Проник номер

Проническое число — это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел , то есть число вида ^[1] Изучение этих чисел восходит к Аристотелю . Их еще называют продолговатыми числами , гетеромецическими числами [ ^2] или прямоугольными числами ; ^[3] однако термин «прямоугольное число» применялся и к составным числам . ^{[4] [5]} ${\displaystyle n(n+1).}$

Первые несколько пронических чисел:

, 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462… (последовательность A002378 в O ЭИС ).

Обозначим имеющееся у нас проническое число. Поэтому при обсуждении пронических чисел мы можем без ограничения общности предположить , что это соглашение, которое будет принято в следующих разделах. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n(n+1),}$ ${\displaystyle P_{{-}n}=P_{n{-}1}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Как фигурные числа

Дважды треугольное число является проническим числом.

n - ное проническое число на n больше n- го квадратного числа

Пронические числа изучались как фигурные числа наряду с треугольными числами и квадратными числами в «Метафизике» Аристотеля [ ^2] , и их открытие было приписано гораздо раньше пифагорейцам . ^[3] Как разновидность фигурного числа, пронические числа иногда называют продолговатыми ^[2] , поскольку в этом отношении они аналогичны многоугольным числам : ^[1]

N - е проническое число представляет собой сумму первых n четных целых чисел и, как таковое, в два раза больше n- го треугольного числа ^{[1] [2]} и n больше, чем n- е квадратное число , как определено альтернативной формулой n ² + n для пронических номеров. n - е проническое число — это также разница между нечетным квадратом (2 n + 1) ² и ( n +1) -м центрированным шестиугольным числом .

Поскольку количество недиагональных элементов в квадратной матрице в два раза превышает треугольное число, это проническое число. ^[6]

Сумма пронических чисел

Частичная сумма первых n положительных пронических чисел в два раза превышает значение n- го тетраэдрического числа :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}.}$

Сумма обратных положительных пронических чисел (исключая 0) представляет собой телескопический ряд , сумма которого равна 1: ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1.}$

Частичная сумма первых n членов этого ряда равна ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}.}$

Попеременная сумма обратных положительных чисел проника (исключая 0) представляет собой сходящийся ряд :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1.}$

Дополнительные свойства

Пронические числа четные, и 2 — единственное простое проническое число. Это также единственное проническое число в последовательности Фибоначчи и единственное проническое число Лукаса . ^{[8] [9]}

Среднее арифметическое двух последовательных пронических чисел представляет собой квадратное число :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}}$

Таким образом, между любыми двумя последовательными проническими числами есть квадрат. Он уникален, поскольку

${\displaystyle n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.}$

Другим следствием этой цепочки неравенств является следующее свойство. Если m — проникное число, то справедливо следующее:

${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.}$

Тот факт, что последовательные целые числа взаимно просты и что проническое число является произведением двух последовательных целых чисел, приводит к ряду свойств. Каждый отдельный простой фактор пронического числа присутствует только в одном из факторов n или n + 1 . Таким образом, проническое число бесквадратно тогда и только тогда, когда n и n + 1 также бесквадратны. Количество различных простых множителей пронического числа представляет собой сумму количества различных простых множителей n и n + 1 .

Если к десятичному представлению любого пронического числа прибавить 25 , результатом будет квадратное число, квадрат числа, оканчивающегося на 5; например, 625 = 25 ² и 1225 = 35 ² . Это так, потому что

${\displaystyle 100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}\,}$.

Рекомендации

1. Конвей, Дж. Х .; Гай, Р.К. (1996), Книга чисел , Нью-Йорк: Коперник, рисунок 2.15, с. 34.
2. Норр, Уилбур Ричард (1975), Эволюция евклидовых элементов, Дордрехт-Бостон, Массачусетс: D. Reidel Publishing Co., стр. 144–150, ISBN 90-277-0509-7, МР  0472300.
3. Бен-Менахем, Ари (2009), Историческая энциклопедия естественных и математических наук, том 1, ссылка на Springer, Springer-Verlag, стр. 161, ИСБН 9783540688310.
4. "Плутарх, De Iside et Osiride, раздел 42", www.perseus.tufts.edu , получено 16 апреля 2018 г.
5. Хиггинс, Питер Майкл (2008), История чисел: от подсчета к криптографии, Copernicus Books, стр. 9, ISBN 9781848000018.
6. Раммель, Рудольф Дж. (1988), Прикладной факторный анализ, издательство Северо-западного университета, стр. 319, ISBN 9780810108240.
7. Франц, Марк (2010), «Телескопическая серия в перспективе», в Дифендерфере, Карен Л .; Нельсен, Роджер Б. (ред.), Коллекция исчисления: ресурс для AP и не только , Справочные материалы для классных комнат, Математическая ассоциация Америки, стр. 467–468, ISBN 9780883857618.
8. Макдэниел, Уэйн Л. (1998), «Пронические числа Лукаса» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, MR  1605345, заархивировано из оригинала (PDF) 05 июля 2017 г. , получено в 2011 г. -05-21.
9. Макдэниел, Уэйн Л. (1998), «Пронические числа Фибоначчи» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, MR  1605341.