Волоконно-оптический коллектор

Понятие в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии , в категории дифференцируемых многообразий , расслоенное многообразие — это сюръективная субмерсия , то есть сюръективное дифференцируемое отображение, такое, что в каждой точке касательное отображение сюръективно, или, что то же самое, его ранг равен ^[1] $${\displaystyle \pi :E\to B\,}$$ ${\displaystyle y\in U}$ $${\displaystyle T_{y}\pi :T_{y}E\to T_{\pi (y)}B}$$ ${\displaystyle \dim B.}$

История

В топологии слова волокно ( Faser на немецком языке) и волокнистое пространство ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1932 году , но его определения ограничиваются очень частным случаем. ^[2] Однако главное отличие от современной концепции волокнистого пространства состояло в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) волокнистого (топологического) пространства, не было частью структуры, а выводилось из нее как фактор-пространство Первое определение волокнистого пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году под названием сферическое пространство , но в 1940 году Уитни изменил название на сферическое расслоение . ^{[3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия, приписывается Зейферту , Хопфу , Фельдбау , Уитни , Стинроду , Эресманну , Серру и другим. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Формальное определение

Тройка , где и — дифференцируемые многообразия, а — сюръективная субмерсия, называется расслоенным многообразием . ^[10] называется тотальным пространством , называется базой . ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

Примеры

• Каждое дифференцируемое расслоение волокон является расслоенным многообразием .
• Каждое дифференцируемое накрывающее пространство представляет собой расслоенное многообразие с дискретным волокном.
• В общем случае расслоенное многообразие не обязательно должно быть расслоением: разные расслоения могут иметь разные топологии. Пример этого явления можно построить, взяв тривиальное расслоение и удалив две точки в двух разных расслоениях над базовым многообразием. Результатом является новое расслоенное многообразие, в котором все расслоения, за исключением двух, соединены. ${\displaystyle \left(S^{1}\times \mathbb {R} ,\pi _{1},S^{1}\right)}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

Характеристики

• Любая сюръективная субмерсия открыта: для каждого открытого множество открыто в ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle V\subseteq E,}$ ${\displaystyle \pi (V)\subseteq B}$ ${\displaystyle B.}$
• Каждое волокно представляет собой замкнутое вложенное подмногообразие размерности ^[11] ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)\subseteq E,b\in B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E-\dim B.}$
• Расслоенное многообразие допускает локальные сечения: для каждого существует открытая окрестность в и гладкое отображение с и ${\displaystyle y\in E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi (y)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s:U\to E}$ ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{U}}$ ${\displaystyle s(\pi (y))=y.}$
• Сюръекция является расслоенным многообразием тогда и только тогда, когда существует локальное сечение ( с ), проходящее через каждое ^[12] ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle s:B\to E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{B}}$ ${\displaystyle y\in E.}$

Координаты волокон

Пусть (соотв. ) будет -мерным (соотв. -мерным) многообразием. Расслоенное многообразие допускает расслоенные карты . Мы говорим, что карта на является расслоенной картой , или адаптирована к сюръективной субмерсии, если существует карта на такая, что и где ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=\pi (V)}$ $${\displaystyle u^{1}=x^{1}\circ \pi ,\,u^{2}=x^{2}\circ \pi ,\,\dots ,\,u^{n}=x^{n}\circ \pi \,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\left(u^{1},\dots ,u^{n},y^{1},\dots ,y^{p-n}\right).\quad y_{0}\in V,\\\varphi &=\left(x^{1},\dots ,x^{n}\right),\quad \pi \left(y_{0}\right)\in U.\end{aligned}}}$$

Вышеуказанное условие диаграммы волокон может быть эквивалентно выражено как , где есть проекция на первые координаты. Тогда диаграмма, очевидно, уникальна. Ввиду вышеуказанного свойства, координаты волокон диаграммы волокон обычно обозначаются как , где координаты соответствующей диаграммы на затем обозначаются, с очевидным соглашением, как , где $${\displaystyle \varphi \circ \pi =\mathrm {pr} _{1}\circ \psi ,}$$ $${\displaystyle {\mathrm {pr} _{1}}:{\mathbb {R} ^{n}}\times {\mathbb {R} ^{p-n}}\to {\mathbb {R} ^{n}}\,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle \psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle \sigma \in \{1,\ldots ,m\},}$ ${\displaystyle m=p-n}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi =\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}.}$

Наоборот, если сюръекция допускает расслоенный атлас , то является расслоенным многообразием. ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$

Локальная тривиализация и пучки волокон

Пусть — расслоенное многообразие и любое многообразие. Тогда открытое покрытие вместе с отображениями, называемыми отображениями тривиализации , такое, что является локальной тривиализацией относительно ^[13] ${\displaystyle E\to B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \psi :\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to U_{\alpha }\times V,}$$ $${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \psi _{\alpha }=\pi ,{\text{ for all }}\alpha }$$ ${\displaystyle V.}$

Расслоенное многообразие вместе с многообразием является расслоением с типичным волокном (или просто волокном ), если оно допускает локальную тривиализацию относительно . Тогда атлас называется атласом расслоения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\right)\right\}}$

Смотрите также

• Алгебраическое волокнистое пространство
• Подключение (волоконный коллектор)  – Эксплуатация волоконных коллекторов
• Покрывающее пространство  – Тип непрерывного отображения в топологии
• Расслоение волокон  – Непрерывная сюръекция, удовлетворяющая локальному условию тривиальности
• Расслоение  – понятие в алгебраической топологии
• Натуральный пучок
• Квази-расслоение  – Понятие из математики
• Пространство волокон Зейферта  – Топологическое пространство

Примечания

1. Коларж, Михор и Словак 1993, стр. 11
2. Сейферт 1932
3. Уитни 1935
4. Уитни 1940
5. Фельдбау 1939
6. Эресманн 1947a
7. Эресманн 1947b
8. Эресманн 1955
9. Серр 1951
10. Крупка и Янышка 1990, с. 47
11. Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, с. 11
12. Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, с. 15
13. Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, с. 13

Ссылки

• Коларж, Иван; Михор, Петер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , извлечено 15 июня 2011 г.
• Крупка, Деметра; Янушка, Йозеф (1990), Лекции по дифференциальным инвариантам , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Сондерс, DJ (1989), Геометрия струйных пучков , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Новые лагранжевы и гамильтоновы методы в теории поля . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.

Исторический

• Эресманн, К. (1947a). «Сюр-ла-теория пространственных волокон». Колл. Вершина. Алг. Париж (на французском языке). НЦРС: 3–15.
• Эресманн, К. (1947b). «Sur les espaces fibrés différentiables». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 224 : 1611–1612.
• Эресманн, К. (1955). «Продление дифференцируемых волокон». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 240 : 1755–1757.
• Фельдбау, Дж. (1939). «Классификация пространственных волокон». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 208 : 1621–1623.
• Зайферт, Х. (1932). «Топология глубоких измерений». Акта Математика. (на французском языке). 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
• Серр, Ж.-П. (1951). «Особенная гомология волокон. Приложения». Энн. математики. (на французском языке). 54 : 425–505. дои : 10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
• Уитни, Х. (1935). "Сферические пространства". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 21 (7): 464–468. Bibcode :1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC  1076627 . PMID  16588001.
• Уитни, Х. (1940). «О теории сферических расслоений». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 26 (2): 148–153. Bibcode :1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . MR  0001338. PMC  1078023 . PMID  16588328.

Внешние ссылки

• Макклири, Дж. «История многообразий и волокнистых пространств: черепахи и зайцы» (PDF) .