализа .

Доказательство

Сначала мы докажем теорему для (множества всех действительных чисел ), и в этом случае упорядочение on можно найти с пользой. Действительно, мы имеем следующий результат: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Лемма : Каждая бесконечная последовательность в имеет монотонную подпоследовательность (подпоследовательность, которая является либо неубывающей , либо невозрастающей ). ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Доказательство ^[4] : ​​Назовем положительный целочисленный индекс последовательности «пиком» последовательности, когда для каждого . Предположим сначала, что последовательность имеет бесконечное количество вершин, а это означает, что существует подпоследовательность со следующими индексами и следующими членами . Итак, бесконечная последовательность в имеет монотонную (невозрастающую) подпоследовательность, которая равна . Но предположим теперь, что существует только конечное число пиков, пусть это будет последний пик, если он существует (в противном случае), и пусть первый индекс новой подпоследовательности будет установлен на . Тогда не является пиком, т. к . идет после финального пика, что предполагает существование с и . Опять же, после финального пика, следовательно, есть где с . Повторение этого процесса приводит к бесконечной неубывающей подпоследовательности  , тем самым доказывая, что каждая бесконечная последовательность в имеет монотонную подпоследовательность. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{m}\leq x_{n}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots }$ ${\displaystyle x_{n_{1}}\geq x_{n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ${\displaystyle n_{1}=N+1}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ ${\displaystyle x_{n_{1}}<x_{n_{2}}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle n_{2}<n_{3}}$ ${\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}$ ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Теперь предположим, что у нас есть ограниченная последовательность в ; по доказанной выше лемме существует монотонная подпоследовательность, также ограниченная. Из теоремы о монотонной сходимости следует , что эта подпоследовательность сходится. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Наконец, общий случай ( ) можно свести к случаю следующего: для заданной ограниченной последовательности в , последовательность первых координат является ограниченной вещественной последовательностью, следовательно, она имеет сходящуюся подпоследовательность. Затем можно выделить подпоследовательность, в которой сходятся вторые координаты, и так далее, пока, в конце концов, мы не перейдем от исходной последовательности к подпоследовательности times (которая по-прежнему является подпоследовательностью исходной последовательности), на которой каждая координатная последовательность сходится, следовательно, сходится и сама подпоследовательность. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Альтернативное доказательство

Существует также альтернативное доказательство теоремы Больцано-Вейерштрасса с использованием вложенных интервалов . Начнем с ограниченной последовательности : ${\displaystyle (x_{n})}$

• 
  Поскольку она ограничена, эта последовательность имеет нижнюю и верхнюю границы . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$
• 
  Примем за первый интервал последовательность вложенных интервалов. ${\displaystyle I_{1}=[s,S]}$
• 
  Затем мы разделяем посередине на два подинтервала одинакового размера. ${\displaystyle I_{1}}$
• 
  Поскольку каждая последовательность имеет бесконечно много членов, должен быть (по крайней мере) один из этих подинтервалов, который содержит бесконечно много членов . Примем этот подинтервал как второй интервал последовательности вложенных интервалов. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  Затем мы снова разделяем посередине на два подинтервала одинакового размера. ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  Опять же, один из этих подинтервалов содержит бесконечно много членов . Примем этот подинтервал как третий подинтервал последовательности вложенных интервалов. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{3}}$
• 
  Мы продолжаем этот процесс бесконечно много раз. Таким образом мы получаем последовательность вложенных интервалов.

Поскольку мы уменьшаем длину интервала вдвое на каждом шаге, предел длины интервала равен нулю. Кроме того, по теореме о вложенных интервалах , которая утверждает, что если каждый из них является замкнутым и ограниченным интервалом, скажем, ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle I_{n}=[a_{n},\,b_{n}]}$

с

${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$

тогда в предположении вложенности пересечение не пусто. Таким образом, существует число , находящееся в каждом интервале . Теперь мы покажем, что это точка накопления . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Возьмем окрестность . Поскольку длина интервалов стремится к нулю, существует интервал , который является подмножеством . Поскольку по конструкции содержит бесконечно много членов и , также содержит бесконечно много членов . Это доказывает, что это точка накопления . Таким образом, существует подпоследовательность, сходящаяся к . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle I_{N}\subseteq U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Секвенциальная компактность в евклидовых пространствах

Определение: Множество является секвенциально компактным, если каждая последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность, сходящуюся к элементу из . ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Теорема: секвенциально компактна тогда и только тогда, когда замкнута и ограничена. ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Доказательство: ( секвенциальная компактность подразумевает замкнутость и ограниченность)

Предположим , это подмножество со свойством, что каждая последовательность в имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу . Тогда должно быть ограничено, так как в противном случае можно построить следующую неограниченную последовательность . Для каждого определим любую произвольную точку такую, что . Тогда каждая подпоследовательность неограниченна и, следовательно, не сходится. При этом должна быть замкнутой, так как любая предельная точка функции , имеющая последовательность точек, сходящихся к себе, также должна лежать в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\in A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle ||x_{n}||\geq n}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Доказательство: (замкнутость и ограниченность подразумевают секвенциальную компактность )

Поскольку ограничена, любая последовательность также ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса , содержит подпоследовательность, сходящую к некоторой точке . Поскольку является предельной точкой и является замкнутым множеством , должно быть элементом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\in A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Таким образом, подмножества , для которых каждая последовательность из A имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу из , т. е. подмножества, секвенциально компактные в топологии подпространства  , являются в точности замкнутыми и ограниченными подмножествами. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

В такой форме теоремы особенно ясна аналогия с теоремой Гейне–Бореля , утверждающей, что подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Фактически, общая топология говорит нам, что метризуемое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно, так что теоремы Больцано-Вейерштрасса и Гейне-Бореля по существу одинаковы. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Приложение к экономике

В экономике существуют различные важные концепции равновесия , доказательства существования которых часто требуют вариаций теоремы Больцано – Вейерштрасса. Одним из примеров является существование эффективного по Парето распределения. Распределение представляет собой матрицу потребительских наборов для агентов в экономике, и распределение является эффективным по Парето, если в него нельзя внести никакие изменения, которые не ухудшат положение ни одного агента и не сделают благосостояние хотя бы одного агента (здесь строки матрицы распределения должны быть ранжируемый по отношению предпочтения ). Теорема Больцано-Вейерштрасса позволяет доказать, что если множество распределений компактно и непусто , то система имеет распределение, эффективное по Парето.

Смотрите также

• Последовательно компактное пространство
• Теорема Гейне – Бореля
• Полнота действительных чисел
• Вариационный принцип Экланда

Примечания

1. Бартл и Шерберт 2000, с. 78 (для Р ).
2. Фитцпатрик 2006, с. 52 (для Р ), с. 300 (для R ⁿ ).
3. Фитцпатрик 2006, с. xiv.
4. Бартл и Шерберт 2000, стр. 78-79.

Рекомендации

• Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Уайли. ISBN 9780471321484.
• Фитцпатрик, Патрик М. (2006). Расширенное исчисление (2-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. ISBN 0-534-37603-7.

Внешние ссылки

• «Теорема Больцано-Вейерштрасса», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Больцано–Вейерштрасса.
• PlanetMath: доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса
• Рэп Больцано-Вейерштрасса