Восьмиугольное число

Восьмиугольное число – это фигурное число , обозначающее количество точек в определенном восьмиугольном расположении. Восьмиугольное число для n задается формулой 3 n ² − 2 n , где n > 0. Первые несколько восьмиугольных чисел:

1 , 8 , 21 , 40 , 65 , 96 , 133 , 176 , 225, 280 , 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936 (последовательность A000567 в OEIS )

Восьмиугольное число для n также можно вычислить, сложив квадрат n к удвоенному ( n − 1)-му проническому числу .

Восьмиугольные числа последовательно чередуются по четности .

Восьмиугольные числа иногда называют « звездными числами », хотя этот термин чаще используется для обозначения центрированных додекагональных чисел. ^[1]

Приложения в комбинаторике

Восьмиугольное число — это количество разбиений на 1, 2 или 3. ^[2] Например, существуют такие разбиения для , а именно ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6n-5}$ ${\displaystyle x_{2}=8}$ ${\displaystyle 2\cdot 6-5=7}$

[1,1,1,1,1,1,1], [1,1,1,1,1,2], [1,1,1,1,3], [1,1,1,2 ,2], [1,1,2,3], [1,2,2,2], [1,3,3] и [2,2,3].

Сумма обратных величин

Формула суммы обратных восьмиугольных чисел имеет вид ^[3]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi }{12}}.}$$

Тест на восьмиугольные числа

Решение формулы для n -го восьмиугольного числа, для n дает ${\displaystyle x_{n},}$

$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$$

xnxnnx

Смотрите также

• Центрированное восьмиугольное число

Рекомендации

1. Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 57, ISBN 9789814355483.
2. (последовательность A000567 в OEIS )
3. «Помимо Базельской проблемы: суммы обратных величин фигурных чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2013 г. Проверено 12 апреля 2020 г.